南京市第二十九中學 (210036)

耿 健 郭建華(指導教師)

漫話“設而不求”提升“運算素養(yǎng)”*

南京市第二十九中學 (210036)

耿 健 郭建華(指導教師)

“設而不求”思想在解題中常常用到.什么是“設而不求”呢？在數學解題中，有些題型要求設立一些與題目中沒有直接給出的中間變量，適時消除這些中間變量，從而構建“未知”和“已知”之間的關系，為問題的解決起到了紐帶的作用，這就是“設而不求”[1].采用“設而不求”思想解題，關鍵是對參數避而不求，而是通過巧妙運算，精妙推理，合理構造，使得參數悄然離去，這樣不但可以避免由于盲目推演而造成的循環(huán)運算，而且實現解題的準確、快速、簡捷的效果，不斷提升數學運算素養(yǎng).

1.設而不求，巧求值問題

2.設而不求，巧解函數零點

例2 設函數f(x)=(x-3)lnx，是否存在整數λ，使得關于x的不等式2λ≥f(x)有解？若存在，請求出λ的最小值；若不存在，請說明理由．(參考數據：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986)．

解:不存在整數λ，使得關于x的不等式2λ≥f(x)有解.

3.設而不求，巧證定直線

例3 已知圓C：(x-3)2+(y-1)2=5，過圓C內一定點Q(s,t)(不同于點C)任作一條直線與圓C相交于點A，B，以A、B為切點分別作圓C的切線PA，PB，求證：點P在定直線l上，并求出直線l的方程.

分析:由于該問題中涉及的動點較多，顯然用“設點法”求解，即設A(x1,y1)，B(x2,y2)，然后用點坐標求出所對應的切線方程，要求的目標是點P在定直線l上，因此求解的關鍵是建立坐標之間的關系，對關系式巧妙的整合、運算，消去參數x1,y1,x2,y2即可.

解:設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則在點A處的切線方程為(x-3)(x1-3)+(y-1)(y1-1)=5，在點B處的切線方程為(x-3)(x2-3)+(y-1)(y2-1)=5，兩方程相減，得(x1-x2)(x-3)+(y1-y2)(y-1)=0①，由Q，A，B三點共線，得(x1-x2)(t-y1)-(y1-y2)(s-x1)=0②，由①，②得(x1-s)(x-3)+(y1-t)(y-1)=0，即(x1-3+3-s)(x-3)+(y1-1+1-t)(y-1)=0，展開得(3-s)(x-3)+(1-t)(y-1)+(x1-3)(x-3)+(y1-1)(y-1)=0，又(x-3)(x1-3)+(y-1)(y1-1)=5，得(3-s)(x-3)+(1-t)(y-1)=0，化簡得(s-3)x+(t-1)y-3s-t+5=0，所以點P在定直線l上，直線l的方程為(s-3)x+(t-1)y-3s-t+5=0.

4.設而不求，巧求最值問題

圖1

5.設而不求，巧求范圍問題

圖2

6.設而不求，巧求軌跡方程

例6 長為2的線段AB在拋物線y=x2上滑動，求AB中點的軌跡方程.

分析:當直線與曲線相交時，如果已知弦的長度，所求的是弦中點的軌跡，那么可以對弦的兩端的坐標實施“設而不求”，再結合中點坐標公式，對所得到的式子實施“求和”或“作差”等一系列的變換和運算技巧便可求解.

“設而不求”的思想在解題中應用較為廣泛，在平時的解題中要不斷的探索和研究，要有意識地滲透“設而不求”的思想，對提升思維的靈活性和創(chuàng)造性大有裨益，對提升運算素養(yǎng)更是不言而喻的.

[1]郭建華.“設而不求”5例[J]．數理天地(高中版)，2016(3)：12-13．

(1)南京市教育科學“十三五”規(guī)劃2016年度立項課題“基于數學核心素養(yǎng)的高中生問題提出能力的研究”(編號：L/2016/076)的階段性研究成果.(2)江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃2016年度“教師發(fā)展研究專項”課題“高中數學教師命題評價能力培訓的實踐研究”(編號：J-c/2016/12)的階段性研究成果.耿健現為高三(6)班學生.