江蘇省常熟市游文小學(xué) 高 麗

低年級(jí)兒童代數(shù)思維能力分析與發(fā)展路徑

江蘇省常熟市游文小學(xué) 高 麗

代數(shù)是研究數(shù)、數(shù)量、關(guān)系與結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)分支，其研究對(duì)象不僅是數(shù)字，更加側(cè)重的是各種抽象化的“結(jié)構(gòu)”。因此，代數(shù)思維作為關(guān)系思維，常常被認(rèn)為是數(shù)學(xué)的“核心思想”，代數(shù)思維的早期發(fā)展亦可以使學(xué)生更加容易地接受代數(shù)符號(hào)，具有積極的實(shí)踐意義。

一、追蹤思維表現(xiàn)

1.圖式化理解“數(shù)”和“字”

一年級(jí)小學(xué)生寫數(shù)時(shí)，常常會(huì)將逆時(shí)針方向書寫的“6”，改為按順時(shí)針方向書寫成“”，還有“3”和“9”這兩個(gè)數(shù)字左右不分的“反寫”，出現(xiàn)頻率也是非常高，說明兒童對(duì)于圖形和字符空間位置的辨別能力還未發(fā)育成熟，不管是“數(shù)字”還是“漢字”，在他們眼中都只是一張張不同的圖片，“寫數(shù)”和“寫字”只是不同形式的“畫圖”而已。

2.不具備整體意識(shí)

如右圖，根據(jù)蘋果和桃子的數(shù)量，應(yīng)該分別在日格里寫上數(shù)字“5”和“3”，而孩子卻把“日”格看成上下兩部分，蘋果和桃子也相應(yīng)地分割數(shù)數(shù)，寫成了圖中答案。由此可知，他們?cè)诶斫忸}意、觀察數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)，只能關(guān)注局部而往往忽略整體，缺乏全面性。

3.關(guān)注動(dòng)作的暗示性

一次練習(xí)時(shí)，圖文呈現(xiàn)如下信息：“原來有5只羊，又來了4只羊，現(xiàn)在一共有多少只羊？”預(yù)設(shè)正確率應(yīng)該趨于100%。然而，批閱時(shí)卻發(fā)現(xiàn) “4+1＝5”和“1+4＝5”這兩種錯(cuò)誤的算式頻頻出現(xiàn)，很是奇怪。細(xì)細(xì)揣摩及進(jìn)行個(gè)別訪談后才了解到，原來是圖中小男孩的手勢(shì)誤導(dǎo)了孩子們的理解——小男孩的右手朝前伸，在他們看來是指圖上的這“5只羊”中已經(jīng)包括“又來了4只羊”，原來當(dāng)然“只有1只羊”。孩子們對(duì)觀察目標(biāo)和圖意線索的獨(dú)特的加工方式，由此可見一斑。

4.知識(shí)理解前置性強(qiáng)

孩子們進(jìn)入課堂學(xué)習(xí)時(shí)，帶有非常明顯的前置經(jīng)驗(yàn)以及來源于日常生活和家庭早教的截然不同的已有認(rèn)知。如小韜在解答“□＜5、10＞□”這樣的填數(shù)問題時(shí)，永遠(yuǎn)都是填“-4、-11、-100”這樣統(tǒng)一的答案。他是只會(huì)依樣畫葫蘆，還是真的知曉負(fù)數(shù)的一些實(shí)際意義呢？帶著這樣的疑問，請(qǐng)他“畫出一把帶有負(fù)數(shù)的直尺”，想從他的“圖畫”中尋找答案，很快便看到了下圖，從中可以看出，這個(gè)孩子對(duì)負(fù)數(shù)的直觀理解非常精準(zhǔn)，令人嘆為觀止。

二、組織專項(xiàng)前測(cè)

要想更進(jìn)一步了解低年級(jí)兒童代數(shù)思維發(fā)展的現(xiàn)狀，“學(xué)習(xí)前測(cè)”是一種更好的方式，因此可以結(jié)合例題學(xué)習(xí)，組織相關(guān)的學(xué)前測(cè)試并進(jìn)行細(xì)致分析。如教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)（蘇教版，下同）一年級(jí)上冊(cè)第八單元例11“求加法算式中的未知數(shù)”和“練習(xí)八”之前，組織了兩次學(xué)習(xí)前測(cè)，參加測(cè)試的為本校一（2）班和一（3）班全體學(xué)生，每班41人，共82人。

1.配合例11教學(xué)組織的前測(cè)

（1）總體情況：一共四大題，23個(gè)小題，測(cè)試總時(shí)間為10分鐘，最快學(xué)生完成時(shí)間為2分43秒，1人來不及完成，全對(duì)31人，最多錯(cuò)14題。全對(duì)的學(xué)生占測(cè)試總?cè)藬?shù)的37.8%，錯(cuò)誤率在50%以下的有77人，占93.9%，錯(cuò)誤率在50%及以上的有5人，占6.1%。

（2）分類統(tǒng)計(jì)及典型錯(cuò)誤：

（3）分析：從以上分析可以看出，類似于a+□＝c或□+b＝c的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生通過直觀畫一畫或借助已經(jīng)熟練掌握的“10以內(nèi)的加法”計(jì)算，能夠輕松解決，沒有理解和認(rèn)知上的誤解，正確率接近40%；較為明顯的錯(cuò)誤都源于計(jì)算不夠熟練，或?qū)︻}意理解不明。

2.配合練習(xí)八第5、9兩題組織的前測(cè)

第5題：5+5＝2+□，3+4＝□+1，10-2＝4+□，9-3＝3+□。

第9題：4+□＝5+□，4+□＝7+□，4+□＝9+□。

（1）總體情況：一共五大題，22個(gè)小題，測(cè)試總時(shí)間為15分鐘。最快學(xué)生完成時(shí)間為2分50秒，全對(duì)6人，最多錯(cuò)18題。全對(duì)的學(xué)生僅占測(cè)試總?cè)藬?shù)的7.3%，錯(cuò)誤率在50%以下的有27人，占32.9%，錯(cuò)誤率在50%及以上的有55人，占67.1%。

（2）分類統(tǒng)計(jì)及典型錯(cuò)誤：

（3）分析：從表中數(shù)據(jù)可以看出，對(duì)于□+b＝c+d 、a+□＝c+d、a+b＝□+d 、a+b＝c+□這類填空題，學(xué)生基本上都不能從等號(hào)的相等關(guān)系著手思考問題；特別是a+b＝□+d，大都是把“＝”指向于“運(yùn)算”而不是“關(guān)系”。

三、發(fā)展路徑與對(duì)策

1.組織專題教學(xué)，全面理解符號(hào)意義

從算術(shù)思維到代數(shù)思維的轉(zhuǎn)換標(biāo)志之一是從“程序觀念”到“關(guān)系觀念”的轉(zhuǎn)變。相對(duì)于大于號(hào)、小于號(hào)而言，等于號(hào)的“關(guān)系性質(zhì)”在低年級(jí)一直是極其淡化的。因此，在學(xué)習(xí)運(yùn)算的過程中，要在遵循學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的基礎(chǔ)上，選擇合適的時(shí)機(jī)組織專題教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生多維度認(rèn)識(shí)等號(hào)的關(guān)系性質(zhì)，豐富學(xué)生對(duì)關(guān)系符號(hào)意義和作用的認(rèn)識(shí)。

如結(jié)合上文提到的一上“練習(xí)八”中的5、9兩道練習(xí)題，組織了專題教學(xué)《填數(shù)游戲中的學(xué)問》，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、比較、分析、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，進(jìn)一步理解并建立等號(hào)的關(guān)系觀念，并能主動(dòng)運(yùn)用“等號(hào)的關(guān)系性質(zhì)”去重新認(rèn)識(shí)原有的算式，發(fā)展學(xué)生尋找關(guān)系、建立關(guān)系和應(yīng)用關(guān)系的能力。

2.加強(qiáng)對(duì)比溝通，深化理解符號(hào)內(nèi)涵

低年級(jí)兒童理解數(shù)學(xué)概念或解決問題時(shí)，十分依賴于直觀想象和已經(jīng)建立的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，而且學(xué)習(xí)能力較弱，辨析能力不強(qiáng)，非常容易受到相似信息或相近知識(shí)的干擾。如學(xué)習(xí)并理解“3+□＝10”“3+□＝6+4”這類習(xí)題的思考方法后，即使改變關(guān)系符號(hào)，填空題變?yōu)椤?+□＜10”或“3+□＞6+4”，學(xué)生仍然會(huì)按照原有的定式思維解決問題，繼續(xù)填入“3+ 7 ＜10”或“3+ 7 ＞6+4”而導(dǎo)致錯(cuò)誤。所以，要在課堂教學(xué)中結(jié)合學(xué)習(xí)難度的推進(jìn)不斷強(qiáng)化對(duì)“關(guān)系符號(hào)”的理解，及時(shí)溝通三者之間的聯(lián)系與區(qū)別，理解它們分別表示的是數(shù)與數(shù)之間不同的特定關(guān)系，從而將解決一種習(xí)題的思考方法自覺遷移、上升為解決一類習(xí)題的策略，發(fā)展并提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

3.開展多維分析，初步體會(huì)算式結(jié)構(gòu)

結(jié)合多樣化的數(shù)學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生多角度分類、觀察比較、探索規(guī)律，初步體會(huì)算式、運(yùn)算中的代數(shù)關(guān)系和結(jié)構(gòu)，并進(jìn)一步嘗試通過自然語言表達(dá)與交流，逐步發(fā)展抽象概括能力。如教學(xué)一上“得數(shù)是10的加法和相應(yīng)的減法”一課“想想做做”第3題時(shí)，絕不能僅僅局限于完成“湊十”的練習(xí)與填空，而是要一邊涂色操作，一邊同步有序呈現(xiàn)涂色的結(jié)果與算式，然后基于數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的分解與組合，通過數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生開展多維分析，發(fā)現(xiàn)加法算式中的一些規(guī)律，初步滲透與體會(huì)對(duì)“a+b＝b+a”、“a+b＝（a+1）+（b-1）”等算式結(jié)構(gòu)的理解與記憶，形成多元表征。

4.實(shí)行多向滲透，逐步培養(yǎng)代數(shù)思維

義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程，具有基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性，因此在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)擁有一種整體觀念，要著眼于學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中需要發(fā)展怎樣的數(shù)學(xué)思維。研讀小學(xué)數(shù)學(xué)教材不難發(fā)現(xiàn)，雖然正式學(xué)習(xí)代數(shù)知識(shí)是從五年級(jí)上冊(cè)開始的，但編者從起始年段的第一節(jié)課開始，就有意識(shí)地呈現(xiàn)符號(hào)的雛形，從一年級(jí)開始就安排初步代數(shù)知識(shí)的教學(xué)且滲透在不同學(xué)習(xí)領(lǐng)域，如從一二三年級(jí)的教材中，可以梳理出與代數(shù)知識(shí)教學(xué)有關(guān)的5個(gè)例題和85道練習(xí)題，因此可以挖掘、利用并拓展有用的學(xué)習(xí)素材，有效培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維。如計(jì)算“4+7”、“4+8”、“4+9”這樣的題組練習(xí)，或完成“4+7○5+8”這樣比較大小的練習(xí)時(shí)，除了采用“湊十”或先計(jì)算后比較的思路，還可以引導(dǎo)學(xué)生由第一個(gè)算式推理計(jì)算出其他算式的得數(shù)，可以要求學(xué)生“不計(jì)算直接比較大小”，在交流中評(píng)價(jià)多樣化的方法并找出其中包含的數(shù)學(xué)原理，從而與“a+b＝c和a+b+1＝c+1”、“a+b＜（a+1）+（b+1）”這樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)建立聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)由具體的計(jì)算技巧向一般化的數(shù)學(xué)模式的升華。