江蘇省昆山市葛江中學 楊麗娟

剖析隱含信息 重視參數(shù)表述
——2017蘇州中考數(shù)學壓軸題及評析

江蘇省昆山市葛江中學 楊麗娟

一、試題及試題出處

2017年蘇州市初中畢業(yè)暨升學考試數(shù)學試卷壓軸題，根據(jù)以往中考試卷的整體布局和雙向細目表，仍是以二次函數(shù)為主、融合平面圖形的綜合題。

如圖1，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B 兩點，與y軸交于點C，OB=OC。點D在函數(shù)圖象上，CD∥x軸，CD=2，直線l是拋物線的對稱軸，E是拋物線的頂點。

（1）求b、c的值；

（2）如圖①，連接BE ，線段OC上的點F關于直線l的對稱點F′恰好在線段BE上，求點F的坐標；

（3）如圖②，動點P在線段OB上，過點P作x軸的垂線分別與BC交于點M，與拋物線交于點N。試問：拋物線上是否存在Q，使得△PQN與△APM 的面積相等，且線段NQ的長度最?。咳绻嬖?，求出點Q的坐標；如果不存在，說明理由。

參考答案：

解：（1）（解法不唯一）根據(jù)題意知，二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=1，可知b=-2，將點B（-c,0）代入二次函數(shù)y=x2-2x+c，得 c=-3。

（2）由E（1，-4）、B（3,0）得到直線BE的解析式：y=2x-6。

設F(0，m)，則F＇（2，m），代入y=2x-6，得m=-2，故F坐標為（0，-2）。

（3）設P（ n，0），則M（n,n-3）、N (n,n2-2n-3)，如圖2，過點Q作QH⊥PN，垂足為點H。由S△PQN=S△APM，知PN·QH=PM·AP，得QH=1。

①當點Q在直線PN的左側時，Q（n-1，n2-4n），

NQ2=QH2+HN2=12+(3-2n)2，n=時，NQ取最小值1。

②當點Q在直線PN的右側時，Q（n+1，n2-4），

NQ2=QH2+HN2=12+(2n-1)2，n=時NQ取最小值1。此時點Q的坐標為

二、特色試題“特色”解讀

1.已知條件間接含蓄，增加求解析式的難度

縱觀近幾年蘇州市中考數(shù)學試卷壓軸題，第1小題都是求二次函數(shù)的解析式，如2016年28題第1小題：如圖3，直線y=-3x+3與x軸、y 軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=ax2-2ax+a+4（a＜0）經(jīng)過點B,求該拋物線的函數(shù)表達式。解析式中只有一個待定系數(shù)a ，只需一個已知條件，即點B（0，3）代入即可，解法唯一，學生容易解答。

本題所提供的二次函數(shù)解析式中有兩個待定系數(shù)b、c，需要兩個已知條件，題目中沒有直接提供，而是含蓄地拋出兩個信息。

信息一：與y軸交于點C，OB=OC，由此可得點C（0，c），則點B（-c，0）；

信息二：點D在函數(shù)圖象上，CD∥x軸，CD=2，由此可得D（2，c），對稱軸是直線x=1。

這兩個信息雖增加了求解析式的難度，但留給學生更多的思考空間。

方法一：將B（-c，0）、D（2，c）代入y=x2+bx+c，得到關于b、c的方程組解得。此種解法還是遵循常規(guī)，將點的坐標代入解析式求待定系數(shù)。

方法二：根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=1，可知b=-2，再將點B（-c,0）代入二次函數(shù)y=x2-2x+c，得c=-3。此種解法容易求得b，進而求得c，計算量不大。

2.借助參數(shù)表述，實現(xiàn)思維與運算相結合

參數(shù)就是用字母加以表述，是一種變量，是數(shù)學中的“活潑元素”，兼有常數(shù)和變數(shù)的雙重特征，用來控制隨其變化而變化的其他的量。參數(shù)問題將思維和運算有機地結合在一起，考查學生的思維能力、運算能力和推理能力。

題中有兩處利用設參數(shù)進行解答：

①第2小題，求點F的坐標。

因為點F在線段OC上，即在y軸上，設F(0，m)，點F＇與點F關于直線l對稱，且恰好在線段BE上，則F＇（2，m），代入BE解析式y(tǒng)=2x-6，得m=-2，點F坐標為（0，-2）。

②第3小題，求點Q的坐標。

因為點P在線段OB上，設P（n，0），則M（n,n-3）、N(n,n2-2n-3)，在此基礎上，通過分析用n表示出Q點的坐標，結合題意求得n，得到Q點的坐標。

參數(shù)在解題中作為溝通已知與未知的紐帶，常發(fā)揮重要作用，巧設參數(shù)解題是中學數(shù)學重要的解題方法，能拓寬思路、突破難點，能使看似復雜或難以求解的問題獲得簡潔清晰的解答。

3.所思即所得，培養(yǎng)學生積極探索的信心

以往的數(shù)學中考試卷綜合題的最后一問，通常是以煩瑣的計算或非同尋常的思路呈現(xiàn)，學生或畏懼于碌碌無為的計算，或止步于難以捕捉的瞬間靈感。例如2016年蘇州市中考數(shù)學試卷28題第3小題第2問：如圖4，將直線l繞點A按順時針方向旋轉得到直線l′，當直線l′與直線AM'重合時停止旋轉，在旋轉過程中，直線l′與線段BM′交于點C，設點B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2，當d1+d2最大時，求直線l′旋轉的角度（即∠BAC的度數(shù)）。分析：過點M ′作直線l1∥l′，過點B作BF⊥l1于點F，根據(jù)題意知：d1+d2=BF，要求出BF的最大值，將問題轉化到以BM′為直徑的圓中，當點F與點M′重合時，BF最大。因此過點M′作M′G⊥AB，利用勾股定理進行計算得到∠ABC=45°，從而說明∠BAC=45°。此問只有極個別學生可以完成，所以在平時的教學中，師生都可能會對此類問題選擇性放棄，不利于培養(yǎng)學生的探究精神。

本試題最后一問，同樣是求線段的最值問題，由S△PQN=S△APM，通過添加輔助線，知PN·QH=PM·AP，得QH=1，再利用勾股定理NQ2=QH2+HN2，由NQ的表達式分析得到NQ的最值，學生思路清晰順暢，解題方向明確。此題雖然計算量略大，但只要學生靜下心來認真思考作答，就可以避免走彎路、做無用功，幫助學生克服畏難情緒，增強學生積極探索的信心，利于學生數(shù)學核心能力的培養(yǎng)。

三、試題的教學導向分析

1.重視用字母表示數(shù)

本題兩處用設參數(shù)的方法進行計算，其實質就是用字母表示數(shù)。使用字母和符號給數(shù)學理論的表述和論證帶來了極大的方便，是初中學生學習數(shù)學必備的思想方法，是思維方法轉變的第一關，是初中數(shù)學教學的重點。蘇科版數(shù)學七年級上冊第3章《代數(shù)式》第1課時，就完成了“用字母表示數(shù)”數(shù)學思想的教學，在此基礎上，列方程解應用題時設未知數(shù)，解一些特殊的分式方程、無理方程時用換元法等等，都是簡單的應用，帶有模仿的性質。而本題中使用參變量，使學生對字母表示數(shù)的認識有了一個質的飛躍，增強了其應用自覺性。學生體會“用字母表示數(shù)”是一種重要的數(shù)學思想后，就要靠鞏固整式運算來落實。

在今后的教學中，應指導學生在現(xiàn)實情境中理解用字母表示數(shù)的意義，形成初步的符號感，提高應用數(shù)學的意識。

2.探究線段的最值問題

線段的最值問題一直備受中考數(shù)學的青睞，一般分為定點背景下求線段最值和動點背景下求線段最值。本題線段最值問題又和其他知識融合在一起，用n表示出點Q的坐標，得到NQ關于n的二次函數(shù)表達式，利用二次函數(shù)的最值分析得到NQ的最值，增加了線段最值問題的難度。教學中要引導學生對應教材中的知識點構建解題的數(shù)學模型，準確快速地解答此類問題。

例如：如圖5，已知圓柱底面的周長為4dm，圓柱高為2dm，在圓柱的側面上，過點A和點C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為( )

圖5

這是在定點背景下求線段最值。要求金屬絲的長，如圖6，將圓柱的側面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結果。

圖6

3.培養(yǎng)分類討論的意識

分類討論是一種重要的數(shù)學思想，是在解決問題的過程中，根據(jù)問題所出現(xiàn)的多種情況和可能性，分別進行研究的解題策略。本題分兩種情況討論——點Q在直線PN的左側和右側，分別用n的代數(shù)式表示NQ，討論n 的取值得到NQ的最小值。

分類討論思想可以有效克服思維的片面性，化整為零地解決復雜的數(shù)學問題，提高學生的數(shù)學解題能力，促使學生全面分析和思考問題。

4.滲透“數(shù)形結合”的思想

研究二次函數(shù)的圖象性質，其軸對稱性質是非常重要的。本題1、2兩小題，均用到了軸對稱的性質：①根據(jù)CD∥x軸，CD=2，知拋物線的對稱軸是直線x=1；②設點F(0，m)，點F'與點F關于直線x=1對稱，則點F'（2，m）。

這兩個信息是解題的關鍵，可以說，軸對稱性質始終貫穿題目，解決函數(shù)問題中的軸對稱，利用“數(shù)形結合”比單純的平面圖形問題簡單很多。讓學生感受“數(shù)形結合”的數(shù)學思想，把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系聯(lián)系起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”實現(xiàn)抽象思維與形象思維的結合，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而優(yōu)化解題途徑。