楊夫猛， 寇春海

(東華大學 理學院， 上海 201620)

基于觀測器的不確定再入飛行器模型的控制

楊夫猛， 寇春海

(東華大學 理學院， 上海 201620)

利用Lyapunov穩(wěn)定性理論并結合LMI(linear matrix inequation)方法，基于狀態(tài)觀測器，研究了一類含有不確定時變參數的再入飛行器模型的控制問題.首先，驗證了觀測器的可行性.其次，基于觀測器設計了狀態(tài)反饋控制器，以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性.最后，給出一個再入飛行器模型的實例仿真以驗證新提出的方法的有效性.

再入飛行器； 狀態(tài)觀測器； 控制器； 穩(wěn)定性

近年來，高速再入飛行器被廣泛應用于載人航天工程、探月工程等領域，因而其成為研究熱點.由于在再入飛行器的再入過程中，其飛行時間變長、飛行環(huán)境不斷變化和質心偏移等各種因素會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此對其進行相應的有效控制顯得尤為重要[1-3].關于飛控系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究成果很多.如文獻[4]基于軌跡優(yōu)化，提出了一種針對含有不確定參數和外部干擾的再入飛行器模型的自適應方法，但其輸入矩陣中的不確定參數不是時變矩陣.文獻[5]研究了一類輸入矩陣中未含不確定時變參數的系統(tǒng)，利用自適應方法，給出了一種自適應控制器.文獻[6]在未考慮輸入矩陣中含有不確定參數的情況下，設計滑模面，給出了一種自適應滑?？刂破鳎ＷC閉環(huán)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定.文獻[7]研究了一類系統(tǒng)矩陣中未含有不確定參數的飛控系統(tǒng)，利用滑模跟蹤控制方法，設計一個跟蹤控制器以抑制系統(tǒng)的不穩(wěn)定現(xiàn)象.在實際飛控系統(tǒng)中，不確定因素的存在會對系統(tǒng)建模及控制輸入帶來影響，因此有必要在系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣中同時加以考慮不確定因素.在設計控制器時，文獻[4-5]假設所有狀態(tài)信號均可獲取，但是實際系統(tǒng)的狀態(tài)并非如此，有些狀態(tài)根本無法有效得到，這對控制器的設計帶來諸多不確定因素.為了估計未知狀態(tài)，文獻[8-9]基于狀態(tài)觀測器，采用LMI(linear matrix inequation)方法，設計了狀態(tài)反饋控制器，以控制系統(tǒng)穩(wěn)定，但是其中的觀測器和控制器沒有分開設計，不能更好地驗證各自的有效性能.

基于以上分析，本文研究了一類不確定再入飛行器模型，其系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣中同時含有不確定時變參數.利用Lyapunov穩(wěn)定性理論并結合LMI方法提出了一種基于觀測器的控制方法，其中觀測器和控制器分別單獨進行設計，通過驗證各自的可行性，給出了保證系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件.

1 問題描述

本節(jié)首先給出文中所要研究的再入飛行器模型和含有不確定時變參數的再入飛行器模型.

1.1 再入飛行器模型

文獻[4]研究的再入飛行器系統(tǒng)方程如下所示.

sinγsinφcosψ)，

2ωeV(tanγcosψcosφ-sinφ)+

q=0.5ρ1V2，ρ1=ρ0e-ζ h，g=g0(R/(R+Rh))2，

式中：m，V分別為飛行器的質量和速度；ωx，ωy，ωz分別為機體x軸，y軸，z軸的角速度；T，F(xiàn)T，F(xiàn)N為機體軸對質心的空氣動力；Mx，My，Mz分別為x軸，y軸，z軸的力矩；γ，ψ分別為航跡角和航向角；R為地球半徑；θ，φ分別為經度和緯度；ξ為再入飛行器的傾斜角；Ix，Iy，Iz，Ixy，Iyz，Izx表示機體軸的轉動慣量；r為質心相對于地心的高度；q為動態(tài)壓力；ρ1為大氣密度；ρ0為海平面大氣層密度；x，z為橫、側向的距離；CD，CL分別為阻力、升力系數；S為飛行器參考面積；ωe，g0分別為地球角速度和重力加速度；ζ，h分別為密度系數和海拔高度.

經過一階線性化后，上述方程可表示為如式(1)的矩陣形式.

(1)

1.2 不確定再入飛行器模型

在再入飛行器的再入過程中，系統(tǒng)會受到不確定因素的影響而發(fā)生變化，系統(tǒng)穩(wěn)定性也會受到影響.本文為考慮含有不確定時變參數的再入飛行器模型.

(2)

式中：x(t)∈Rn為狀態(tài)向量；u(t)∈Rm為控制向量；y(t)∈Rp為輸出向量；A，B分別為系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣；C為已知矩陣；ΔA(t)， ΔB(t)是不確定矩陣，滿足

(3)

式中：Mi，Ni為已知矩陣；I為單位矩陣.且假設系統(tǒng)(A，C)可觀測，系統(tǒng)(A，B)可控.

2 觀測器設計和基于觀測器的控制器設計

在實際飛控系統(tǒng)中，系統(tǒng)狀態(tài)并非能全部直接得到，僅有輸出變量可以直接得到.本節(jié)主要借助狀態(tài)觀測器以估計實際狀態(tài)，并基于觀測器設計狀態(tài)反饋控制器.在設計觀測器和控制器之前，首先給出以下定義和引理.

引理2[10](Schur補引理)對于給定的實對稱矩陣

式中：S11為r×r維.下列條件等價：

引理3[11](Young不等式)對于?η>0及實向量x和y，有下面不等式成立：

2xTy≤ηxTx+η-1yTy.

(4)

2.1 觀測器設計

由于實際系統(tǒng)中的狀態(tài)變量并非能全部直接獲取，為了估計未知的實際狀態(tài)，根據系統(tǒng)(2)，設計狀態(tài)觀測器

定義

式中：e(t)∈Rn為狀態(tài)估計誤差向量，則狀態(tài)估計誤差動態(tài)方程為

(5)

定理1若存在μ>0，正定矩陣P∈Rn×n和矩陣L∈Rn×p滿足

(6)

則狀態(tài)估計誤差動態(tài)系統(tǒng)(5)是穩(wěn)定的，其中Φ11=(A-LC)TP+P(A-LC).

證明選取Lyapunov函數

V1(e)=eTPe，e∈Rn.

則它沿著式(5)的解的導數為

eT(t)((A-LC)TP+P(A-LC))e(t)+2eT(t)PΔA(t)e(t)，

(7)

由式(3)和(4)可知，存在μ>0使得

(8)

將式(8)代入式(7)中，得

由引理2知，式(6)等價于

2.2 控制器設計

基于上述設計的觀測器，設計系統(tǒng)(2)的狀態(tài)反饋控制器，并給出使系統(tǒng)(2)穩(wěn)定的充分條件.

基于狀態(tài)觀測器，設計如下狀態(tài)反饋控制器

(9)

式中：K∈Rm×n為待確定的反饋增益矩陣.

在給出主要結果之前，首先給出一個引理.

引理4[12]假設系統(tǒng)(A，B)可控，則存在反饋增益矩陣K∈Rm×n使得A-BK穩(wěn)定，即A-BK為Hurwitz矩陣.

定理2若存在εi>0(i=1， 2， 3， 4)，正定矩陣H∈Rn×n和矩陣K∈Rm×n，使得

(10)

式中：

Π12=HBK，

式中：K為式(9)中的反饋增益矩陣.則控制器(9)可使系統(tǒng)(2)穩(wěn)定.

證明將控制器(9)代入系統(tǒng)(2)中，則系統(tǒng)(2)可寫為

(A-BK)x(t)+(ΔA(t)-

ΔB(t)K)x(t)+(B+ΔB(t))Ke(t).

(11)

考慮Lyapunov函數

V2(x，e)=xTHx+eTPe，x，e∈Rn.

則它沿著式(11)的解的導數為

xT(t)((A-BK)TH+H(A-BK))x(t)+ 2xT(t)HΔA(t)x(t)- 2xT(t)HΔB(t)Kx(t)+ 2xT(t)HBKe(t)+ 2xT(t)HΔB(t)Ke(t)+

eT(t)((A-LC)TP+P(A-LC))e(t)+ 2eT(t)PΔA(t)e(t)，

(12)

式中：正定矩陣P∈Rn×n和矩陣L∈Rn×p由定理1給出.

又由式(3)和(4)知，存在εi>0(i=1， 2， 3， 4)分別滿足

(13)

將式(13)代入(12)中得

xT(t)((A-BK)TH+H(A-BK))x(t)+

然而，要找到滿足上述條件的H和K并不容易，下面結合LMI方法給出定理2的一個推論以求解反饋增益矩陣K.

推論假設正定矩陣P∈Rn×n和矩陣L∈Rn×p滿足定理1條件，若存在εi>0(i=1， 2， 3， 4)和矩陣K∈Rm×n，使得

(14)

式中：

E11=AT+A-KTBT-BK+

則基于觀測器的控制器(9)使系統(tǒng)(2)穩(wěn)定.

此推論說明，若求解式(14)求出矩陣K，則基于觀測器的控制器便可得到.

3 實例仿真

下面給出實例仿真，以驗證上述設計的有效性.

在系統(tǒng)(2)中，分別取矩陣A，B，C如下[4]：

不確定矩陣(3)中的M1，M2，F(xiàn)1(t)，F(xiàn)2(t)，N1，N2及系統(tǒng)(2)的初始向量分別取為

并選取參數μ=18，ε1=10-2，ε2=10-3，ε3=103，ε4=102.系統(tǒng)仿真結果如圖1和2所示.

(a) 攻角偏轉度 (b) 偏航角偏轉度 (c) 傾斜角偏轉度

(d) 升降舵偏轉度 (e) 副翼偏轉度 (f) 方向舵偏轉度 圖1 控制輸入信號Fig.1 Control input signals

(a) 速度 (b) 航跡角 (c) 航向角

(d) x軸角速度 (e) y軸角速度 (f) z軸角速度

(g) 質心高度 (h) 經度 (i) 緯度 圖2 實際狀態(tài)(實線)與估計狀態(tài)(虛線)軌跡Fig.2 Trajectory of the actual states (solid line) and the estimated states(dotted line)

圖1是系統(tǒng)在受到不確定因素影響時(0時刻開始)，對系統(tǒng)輸入的控制信號；圖2是再入飛行器的實際狀態(tài)(實線)與狀態(tài)觀測器所觀測的狀態(tài)(虛線)的軌跡.從圖1和2中可以清晰看出，所設計的觀測器能夠很好地觀測再入飛行器系統(tǒng)的實際狀態(tài)，通過反饋控制器，將所觀測到的狀態(tài)代入到實際系統(tǒng)中，并在短時間內有效地使系統(tǒng)達到了穩(wěn)定狀態(tài).

4 結 語

本文研究了一類含有不確定時變參數的再入飛行器模型的控制問題，主要利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和LMI(Linear Matrix Inequation)方法，分別單獨設計了狀態(tài)觀測器和狀態(tài)反饋控制器，最后通過實例仿真驗證了所提方法的有效性.

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Observer-BasedControlfortheReentryVehicleModelwithUncertainty

YANGFumeng，KOUChunhai

(College of Science，Donghua University， Shanghai 201620， China)

Based on state observer，the control for a class of reentry vehicle model with uncertain invariant parameters is discussed by using the Lyapunov stability theory together with the LMI (linear matrix inequation) opproach. Firstly，the feasibility of the observer is verified. Then， an observer-based state feedback controller is designed， which guarantees the stability of the related systems. Finally， a numerical simulation for a reentry vehicle model is presented to illustrate the effectiveness of the new proposed design methods.

reentry vehicle； state observer； controller； stability

1671-0444(2017)05-0764-07

2016-06-25

中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項基金資助項目(CUSF-DH-D-2014061)

楊夫猛(1987—)，男，山東滕州人，碩士研究生，研究方向為常微分方程.E-mail： yfmclp@163.com

寇春海(聯(lián)系人)，男，教授，E-mail： kouchunhai@dhu.edu.cn

O 231.1

A

(責任編輯：杜佳)