湖北省松滋市第二中學 盧 濤 (郵編：434213)

線性規(guī)劃中目標函數的變式研究

湖北省松滋市第二中學 盧 濤 (郵編：434213)

通過線性規(guī)劃目標函數分析,與數的形式聯想圖形的幾何量解決問題,目的為了發(fā)展學生類比聯想與解決問題的能力.

線性規(guī)劃;目標函數;構造變形

線性規(guī)劃是高考中的常考題型,對目標函數的分析處理形式多樣,考查靈活,面對眾多不同形式的目標函數類型,我們如何高效進行高三復習,本文通過一題多變,多題歸一研究了目標函數的類型以期對大家復習備考有參考作用.

(1)求z＝2x＋y的取值范圍.

目標函數過B(5,2)時,zmax＝12;目標函數過交點A(1,1)時,zmin＝3,故z∈ [3 ,12].

圖1

(3)設z＝x2＋y2,求z的取值范圍.

解析 設點 M(x ,y)、O(0,0),構造MO兩點之間的距離,MO＝,則z＝MO2,因為 AO ≤MO ≤BO,所以2≤z≤29.

評注 將目標函數轉化為兩點間的距離.

(4)求z＝ x＋y＋1的最小值.

解析 思路1 去掉絕對值化為x＋y＋1＝±z,求z的最小值.

思路2 構造點M(x ,y)與直線x＋y＋1＝0的距離d,則

所以z＝x＋y＋1＝ 2d,又A(1,1)到直線x＋y＋1＝0的距離d＝.

min

所以z＝2d≥3.

評注 z＝ Ax＋By＋C型轉化為點M(x ,y)到直線Ax＋By＋C＝0的距離.

思路3 因為可行域在直線x＋y＋1＝0上方,所以x＋y＋1＞0,,所以z＝x＋y＋1＝x＋y＋1,故y＝－x＋z－1,得zmin＝3.

評注 應用線性規(guī)劃思想直接去掉絕對值.

變式(2015高考浙江,文14) 已知實數x、y滿足x2＋y2≤1,則 2x＋y－4＋6－x－3y 的最大值是 .

解析 設z＝|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝ －2x－y＋4＋6－x－3y＝－3x－4y＋10轉化為在y軸截距形式解決.zmax＝15;

圖2

思路2 滿足條件的點 (x ,y)中,x＞0,y＞0,故z＝x＋2y,即y＝－,當過C1時,z＝1＋2×max＝.

評注 在題設條件下將 x的絕對值去掉,將目標函數化簡求得.

(6)x＋y＝z,求z最大值.

思路1 作出 x＋y＝z的圖象,若z變大時正方形DEFG逐步擴大,當正方形DEFG與△ABC相交時,當DE過B(5,2)時,zmax＝7.

評 注 將 x ＋y＝z整體考察,z相當于點D的縱坐標或者點E的橫坐標.

思路2 滿足條件的點 (x ,y)中,x＞0,y＞0故x＋y＝z,即y＝ －x＋z過B(5,2)時,zmax＝7.

圖3

評注 在題設條件下將 x 、y的絕對值去掉,將目標函數化簡求得.

(7)設點P(x,y)在可行域內,點M(－2,－1)求z＝的最大值.

評注 與向量有關的借助向量計算或者幾何性質解決.

變式 若P是△ABC平面區(qū)域內的一點,Q是直線2x＋y＝0上任一點,O是坐標原點,求最小值.

圖4

(8)求xy的最大值.

解析 因為可行域內的點 x,y( )中x、y都為正值,若x一定時,要使xy最大,則要y最大.所以xy最大時點一定在線段BC上.

評注 先分析出最值可能區(qū)域,再具體求最值.

max

圖5

評注 目標函數轉換為與二次函數開口開闊程度的量解決.

10()若x2＋4y2≥a恒成立,則a的最大值為多少?

當橢圓過A1,1( )時橢圓的長軸最長,故amax＝12＋4×12＝5.

評注 將問題轉換為橢圓的長軸的長短問題,借助橢圓幾何性質解決.

思路2 設2y＝t,則問題轉化為：x2＋t2≥a恒成立.

評注 通過仿射變換思想,將問題轉換為熟悉的距離問題.

線性規(guī)劃中目標函數主要考察數形結合,化歸轉化思想,考查學生分析,解決問題的能力,通過類比,聯想轉換成熟悉的數學模型,借助圖象幾何性質解決.如果我們減少題目背景,增加題目思維含量,相信在我們的復習中一定會事半功倍!

2017-09-23)