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        新課改下高中數(shù)學(xué)中圓垂徑定理的分析

        2017-12-15 11:34:08董存厚
        贏未來(lái) 2017年9期
        關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué)

        董存厚

        摘要:圓部分是高中數(shù)學(xué)中極為重要的一部分,也是高考重點(diǎn)考察對(duì)象之一,其延伸出來(lái)的題目也是千變?nèi)f化。本文將從垂徑定理的角度出發(fā)分析圓這類型題目的解法,旨在為廣大高中數(shù)學(xué)教師提供一些參考。

        關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué) 圓 垂徑定理 例題解析

        1 圓的垂徑定理及其重要性分析

        圓在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)著極為重要的位置,在高考數(shù)學(xué)中所占的比例也是相當(dāng)之大的,其一直是高考的核心內(nèi)容之一。從近年來(lái)的考察分析來(lái)看,高考對(duì)圓部分的要求越來(lái)越高,因而在日常的學(xué)習(xí)和圓部分的訓(xùn)練一定要循序漸進(jìn),掌握層次。這就需要咱們的學(xué)生在對(duì)知識(shí)有一定掌握的同時(shí),必須要讓學(xué)生能夠?qū)ο嚓P(guān)知識(shí)能進(jìn)行進(jìn)一步的靈活應(yīng)用,在解決較為困難或綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題的同時(shí), 能夠發(fā)散自己的思維。 解題的高效,靈活, 快捷,方便。有的人會(huì)說(shuō),解析幾何的本質(zhì)就是在于引導(dǎo)學(xué)生使用代數(shù)法對(duì)幾何圖形的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的研究, 使幾何問(wèn)題代數(shù)問(wèn)題兩者之間能夠相互轉(zhuǎn)換, 一旦只是一味的使用純代數(shù)進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算,方式方法的選擇不得當(dāng)?shù)脑?,解析幾何的運(yùn)算量將會(huì)有明顯的增大,學(xué)生的解題正確率就會(huì)很明顯地下降,常常會(huì)因?yàn)檫\(yùn)算太繁瑣半途而廢,也常常會(huì)因?yàn)檫\(yùn)算的失誤功虧一贊。

        在高中數(shù)學(xué)的幾何教學(xué)中,數(shù)形結(jié)合的思想無(wú)疑是最重要的數(shù)學(xué)思想之一,數(shù)形結(jié)合的典范很大一部分來(lái)自于解析幾何,能夠進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,學(xué)生若是能夠?qū)缀螆D形進(jìn)行深入研究會(huì)發(fā)現(xiàn),數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性與形的直觀性能在這一思想中得到充分的發(fā)揮。

        2 垂徑定理證明

        如圖1 ,在⊙O中,DC為直徑, AB是弦,AB⊥DC于點(diǎn)E,AB、CD交于E,求證:AE=BE,弧AC=弧BC,弧AD= 弧BD

        圖1垂徑定理證明圖

        證明:連OA、OB分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B.

        ∵OA、OB是⊙O的半徑

        ∴OA=OB

        ∴△OAB是等腰三角形

        ∵AB⊥DC

        ∴AE=BE,∠AOE=∠BOE(等腰三角形的三線合一性質(zhì))

        ∴弧AD=弧BD,∠AOC= 角BOC

        ∴弧AC=弧BC

        3 題型分析

        3.1 常規(guī)題

        已知圓C:(x-1)^2+y^2=9 內(nèi)有一點(diǎn)P(2,2),過(guò)點(diǎn)P作直線L交圓C于A、B兩點(diǎn).

        (1)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí),求直線L的方程。

        (2)當(dāng)直線的傾斜角為45°時(shí),求弦AB的長(zhǎng)。

        (1)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)

        圓心C與點(diǎn)P的連線必然與AB垂直

        所以得到AB的斜率

        k=-1/2

        y-2=-1/2(x-2)

        x+2y-6=0

        (2)直線l的傾斜角為45°,直線AB的方程y=x

        求圓心(1,0)到直線y=x的距離為1/√2

        利用垂徑定理,得|AB|=2×√34/2=√34。

        3.2 兩圓相交,巧用垂徑定理

        圓c:x2 +y2=2,過(guò)P(1,1)作兩條相異直線與圓分別交于A,B兩點(diǎn),直線PA和PB拘傾斜角互補(bǔ),判斷直線OP與AB是否平行?若是,請(qǐng)給出證明;若不是請(qǐng)說(shuō)明理由

        解 過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線,與圓C交于點(diǎn)Q,則Q(l,-l)因?yàn)橹本€PA和PB的傾斜角互補(bǔ),所以直線PA、PB關(guān)于直線Po對(duì)稱,即角APQ=角BPQ所以,AQ= BQ,所以,oo垂直平分AB.因?yàn)橹本€OQ'的斜率為-l,直線OP的斜率為l,所以O(shè)O垂直O(jiān)P,所以O(shè)P與AB平行。

        3.3 橢圓化圓,運(yùn)用垂徑定理簡(jiǎn)化過(guò)程

        橢圓的問(wèn)題通常采用二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系或引入?yún)?shù)來(lái)求解,但常常導(dǎo)致運(yùn)算上的繁瑣和消參的困難,而圓的有關(guān)問(wèn)題卻更容易解決。圓和橢圓具有明顯區(qū)別,但又有必然聯(lián)系。對(duì)于圓來(lái)說(shuō),利用垂徑定理和點(diǎn)到直線間的距離公式,可以極大地簡(jiǎn)化計(jì)算量。將橢圓轉(zhuǎn)化成圓,是利用了點(diǎn)與曲線、曲線與曲線的位置關(guān)系在這一變換下的不變性。

        先對(duì)橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1做x=ax',y=by'的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。在這種轉(zhuǎn)換下,xoy平面內(nèi)的任一點(diǎn)P(x,y)轉(zhuǎn)換為x'o'y'平面內(nèi)的點(diǎn)P'(x',y')。橢圓方程x^2/a^2+y^2/b^2=1也就轉(zhuǎn)換為x'o'y'平面內(nèi)的單位圓x'^2+y'^2=1。但是要注意,被轉(zhuǎn)化的橢圓的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程。【橢圓的一般方程(高中不接觸)經(jīng)坐標(biāo)變換總可以化為標(biāo)準(zhǔn)方程,當(dāng)然我們接觸的都是標(biāo)準(zhǔn)方程】還要注意要將結(jié)果完全還原。常見(jiàn)的問(wèn)題會(huì)有:判斷直線和橢圓位置關(guān)系,常規(guī)解法應(yīng)該是直線與橢圓方程聯(lián)立根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系。但如果把橢圓圓化,此問(wèn)題便轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系了。因而,對(duì)上面問(wèn)題的證明通常情況下可進(jìn)行如下處理:一般化情況下,直線Ax+By+C=0與橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1的位置關(guān)系討論(也是一個(gè)定理)如前所述,首先作變換x=ax',y=by',那么直線和橢圓分別轉(zhuǎn)化為直線aAx'+bBy'+C=0和單位圓x'^2+y'^2=1。得到圓心到直線距離公式d=|C|/√(a^2A^2+b^2B^2)。(這個(gè)公式是不改變的)原來(lái)的直線和橢圓相交,就是轉(zhuǎn)化后的直線和圓相交,那么d0。同理,直線和橢圓相切,就是轉(zhuǎn)化后的直線和圓相切,a^2A^2+b^2B^2-C^2=0;直線和橢圓相離,a^2A^2+b^2B^2-C^2。

        4 結(jié)論

        通過(guò)第一節(jié)的論證我們知道垂徑定理在橢圓里也是可以使用的,而且從第二節(jié)中的分析我們可以看出:如果使用得當(dāng)那么垂徑原理對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算有著很大幫助,此外在雙曲線中垂徑原理也可以得到一定的運(yùn)用。讀者可自行嘗試。

        參考文獻(xiàn):

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        [4] 石高安.數(shù)形結(jié)合,例談垂徑定理在橢圓問(wèn)題中的高效作用[J].數(shù)理化解題研究:高中版,2013(4):10-11.

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