董存厚

摘要：圓部分是高中數(shù)學(xué)中極為重要的一部分，也是高考重點(diǎn)考察對(duì)象之一，其延伸出來(lái)的題目也是千變?nèi)f化。本文將從垂徑定理的角度出發(fā)分析圓這類型題目的解法，旨在為廣大高中數(shù)學(xué)教師提供一些參考。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 圓 垂徑定理 例題解析

1 圓的垂徑定理及其重要性分析

圓在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)著極為重要的位置，在高考數(shù)學(xué)中所占的比例也是相當(dāng)之大的，其一直是高考的核心內(nèi)容之一。從近年來(lái)的考察分析來(lái)看，高考對(duì)圓部分的要求越來(lái)越高，因而在日常的學(xué)習(xí)和圓部分的訓(xùn)練一定要循序漸進(jìn)，掌握層次。這就需要咱們的學(xué)生在對(duì)知識(shí)有一定掌握的同時(shí)，必須要讓學(xué)生能夠?qū)ο嚓P(guān)知識(shí)能進(jìn)行進(jìn)一步的靈活應(yīng)用，在解決較為困難或綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題的同時(shí)， 能夠發(fā)散自己的思維。 解題的高效，靈活， 快捷，方便。有的人會(huì)說(shuō)，解析幾何的本質(zhì)就是在于引導(dǎo)學(xué)生使用代數(shù)法對(duì)幾何圖形的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的研究， 使幾何問(wèn)題代數(shù)問(wèn)題兩者之間能夠相互轉(zhuǎn)換， 一旦只是一味的使用純代數(shù)進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算，方式方法的選擇不得當(dāng)?shù)脑?，解析幾何的運(yùn)算量將會(huì)有明顯的增大，學(xué)生的解題正確率就會(huì)很明顯地下降，常常會(huì)因?yàn)檫\(yùn)算太繁瑣半途而廢，也常常會(huì)因?yàn)檫\(yùn)算的失誤功虧一贊。

在高中數(shù)學(xué)的幾何教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的思想無(wú)疑是最重要的數(shù)學(xué)思想之一，數(shù)形結(jié)合的典范很大一部分來(lái)自于解析幾何，能夠進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生若是能夠?qū)缀螆D形進(jìn)行深入研究會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性與形的直觀性能在這一思想中得到充分的發(fā)揮。

2 垂徑定理證明

如圖1 ，在⊙O中，DC為直徑， AB是弦，AB⊥DC于點(diǎn)E，AB、CD交于E，求證：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD

圖1垂徑定理證明圖

證明：連OA、OB分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B.

∵OA、OB是⊙O的半徑

∴OA=OB

∴△OAB是等腰三角形

∵AB⊥DC

∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形的三線合一性質(zhì)）

∴弧AD=弧BD，∠AOC= 角BOC

∴弧AC=弧BC

3 題型分析

3.1 常規(guī)題

已知圓C：（x-1）^2+y^2=9 內(nèi)有一點(diǎn)P（2，2），過(guò)點(diǎn)P作直線L交圓C于A、B兩點(diǎn).

（1）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，求直線L的方程。

（2）當(dāng)直線的傾斜角為45°時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)。

（1）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)

圓心C與點(diǎn)P的連線必然與AB垂直

所以得到AB的斜率

k=-1/2

y-2=-1/2（x-2）

x+2y-6=0

（2）直線l的傾斜角為45°，直線AB的方程y=x

求圓心（1，0）到直線y=x的距離為1/√2

利用垂徑定理，得|AB|=2×√34/2=√34。

3.2 兩圓相交，巧用垂徑定理

圓c：x2 +y2=2，過(guò)P（1，1）作兩條相異直線與圓分別交于A，B兩點(diǎn)，直線PA和PB拘傾斜角互補(bǔ)，判斷直線OP與AB是否平行？若是，請(qǐng)給出證明；若不是請(qǐng)說(shuō)明理由

解 過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，與圓C交于點(diǎn)Q，則Q（l，-l）因?yàn)橹本€PA和PB的傾斜角互補(bǔ)，所以直線PA、PB關(guān)于直線Po對(duì)稱，即角APQ=角BPQ所以，AQ= BQ，所以，oo垂直平分AB.因?yàn)橹本€OQ'的斜率為-l，直線OP的斜率為l，所以O(shè)O垂直O(jiān)P，所以O(shè)P與AB平行。

3.3 橢圓化圓，運(yùn)用垂徑定理簡(jiǎn)化過(guò)程

橢圓的問(wèn)題通常采用二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系或引入?yún)?shù)來(lái)求解，但常常導(dǎo)致運(yùn)算上的繁瑣和消參的困難，而圓的有關(guān)問(wèn)題卻更容易解決。圓和橢圓具有明顯區(qū)別，但又有必然聯(lián)系。對(duì)于圓來(lái)說(shuō)，利用垂徑定理和點(diǎn)到直線間的距離公式，可以極大地簡(jiǎn)化計(jì)算量。將橢圓轉(zhuǎn)化成圓，是利用了點(diǎn)與曲線、曲線與曲線的位置關(guān)系在這一變換下的不變性。

先對(duì)橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1做x=ax'，y=by'的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。在這種轉(zhuǎn)換下，xoy平面內(nèi)的任一點(diǎn)P（x，y）轉(zhuǎn)換為x'o'y'平面內(nèi)的點(diǎn)P'（x'，y'）。橢圓方程x^2/a^2+y^2/b^2=1也就轉(zhuǎn)換為x'o'y'平面內(nèi)的單位圓x'^2+y'^2=1。但是要注意，被轉(zhuǎn)化的橢圓的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程。【橢圓的一般方程（高中不接觸）經(jīng)坐標(biāo)變換總可以化為標(biāo)準(zhǔn)方程，當(dāng)然我們接觸的都是標(biāo)準(zhǔn)方程】還要注意要將結(jié)果完全還原。常見(jiàn)的問(wèn)題會(huì)有：判斷直線和橢圓位置關(guān)系，常規(guī)解法應(yīng)該是直線與橢圓方程聯(lián)立根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系。但如果把橢圓圓化，此問(wèn)題便轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系了。因而，對(duì)上面問(wèn)題的證明通常情況下可進(jìn)行如下處理：一般化情況下，直線Ax+By+C=0與橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1的位置關(guān)系討論（也是一個(gè)定理）如前所述，首先作變換x=ax'，y=by'，那么直線和橢圓分別轉(zhuǎn)化為直線aAx'+bBy'+C=0和單位圓x'^2+y'^2=1。得到圓心到直線距離公式d=|C|/√（a^2A^2+b^2B^2）。（這個(gè)公式是不改變的）原來(lái)的直線和橢圓相交，就是轉(zhuǎn)化后的直線和圓相交，那么d0。同理，直線和橢圓相切，就是轉(zhuǎn)化后的直線和圓相切，a^2A^2+b^2B^2-C^2=0；直線和橢圓相離，a^2A^2+b^2B^2-C^2。

4 結(jié)論

通過(guò)第一節(jié)的論證我們知道垂徑定理在橢圓里也是可以使用的，而且從第二節(jié)中的分析我們可以看出：如果使用得當(dāng)那么垂徑原理對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算有著很大幫助，此外在雙曲線中垂徑原理也可以得到一定的運(yùn)用。讀者可自行嘗試。

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