陳忠

用樣本分布估計總體分布是從樣本分布狀況的角度分析總體的規(guī)律，涉及的內(nèi)容有圖表和數(shù)字特征. 其中圖表包括頻率分布表及直方圖、折線圖、散點圖、莖葉圖. 數(shù)字特征包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等. 考綱對這部分內(nèi)容的要求是識圖、讀圖和估計. 本文將通過幾個實例分析這類題型的解法.

數(shù)據(jù)特征

例1 為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了[n]塊地作試驗田.這[n]塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg）分別為[x1]，[x2]，…，[xn]，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是（ ）

A. [x1]，[x2]，…，[xn]的平均數(shù)

B.[x1]，[x2]，…，[xn]的標(biāo)準(zhǔn)差

C.[x1]，[x2]，…，[xn]的最大值

D.[x1]，[x2]，…，[xn]的中位數(shù)

解析 刻畫評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差.

答案 B

點評 眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平. 中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)（起到分水嶺的作用），中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平. 平均數(shù)：反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平. 方差：反映和中心偏離的程度，用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動大小（即這批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大?。?，并把它叫作這組數(shù)據(jù)的方差.在樣本容量相同的情況下，方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定.標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，意義在于反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度.

頻率分布表及頻率分布直方圖

例2 某手機(jī)賣場對市民進(jìn)行國產(chǎn)手機(jī)認(rèn)可度的調(diào)查，隨機(jī)抽取100名市民，按年齡（單位：歲）進(jìn)行統(tǒng)計的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖如下. 求頻率分布表中[x，y]的值，并補(bǔ)全頻率分布直方圖.

解析 由圖知，[P（25≤x<30）=0.01×5=0.05]，

故[x=100×0.05=5].

[P（30≤x<35）]=1-（0.05+0.35+0.3+0.1）=1-0.8=0.2，

故[y]=100×0.2=20.

圖中缺失部分：[頻率組距=0.25=0.04]（畫圖略）.

點評 用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想，而利用頻率分布表和頻率分布直方圖來估計總體則是用樣本的頻率分布去估計總體分布的兩種主要方法. 頻率分布表在數(shù)量表示上比較準(zhǔn)確，頻率分布直方圖比較直觀. 頻率分布表中的頻數(shù)之和等于樣本容量，各組中的頻率之和等于1；在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，所以，所有小長方形的面積的和等于1.

例3 某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男、女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖.

（1）從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計其分?jǐn)?shù)小于70的概率；

（2）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50）上的人數(shù)；

（3）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例.

解析 （1）根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為[（0.02+0.04）×10=0.6].

所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為[1-0.6=0.4].

所以從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計為0.4.

（2）根據(jù)題意知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為[（0.01+0.02+0.04+0.02）×10=0.9]，分?jǐn)?shù)在區(qū)間[[40，50）]上的人數(shù)為[100-100×0.9-5=5].

所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[[40，50）]上的人數(shù)估計為[400×5100=20].

（3）由題意知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為[（0.02+0.04）×10×100=60]，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為[60×12=30].

所以樣本中男生人數(shù)為[30×2=60]，女生人數(shù)為100-60=40，男生和女生人數(shù)的比例為60∶40=3∶2.

所以根據(jù)分層抽樣原理，總體中男生和女生的人數(shù)比例估計為3∶2.

點評 利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時，應(yīng)注意三點：①最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)即為眾數(shù)；②中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和.

折線圖

例4 某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.

根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)

解析 觀察折線圖知，每年7月到8月折線圖呈現(xiàn)下降趨勢，月接待游客量減少，選項A錯誤；折線圖整體呈現(xiàn)出增長的趨勢，年接待游客量逐年增加，選項B正確；每年的接待游客量7，8月份達(dá)到最高點，即各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，選項C正確；每年1月至6月的月折線圖平穩(wěn)，月接待游客量波動性更小，7月至12月折線圖不平穩(wěn)，月接待游客量波動性大，選項D正確.

答案 Aendprint

點評 折線圖能比較明顯地反映數(shù)據(jù)的變化趨勢.折線圖是頻率分布直方圖的近似，但它比頻率分布表更直觀、形象地反映了樣本的分布規(guī)律.

莖葉圖

例5 某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下.

A地區(qū)： 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76

78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地區(qū)： 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可）；

解析 兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如圖.

通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；A地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，B地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.

點評 由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況，這一點同頻率分布直方圖類似. 它優(yōu)于頻率分布直方圖的有兩點：（1）從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失；（2）莖葉圖便于記錄和表示. 其缺點是當(dāng)樣本容量較大時，作圖較煩瑣. 利用莖葉圖對樣本進(jìn)行估計時，要注意區(qū)分莖與葉，莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù).

散點圖

例6 為了研究某班學(xué)生的腳長[x]（單位：厘米）和身高[y]（單位：厘米）的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名 學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出[y]與[x]之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為[y=bx+a].已知[Σi=110xi=225，Σi=110yi=1600，b=4，]該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為（ ）

A. 160 B. 163

C. 166 D. 170

解析 由線性回歸方程為[y=4x+a，]

則[x=110Σi=110xi=22.5，y=Σi=110yi=160.]

則數(shù)據(jù)的樣本中心點（22.5，160）.

由回歸直線方程樣本中心點得，

則[a=y-4x=160-4×22.4=70.]

所以回歸直線方程為[y=4x+70.]

當(dāng)[x=24]時，[y=4×24+70=166.]

則估計其身高為166.

例7 下面的4個散點圖中，兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的是（ ）

[③④][①②]

A. ①② B. ①③

C. ②④ D. ③④

解析 由圖可知：①是一次函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系；②的所有點在一條直線附近波動，是線性相關(guān)關(guān)系；③不具有相關(guān)系；④在某曲線附近波動是非線性相關(guān)關(guān)系. 所以兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的是②④.

答案 C

點評 散點圖一般用來判斷相關(guān)關(guān)系或者進(jìn)行線性回歸分析. 線性回歸分析時，要注意樣本點不一定在回歸直線上，但樣本點的中心[（x，y）]一定在回歸直線上.endprint