李超貴

幾何畫板作為一款簡(jiǎn)單易學(xué)的數(shù)學(xué)軟件，體型小巧卻功能強(qiáng)大，可以為數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)設(shè)一個(gè)“做數(shù)學(xué)”的環(huán)境，開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，打造探究課堂，因而受到廣大數(shù)學(xué)教師的青睞。筆者作為一名幾何畫板的忠實(shí)粉絲，也積累了一些使用心得，現(xiàn)略舉一二。

一、開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，打造探究課堂

我們?yōu)榱双@得某種數(shù)學(xué)結(jié)論、檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)數(shù)學(xué)猜想、解決某類實(shí)際問題時(shí)，可以利用幾何畫板的構(gòu)造、計(jì)算、度量等功能創(chuàng)設(shè)“做數(shù)學(xué)”的環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維積極參與，開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，打造探究課堂。

如對(duì)“兩個(gè)三角形中有五個(gè)元素分別相等，那么這兩個(gè)三角形一定全等嗎？”這個(gè)問題的探究，可以設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)探究活動(dòng)———

探究1.請(qǐng)構(gòu)造出一對(duì)三角形，它們有五個(gè)元素分別相等，但這兩個(gè)三角形卻不全等；

探究2.這樣的三角形有多少對(duì)？能否找到一般性的構(gòu)造方法？

根據(jù)兩個(gè)三角形全等的判定定理，這五個(gè)元素只可能是三個(gè)角、兩條邊，否則一定是全等的。問題的關(guān)鍵是我們可否構(gòu)造出相應(yīng)的反例。很顯然，圖1所示的一對(duì)三角形有五個(gè)元素分別相等，但它們不全等。

為了進(jìn)一步探究這類三角形，我們可以在幾何畫板中搭建如下實(shí)驗(yàn)平臺(tái)：

第一步，新建參數(shù)k，a（k>0，a>0），初始值k=1.200（注意調(diào)節(jié)參數(shù)屬性，使數(shù)值精確度為千分之一，參數(shù)的鍵盤調(diào)節(jié)幅度為0.001），a=2.00；

第二步，計(jì)算ka，k2a，k3a，并分別畫出長(zhǎng)為a，ka，k2a，k3a的四條線段；

第三步，畫線段AB=a，分別以A，B為圓心，以k2a和ka為半徑畫圓，記其中一個(gè)交點(diǎn)為C，再畫線段DE=ka，分別以D，E為圓心，以k3a和k2a為半徑畫圓，記其中一個(gè)交點(diǎn)為F（如圖2所示）；

第四步，改變參數(shù)a，k的值，觀察圖形的變化。

通過觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，我們可以發(fā)現(xiàn)分別以a，ka，k2a和ka，k2a，k3a為邊的兩個(gè)三角形是符合條件的，它們是一對(duì)相似三角形，k是它們的相似比，用這種方法可以構(gòu)造出無數(shù)多組這樣的三角形。

那么，是否對(duì)于任意的參數(shù)a，k都可以構(gòu)造出滿足條件的一對(duì)三角形呢？通過實(shí)驗(yàn)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一對(duì)三角形構(gòu)造出來后，僅改變a的值，只是改變一對(duì)三角形的大小。但當(dāng)參數(shù)a固定，參數(shù) k變化到某個(gè)范圍之外時(shí)，三角形并不存在（如圖3、圖4所示）。

如圖7所示，先度量出DH的距離x，四邊形EFKH的面積S，依次選擇x，S，在“繪圖”菜單中繪制點(diǎn)P（x，S），再選擇點(diǎn)H，在“構(gòu)造”菜單中選擇“軌跡”，得到一個(gè)S關(guān)于x的函數(shù)圖像，直觀反映出四邊形EFKH的面積S隨H點(diǎn)位置變化的規(guī)律。分析圖像特征，可以斷定這是一個(gè)二次函數(shù)的圖像。類似地，我們還可以研究四邊形EFKH的周長(zhǎng)、吟AGH的面積，等等。

（1）求證：∠AHD=蟻AEF；

（2）求證：△CHG的周長(zhǎng)為定值；

（3）設(shè)DH的長(zhǎng)為x，四邊形EFKH的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

（4）當(dāng)點(diǎn)H移動(dòng)時(shí)，設(shè)吟DEH的周長(zhǎng)為L(zhǎng)1，△KGF的周長(zhǎng)為L(zhǎng)2，判斷L1+L2是否為定值，為什么？

（5）設(shè)DH的長(zhǎng)為x，吟DEH的面積為S1，吟KGF的面積為S2，S0=S1+S2，求出S0與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S0是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

有了前面的實(shí)驗(yàn)手段作定性分析，再通過合情推理、定量計(jì)算，解決上面這組問題并不困難，讀者不妨嘗試一下，或許還有更多的發(fā)現(xiàn)。

幾何畫板是我們數(shù)學(xué)老師的好幫手，只要我們細(xì)心琢磨，還會(huì)玩出更多的花樣。特別是我們把它當(dāng)作一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的平臺(tái)的時(shí)候，它的魅力會(huì)激發(fā)我們獲得更多的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造。

（作者單位：長(zhǎng)沙市雨花區(qū)教育科學(xué)研究所）endprint