肖 勇

(寧德職業(yè)技術(shù)學(xué)院，福建 福安 355000)

概念圖在高等數(shù)學(xué)運(yùn)算中的應(yīng)用研究

肖 勇

(寧德職業(yè)技術(shù)學(xué)院，福建 福安 355000)

概念圖是一種行之有效的新型教學(xué)策略形式，是很好的組織和表達(dá)知識(shí)概念及其相互關(guān)系的工具。闡述概念圖的組成和實(shí)質(zhì)，探究如何更好地將概念圖應(yīng)用在高等數(shù)學(xué)運(yùn)算中。

概念圖；高等數(shù)學(xué)；運(yùn)算

高等數(shù)學(xué)是一門內(nèi)容復(fù)雜、數(shù)學(xué)邏輯性強(qiáng)、概念抽象的學(xué)科，學(xué)生接受難度較大。在任何學(xué)科領(lǐng)域，概念都不是零散獨(dú)立存在的，相互之間必然存在聯(lián)系。概念圖能將高等數(shù)學(xué)中較為抽象繁瑣的知識(shí)點(diǎn)以結(jié)構(gòu)圖的方式直觀地表示出來，使知識(shí)脈絡(luò)十分清晰，能有效地幫助學(xué)生理解思路。[1]

傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法是歸納要點(diǎn)，形成知識(shí)框架圖。與之相比，概念圖更適合作為學(xué)生復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)的工具。形式上，概念圖比知識(shí)框架圖更為簡(jiǎn)練；內(nèi)容上，概念圖是以概念為基點(diǎn)，結(jié)合知識(shí)本質(zhì)內(nèi)涵，較框架圖更為全面。在復(fù)習(xí)中，學(xué)生通常容易忽略舊概念，疏漏某些知識(shí)點(diǎn)，而概念圖可讓知識(shí)點(diǎn)間產(chǎn)生新的聯(lián)系并且環(huán)環(huán)相扣。

圖1 概念圖結(jié)構(gòu)分析

1 作為一種學(xué)習(xí)方法，可幫助學(xué)生理解、記憶概念

高等數(shù)學(xué)的知識(shí)與實(shí)際結(jié)合少，不具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)操作意義；與高中知識(shí)銜接不大，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中面臨的難度不小。高等數(shù)學(xué)的運(yùn)算復(fù)雜，運(yùn)算過程中往往綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)定理。以微積分中極限為例，極限是微積分中一個(gè)基礎(chǔ)性內(nèi)容，微積分中幾乎所有的概念都是建立在這一概念基礎(chǔ)上的，例如，連續(xù)、微分、積分等，這一基礎(chǔ)概念的把握對(duì)整個(gè)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)無疑是至關(guān)重要的。如果僅僅依賴傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方法很難快速地理解掌握，鑒于此，筆者在教學(xué)中引入概念圖。首先讓學(xué)生充分理解極限的含義，包括函數(shù)極限、數(shù)列的含義、極限的性質(zhì)；分析各個(gè)概念間的關(guān)系，并初步制作出小部分的概念圖。制作概念圖的過程中能夠直觀地顯示出所掌握的某一章節(jié)的知識(shí)是否存在漏洞，同時(shí)也能幫助學(xué)生層層深入，多角度理解概念尤其是一些抽象概念。作為一種學(xué)習(xí)方法，概念圖可以促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)，還可以緩解學(xué)生的焦慮，一定程度上改變學(xué)生對(duì)學(xué)科的認(rèn)知。當(dāng)然高等數(shù)學(xué)的運(yùn)算練習(xí)很少是利用某一知識(shí)點(diǎn)便能解決的，概念圖則可輔助學(xué)生綜合完成習(xí)題。

2 構(gòu)建完整的知識(shí)框架，輔助形成整體概念

高等數(shù)學(xué)邏輯性極強(qiáng)，知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系非常密切，環(huán)環(huán)相扣。在教學(xué)中，教師要傳遞一種整體思想，學(xué)生也需要對(duì)知識(shí)進(jìn)行歸納與整合，以致形成系統(tǒng)的知識(shí)框架，而概念圖是一個(gè)有效的方法。上文中我們提到的極限的知識(shí)涉及面極廣。在數(shù)學(xué)分析中，函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等都是利用極限來定義的，由此可將微積分中后半部分加以結(jié)合。學(xué)生通過逐步學(xué)習(xí)連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)、極值、有界性以及介值定理，定積分與不定積分的知識(shí)，再于數(shù)列、函數(shù)同一層級(jí)和下一層級(jí)補(bǔ)充完善概念圖。當(dāng)然，概念圖也可微觀具體化某一知識(shí)點(diǎn)。下面就函數(shù)的極限展開分析。函數(shù)的極限可分為x趨近于0、x趨近于正無窮、x趨近于負(fù)無窮三種情況。這三者之間又涉及到加減乘除基本運(yùn)算、無窮小的比較等知識(shí)點(diǎn)。[1]以此順序逐步構(gòu)建概念圖，完整歸納函數(shù)極限的各個(gè)運(yùn)算流程，如圖2所示。

上文對(duì)概念圖如何在高等數(shù)學(xué)直接計(jì)算中應(yīng)用進(jìn)行了舉例說明，但在高等數(shù)學(xué)中，證明定理及推論也是很重要的題型。很多題目的證明，采用反證法比直接證明法會(huì)更快速簡(jiǎn)便。概念圖能有效構(gòu)建完整的知識(shí)框架，在這一方面的作用更是突出。概念圖用箭頭方向標(biāo)明各概念間的推理關(guān)系，圖中配以典型案例對(duì)節(jié)點(diǎn)表示的概念進(jìn)行說明，反證法能使概念圖得到更好的利用。例如，證明函數(shù)的有界性、零點(diǎn)問題、中值問題。國外學(xué)者通過大量的研究發(fā)現(xiàn)，畫概念圖有利于學(xué)生新舊知識(shí)的整合：第一，概括某一概念的新例，并辨識(shí)出這一概念的反例；第二，由意義進(jìn)行連接，找出上位與下位以及組合概念的互相連接；第三，找出概念之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；第四，解決概念之間的實(shí)質(zhì)性問題。由此可見，畫概念圖的方法在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中可以加以借鑒。

圖2 函數(shù)極限的各個(gè)運(yùn)算流程

3 幫助學(xué)生復(fù)習(xí)，查漏補(bǔ)缺

與傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)模式相比，概念圖是更為適合學(xué)生的一種有效復(fù)習(xí)方法。形式上，概念圖更為直觀簡(jiǎn)練，具有層層推進(jìn)的系統(tǒng)性；內(nèi)容上，概念圖是基于概念制作的，反映的是知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)內(nèi)涵；同時(shí)，概念圖內(nèi)容表現(xiàn)更具有邏輯性，知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系緊密且邏輯方向明顯。學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)自己構(gòu)制概念圖，從整體概念入手，逐一排查每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況；教師也可在復(fù)習(xí)階段輔助學(xué)生構(gòu)制概念圖，然后將師生制作的概念圖進(jìn)行對(duì)比，這樣，學(xué)生容易疏忽的知識(shí)點(diǎn)、理解有誤的概念與關(guān)系就可以顯示出來，便于教師掌握學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，也有利于學(xué)生修補(bǔ)知識(shí)的漏洞，對(duì)后續(xù)復(fù)習(xí)過程起到推進(jìn)作用。學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)，整理概念圖的過程其實(shí)也是一個(gè)知識(shí)有序回顧的過程，通過完善概念圖，可以實(shí)現(xiàn)很好的長(zhǎng)期記憶。[2]一般情況下，復(fù)習(xí)過程是非?？菰锏模瑢W(xué)生對(duì)之前學(xué)習(xí)過的概念失去興趣，復(fù)習(xí)階段往往只注重習(xí)題的練習(xí)，而忽視了對(duì)概念的復(fù)習(xí)，概念圖可以將新舊概念結(jié)合從而產(chǎn)生新的練習(xí)。例如，在復(fù)習(xí)極限的時(shí)候就能結(jié)合定積分一起復(fù)習(xí)，避免學(xué)生單純地看一頁復(fù)習(xí)一頁，使知識(shí)松散不連貫。這樣可以激發(fā)學(xué)生的復(fù)習(xí)興趣，讓他們?nèi)ャ@研概念間的聯(lián)系。例如，學(xué)生在期末復(fù)習(xí)階段，可以將微積分按微分與積分繪制一張大型的概念圖或者也可以分別繪制；可以將線性代數(shù)知識(shí)匯總繪制一張概念圖，對(duì)矩陣、線性關(guān)系等進(jìn)行歸納。

4 創(chuàng)新思維方式，注重邏輯培養(yǎng)

概念圖反映的是概念之間最基本的規(guī)則與關(guān)系，某種程度上改變了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的思考方式。概念圖繪制的過程是思維整合的過程，是邏輯順序過程。[2]傳統(tǒng)教學(xué)中一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)逐一教學(xué)的模式很容易讓學(xué)生顧此失彼，而高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)注重的是邏輯思維的培養(yǎng)，只有清晰的邏輯推理才能保證很好地運(yùn)算解題。概念圖的引入，創(chuàng)新了高等數(shù)學(xué)的思維模式，有利于學(xué)生形成發(fā)散性思維。例如在零點(diǎn)問題的證明中，可以采用導(dǎo)數(shù)也可采用連續(xù)函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行解答，而這兩者均可構(gòu)建在極限的概念圖中。一張概念圖能夠幫助多角度解決運(yùn)算思路，這一點(diǎn)在微分和積分的復(fù)雜運(yùn)算中也得到充分的運(yùn)用(如圖3題目所示)。思維方式和邏輯培養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科教育的最終目標(biāo)，思維能力的培養(yǎng)從來都不是一蹴而就的，以概念圖為基點(diǎn)打開思維方式，以其鮮明的層級(jí)關(guān)系為依托，有利于逐步培養(yǎng)學(xué)生清晰的邏輯思維能力。

圖3微分和積分的運(yùn)算

5 團(tuán)隊(duì)繪制，開拓思維

概念圖實(shí)質(zhì)上是種“概念擴(kuò)充”，制作與完善概念圖的過程其實(shí)就是不斷地對(duì)一個(gè)核心基本概念作加法，加上它自身性質(zhì)與內(nèi)部聯(lián)系、加上它與其他概念間的關(guān)系，只有這樣才能真正地理解一個(gè)基本概念，并且將概念綜合化、系統(tǒng)化與邏輯化。[2]每個(gè)人的思維都是受限的，每個(gè)人的思想領(lǐng)域都是不同的，團(tuán)隊(duì)合作學(xué)習(xí)、發(fā)散性多樣思維能產(chǎn)生更大的學(xué)習(xí)效益，因此，可以以小組的形式繪制概念圖。每個(gè)小組由三至五名學(xué)生組成，每進(jìn)行一個(gè)學(xué)習(xí)階段繪制一次概念圖，也可不定期更新概念圖的繪制內(nèi)容，組內(nèi)成員自由討論，集體繪制概念圖。大部分學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)忽視對(duì)概念的掌握，而概念圖依托教材基本概念，從概念入手，培養(yǎng)每名學(xué)生立足基本努力探索的能力。小組合作模式，便于成員隨時(shí)總結(jié)自身知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)情況，不至于非得在期末的時(shí)候才能了解到自己的學(xué)習(xí)情況。教師與小組結(jié)合，在小組繪制概念圖的過程中教師可循環(huán)觀看參與討論并進(jìn)行指導(dǎo)，在學(xué)生繪制好概念圖之后，及時(shí)評(píng)估和改正,能夠了解學(xué)生對(duì)每個(gè)概念聯(lián)系的掌握情況。

6 結(jié)語

概念圖可分為微觀與宏觀概念圖，在很多領(lǐng)域得以運(yùn)用。宏觀概念圖需借助計(jì)算機(jī)技術(shù)來完成，微觀概念圖在教學(xué)中才是主流運(yùn)用的方法。師生皆可通過手繪的方式完成，沒有很強(qiáng)的約束性。在高等數(shù)學(xué)的運(yùn)算中采用概念圖的方法，可使學(xué)生的思路更為清晰，激發(fā)學(xué)生思維創(chuàng)造力。具體而言，筆者反復(fù)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯性強(qiáng)，通過構(gòu)建概念圖可以使學(xué)生對(duì)概念的掌握更加深刻，對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的把握更為系統(tǒng)。繪制概念圖的過程，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)反復(fù)總結(jié)歸納知識(shí)點(diǎn)的過程，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中養(yǎng)成繪制概念圖的習(xí)慣，有助于提高自身的學(xué)習(xí)能力；教師在授課過程中運(yùn)用這一方法，實(shí)質(zhì)上是幫助學(xué)生形成一種邏輯思維觀念，幫助提高學(xué)習(xí)效率。概念圖在高等數(shù)學(xué)教學(xué)方面的運(yùn)用還沒能推廣開來，需要廣大專家學(xué)者不斷鉆研探索。

[1]孫健.概念圖在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2012(1):13.

[2]劉榮玄.概念圖與思維導(dǎo)圖輔助教學(xué)的研究與實(shí)踐[J].教育現(xiàn)代化,2017(2):37-38.

責(zé)任編輯：富春凱

ResearchontheApplicationofConceptMapinHigherMathematics

XIAO Yong

(Ningde Vocational and Technical College, Fu’an 355000, China)

With the innovative teaching style of diversification, autonomy and openness in colleges and universities, the concept map is an effective new form of teaching strategy. It is well tool which organized and expressed the concept of knowledge and its relationship. Mainly discusses the composition and essence of the concept map, and explores how to better apply the concept map in higher mathematics

Concept map; High mathematics; Operation

10.3969/j.issn.1674-6341.2017.06.041

G642

A

1674-6341(2017)06-0114-03

2017-09-05

肖勇(1967—),女,福建福安人,副教授。研究方向：高等數(shù)學(xué)教學(xué)。