陶 志，潘麗平，何丹峰

（中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

改進(jìn)的模糊粗糙集模型

陶 志，潘麗平，何丹峰

（中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

模糊粗糙集模型是對(duì)經(jīng)典粗糙集模型的擴(kuò)充，然而卻有其不足之處。本研究提出的改進(jìn)的模糊粗糙集模型，是建立在一般模糊粗糙集模型基礎(chǔ)之上，將一個(gè)論域擴(kuò)充成兩個(gè)論域，同時(shí)重新定義了模糊粗糙集合的隸屬函數(shù)，從而有效提高了新模型的粗糙近似精度和應(yīng)用范圍。理論分析和實(shí)例計(jì)算均證明了新模型的有效性和實(shí)用性。

粗糙集；模糊集；模糊關(guān)系；模糊粗糙集模型

?

粗糙集理論[1]是1982年由波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak提出的[2]。該理論作為一種數(shù)學(xué)工具用來(lái)處理不完整和不確定性知識(shí)，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于人工智能、模式識(shí)別與分類、知識(shí)發(fā)現(xiàn)、決策支持系統(tǒng)、數(shù)據(jù)挖掘和專家系統(tǒng)等領(lǐng)域。

模糊集理論[3]是由美國(guó)控制論專家Zadeh在1965年提出的，該理論也是一種用來(lái)處理模糊和不確定性知識(shí)的數(shù)學(xué)工具。粗糙集理論和模糊集理論均可用來(lái)處理模糊和不確定性問(wèn)題，并且這兩種理論在處理問(wèn)題時(shí)具有一定的相似性。因此，把他們結(jié)合起來(lái)研究模糊和不確定性問(wèn)題更具有實(shí)用價(jià)值。

Pawlak粗糙集模型是由論域U、U上的二元等價(jià)關(guān)系R以及被近似描述的集合X這3個(gè)最基本的要素所構(gòu)成。因此，經(jīng)典粗糙集模型的擴(kuò)充形式也主要有3個(gè)方向，即從論域方向、從關(guān)系方向和從被描述的概念方向。

在用粗糙集知識(shí)進(jìn)行屬性約簡(jiǎn)之前，首先要將連續(xù)屬性離散化。在此過(guò)程中，將會(huì)引起信息在某種程度上的損失。為了解決這種信息損失問(wèn)題，法國(guó)學(xué)者Dubois等[4]將模糊集理論引入到粗糙集中，提出了模糊粗糙集理論。該理論在進(jìn)行屬性約簡(jiǎn)時(shí)對(duì)信息系統(tǒng)中的對(duì)象不再進(jìn)行離散化，并且在討論對(duì)象間的相互關(guān)系時(shí)用到了相似關(guān)系而非粗糙集中的等價(jià)關(guān)系。此后，也有學(xué)者在Pawlak經(jīng)典粗糙集模型的基礎(chǔ)上把等價(jià)關(guān)系換成模糊關(guān)系，被近似對(duì)象換成模糊集合，提出新的模糊粗糙集模型[5]。然而，該模型僅僅限于對(duì)同一論域中的模糊集進(jìn)行近似描述，并且近似精度也不夠高。

目前，基于雙論域的粗糙集理論引起了越來(lái)越多的學(xué)者關(guān)注[6-8]，本文就是在文獻(xiàn)[5]所給的一般模糊粗糙集模型的基礎(chǔ)上把一個(gè)論域擴(kuò)充為兩個(gè)論域，同時(shí)給出了在雙論域中模糊近似算子隸屬函數(shù)的定義，從而得到一種改進(jìn)的模糊粗糙集模型。把一個(gè)論域U推廣為兩個(gè)論域U、V，即把模糊關(guān)系?U×U推廣為一般模糊關(guān)系?U×V，其特點(diǎn)是論域U中模糊集B的下、上近似是由另一個(gè)論域V中的一對(duì)模糊集來(lái)表達(dá)的，因此應(yīng)用范圍更加廣泛。此外，由于本文引進(jìn)了新的模糊近似算子隸屬函數(shù)的定義，使得改進(jìn)的模糊粗糙集模型比一般模糊粗糙集模型具有更高的整體近似精度。

1 基本概念

在Pawlak經(jīng)典粗糙集理論中，粗糙集的描述如下：

定義1令（U，R）是一個(gè)近似空間，U表示對(duì)象的非空有限集合（稱為論域），R表示一個(gè)二元等價(jià)關(guān)系，如果，那么稱

分別為X在近似空間（U，R）中的下近似和上近似，其中[x]R是x所在的R-等價(jià)類。X的近似集合對(duì)（X，X）稱為X在近似空間（U，R）中的粗糙集[1]。

在Zadeh的模糊集理論中，模糊集的描述如下：

定義2 設(shè)A為論域U上的一個(gè)模糊集合，它是由 U 上的一個(gè)隸屬函數(shù) A：U→[0，1]來(lái)表示的，A（x）表示元素x隸屬于模糊集合A的程度。一般，記F（U）為論域U上模糊集合的全體[9]。

F（U）中兩個(gè)子集之間的“余集”、“并集”、“交集”和“包含”運(yùn)算定義如下：

定義 3設(shè) A，B∈F（U），則?x∈U，規(guī)定[9]

（～A）（x）=1-A（x）

（A∪B）（x）=max{A（x），B（x）}

（A∩B）（x）=min{A（x），B（x）}

A?B ? A（x）≤ B（x）

2 改進(jìn)的模糊粗糙集型

2.1 模糊關(guān)系

普通關(guān)系刻畫(huà)了兩事物間的“精確關(guān)系”，也就是說(shuō)，對(duì)于任意兩個(gè)元素，在其之間或存在關(guān)系或不存在關(guān)系，兩者必居且僅居其一。但在實(shí)際生活中，有不少關(guān)系很難簡(jiǎn)單地用“是”或“不是”來(lái)衡量。例如，圓與橢圓是否相似，子女與父母長(zhǎng)得是否相像，就很難用肯定或否定來(lái)做出回答。兩者間的相似關(guān)系并非非彼即此，而是具有程度上的差異。因此，這種關(guān)系就具有模糊性。人們把這種具有程度上差異的關(guān)系叫做“模糊關(guān)系”。

若X、Y均為有限集，那么可用一個(gè)矩陣來(lái)表示X到Y(jié)的模糊關(guān)系的隸屬函數(shù)值。設(shè)X={x1，x2，…，xm}，Y={y1，y2，…，yn}，是 X 到 Y 的一個(gè)模糊關(guān)系，記為rij=（xi，yj）（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），若所有元素滿足 rij∈[0，1]，則稱矩陣=[rij]m×n為“模糊矩陣”。

2.2 一般模糊粗糙集

基于模糊關(guān)系，孔平等[5]給出了一般模糊粗糙集的定義：

定義4設(shè)（U，）為模糊近似空間，為U上的二元模糊關(guān)系，則模糊集合B∈F（U）在模糊近似空間（U，）中的下、上近似集仍為模糊集，?y∈U，其隸屬函數(shù)分別為

在該模糊粗糙集模型中，其下、上近似集合有以下性質(zhì)：

若?A，B∈F（U），則：

于是，模糊集B的近似精度和粗糙度分別表示為

太極虎冷冷地道：“不懂江湖道義嗎？江湖道義該一對(duì)一公平搏殺?！笔掞w羽聳了一下肩膀道：“夜襲武功堡，擅闖與江湖無(wú)爭(zhēng)的本莊可曾有過(guò)公平？順帶告訴你：我不是江湖人，不會(huì)忌憚江湖道義，并且以后我會(huì)毫無(wú)忌諱用令人齒冷的，或者是齷齪的手段以其人之道還治其人之身！”說(shuō)完他揮手示意。

2.3 改進(jìn)的模糊粗糙集模型

由定義4可看出，一般模糊粗糙集模型僅限于對(duì)同一論域上的模糊集合作近似描述，并且近似精度不高。為改善精度及擴(kuò)大應(yīng)用范圍，本節(jié)在一般模糊粗糙集模型的基礎(chǔ)上將一個(gè)論域擴(kuò)充成兩個(gè)論域，并重新給出了模糊集下、上近似算子隸屬函數(shù)的定義。

定義5若U、V是兩個(gè)非空的有限論域，是論域U到論域V上的一個(gè)模糊關(guān)系，則稱三元組（U，V，）為雙論域模糊近似空間。

下面給出在雙論域模糊近似空間中下、上近似算子的定義。

定義6設(shè)（U，V，）為雙論域模糊近似空間，為U到V上的一個(gè)模糊關(guān)系，則論域U中的模糊集合B∈F（U）在雙論域模糊近似空間（U，V，）中的下、上近似集為論域V中的模糊集，?y∈V，其隸屬函數(shù)分別為

在改進(jìn)的模糊粗糙集模型中，其下、上近似集合有與一般模糊粗糙集類似的性質(zhì)。

定理1設(shè)?A，B∈F（U），為U到V上的一個(gè)模糊關(guān)系，則有：

證明1）由 A?B，可知 A（x）≤ B（x），因此

2）由于 A?A∪B，可知 A（x）≤（A∪B）（x），又B?A∪B，可知 B（x）≤（A∪B）（x），因此

即

性質(zhì)3）亦可由上述類似方法證出。

定理2設(shè)為模糊集B基于一般模糊粗糙集模型的下、上近似集，為模糊集B基于改進(jìn)模糊粗糙集模型的下、上近似集，則有

證明事實(shí)上，只需證即可。因?yàn)?/p>

證畢。

定理2說(shuō)明，改進(jìn)的模糊粗糙集模型與一般模糊粗糙集模型相比減小了不確定性邊界，從而提高了分類精度。

3 實(shí)例分析

設(shè)某班級(jí)中有兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，用集合U={x1，x2，x3，x4}，V={y1，y2，y3，y4，y5}來(lái)表示，則 U 和 V 可看成是兩個(gè)有限論域?！奥斆鳌笔且粋€(gè)模糊概念，通過(guò)某種方法對(duì)U中4名同學(xué)的聰明程度做出了評(píng)價(jià)，其值分別為0.45、0.78、0.91、0.46，那么通過(guò)這種評(píng)價(jià)構(gòu)成的模糊集合B記為

B={（x1，0.45），（x2，0.78），（x3，0.91），（x4，0.46）}

在論域與論域之間可以存在著各種各樣的模糊關(guān)系。如在學(xué)生與學(xué)生的關(guān)系中可有“友好”、“程度相當(dāng)”等模糊關(guān)系。設(shè)是論域U到論域V的模糊關(guān)系，表示x比y聰明，如表1所示。

表1 模糊關(guān)系Tab.1 Fuzzy relation

表1 模糊關(guān)系Tab.1 Fuzzy relation

R~（x，y） y1 y2 y3 y4 y5 x1 0.4 0.0 0.1 0.8 0.7 x2 0.5 0.8 0.3 0.0 0.5 x3 0.1 0.8 1.0 0.8 0.3 x4 0.9 1.0 0.8 0.7 0.2

根據(jù)定義4，計(jì)算出模糊集合B的下、上近似集合的隸屬函數(shù)如下

因此，依據(jù)一般模糊粗糙集模型，模糊集B的下近似集為

上近似集為

近似精度為

再根據(jù)定義6，計(jì)算出模糊集合B的下、上近似集合的隸屬函數(shù)如下

上近似集為

近似精度為

比較上述兩部分計(jì)算結(jié)果，因?yàn)棣?（B）＞η（B），因此改進(jìn)的模糊粗糙集模型比一般模糊粗糙集模型有更高的總體近似精度（此例中精度提高10%）。

4 結(jié)語(yǔ)

改進(jìn)的模糊粗糙集模型是在分析了一般模糊粗糙集模型的缺點(diǎn)和不足之后所提出的一種新模型。一般模糊粗糙集模型只能處理一個(gè)論域上的問(wèn)題，無(wú)法處理大小不同、元素屬性不同的兩個(gè)不同論域中的問(wèn)題，而新模型對(duì)論域沒(méi)有過(guò)多限制。同時(shí)，由于新模型重新定義了模糊粗糙集合的隸屬函數(shù)，從而使得總體近似精度亦有明顯提高。理論分析和實(shí)例計(jì)算均表明，新模型提供了一種應(yīng)用范圍更廣、近似精度更高的模糊粗糙數(shù)據(jù)分析方法。下一步的工作應(yīng)是基于本文提出的改進(jìn)的模糊粗糙集模型，在不完備模糊知識(shí)系統(tǒng)中進(jìn)一步研究屬性約簡(jiǎn)和規(guī)則抽取問(wèn)題，為實(shí)際應(yīng)用奠定理論基礎(chǔ)和算法基礎(chǔ)。

[1]PAWLAKZ.Roughsets[J].International Journal of Information and Computer Science,1982,11(5):341-356.

[2]張文修,吳志偉,梁吉業(yè),等.粗糙集理論與方法[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

[3]ZADEH LA.Fuzzy sets[J].Information Control,1965,8:338-353.

[4]DUBOISD,PRADEH.Putting Rough Setsand Fuzzy Sets Together[M]//Intelligent Decision Support.Netherlands:Springer,1992:203-232.

[5]孔 平,張振良.模糊近似空間中模糊粗糙集的新定義[J].曲靖師范學(xué)院學(xué)報(bào),2005(24):49-51.

[6]司彥飛,劉 超,吳明芬.雙論域上的決策粗糙集模型及其刻畫(huà)[J].五邑大學(xué)學(xué)報(bào),2014,28(2):20-24.

[7]孫文鑫.基于雙論域的一般多粒度模糊粗糙集[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào),2015,32(3):13-15.

[8]LIU Hui,ZHU Feng,LIN Ziqiong.Matrix representation of rough sets based on two universes[J].Computer Engineering and Applications, 2015,51(24):154-158.

[9]梁保松,曹殿立.模糊數(shù)學(xué)及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2007.

Improved fuzzy rough set model

TAO Zhi,PAN Liping,HE Danfeng
（College of Science,CAUC,Tianjin 300300,China）

Fuzzy rough set model is a generalization of classical rough set model.However,it has its own defects and shortcomings.An improved fuzzy rough set model is established on the fuzzy rough set model.One domain is expanded into two domains,and the membership function of fuzzy rough set is redefined.Therefore,the new model’s rough approximation accuracy and application range are effectively improved.This new model is proved to be effective and practical by theory and case analysis.

rough set;fuzzy set;fuzzy relation;fuzzy rough set model

陶志（1963—），男，遼寧沈陽(yáng)人，教授，博士，研究方向?yàn)閺?fù)雜系統(tǒng)建模、粗糙集理論及其應(yīng)用等.

TP18

A

1674－5590（2017）05－0060－05

2016-12-07；

2017-02-22

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（60672178）；中國(guó)民航大學(xué)科研基金項(xiàng)目（2010kys01）

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楊媛媛）