亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        淺談數(shù)學(xué)競賽中平面幾何解題的小技巧

        2017-11-28 01:07:59李昊然
        卷宗 2017年31期
        關(guān)鍵詞:平面幾何數(shù)學(xué)

        摘 要:當(dāng)前,全國高中各學(xué)科聯(lián)合競賽已成為普遍現(xiàn)象,它不僅能發(fā)揮的學(xué)生們的特長,也是各類高校自主招生的一個參考依據(jù)。對于那些學(xué)有余力的理科學(xué)生來說,積極參與數(shù)、理、化、生的全國聯(lián)合競賽更是他們展現(xiàn)能力的一個舞臺。筆者作為數(shù)學(xué)競賽的參與者,從平面幾何學(xué)習(xí)和競賽中總結(jié)一些個人心得,以期對后來的參與者得到一些幫助,并希望與大家共同學(xué)習(xí)和交流。

        關(guān)鍵詞:全國高中;數(shù)學(xué);聯(lián)合競賽;平面幾何

        在平面幾何中,有著一個非常重要的定理,梅涅勞斯定理,即 (一種基本形式)。這個定理在平面幾何中用處之廣不

        必多說,許多同學(xué)把其當(dāng)作一個非?;A(chǔ)的定理,因為通過它可以推導(dǎo)出帕斯卡定理等。但是梅氏定理真的是那么基本嗎?我看并不是這樣,梅氏定理也可以通過共邊定理來證明。證明如下:

        ,即

        這樣說明了一個什么問題呢?即用梅涅勞斯定理證明的題目均可以使用共邊定理來進(jìn)行證明,有時只是解答復(fù)雜的問題,但是一定可以做出,而共邊定理的本質(zhì)即是三角形的面積比例,這應(yīng)該算是一個非常基本的定理,下面我舉一例子加以說明。

        例一:(如圖二)

        P為⊙O外一點,PA、PB分別切⊙O于A、B,C為⊙O上一點,過C作⊙O切線,分別交PA、PB于E、F,OC交AB于L,LP交EF于D,證明D為EF的中點。(1991年四川隊題)

        證明:

        =

        ∴DE=DF #

        由此可以發(fā)現(xiàn)這道題可以用共邊定理一口氣解決。但是對于競賽,許多同學(xué)感到困惑,這個是怎么想到的呢?難道是天分嗎?不對,這其中是有小技巧的。

        從題目中,我們可以得到:A、B是圓上的兩任意點,這兩個點是沒有任何限制的,因此可以理解為初始點,記做“0”,而P點是過B、C兩切線的交點,只要BC位置確定,P點即確定,其中P與AB的關(guān)系為∠PBO=∠PAO=90°,即PB=PA,∴P由初始點確定,P也記做“0”級。C為任意點,∴C記做“0”級,L由CO,AB確定,∵C、O、A、B均為初始點,∴L為“1”級,E、F由PB與PA和C點確定,∴E、F為“1”級,而D點由PL、EF確定,∴將D點記做“2”級,題目即證:DE=DF,不難發(fā)現(xiàn),D為本題中最復(fù)雜的點,而題目正是要證明這東西的相關(guān)性質(zhì),利用共邊定理,從D點出發(fā)一步一步還原,消去點D,當(dāng)還原到基本點時,結(jié)果必定可以約掉,若約不掉,則題目有問題,下面舉一例子加以說明。

        例二:在△ABC中,D為BC上任一點,O為△ABC內(nèi)任一點,BO交AC于N,CO交AB于M,DO交BA于E,AD交BN于F,MG交EN于G,證明G在BC上。

        證明:“0”級的點:A、B、C、D、O

        “1”級的點:M、N、E

        “2”級的點:F

        “3”級的點:G

        ∴從G開始消去,題目可以這樣理解,MF交BC于G,EN交BC于G',只需證明即證畢。(這樣就將共線問題轉(zhuǎn)化成線段的比例問

        題,就可以考慮使用共邊定理)

        聯(lián)立①②即證明:

        即即

        (先消去C,再消去E、F,由于M、N在AB,AC上,非常容易表達(dá),故最后消去M、N)。由于共邊定理是利用的面積比,而在三角形的面積公式中一個為,這樣便與一個三角形的角度結(jié)合起

        來。因為共邊定理僅是邊之間的轉(zhuǎn)化,不易解決角之間的問題,利用此公式便可與角度產(chǎn)生聯(lián)系,同時在三角函數(shù)中正弦定理可以實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化,下面舉一三角函數(shù)相結(jié)合的例子。

        例三:如圖四,三角形ABC中,BF⊥AC,CE⊥AB,D哦BC的中點,DE交AC于M,DF交BE于N,O為ΔABC的圓心,H為垂心,延長OH,做AI⊥OH于I,證明M、I、A、N四點共圓。

        證明:M、I、A、N四點共圓

        ∴E、I、A、F、H五點共圓

        ∴ 證

        ∴考慮證明

        即證明

        一方面:

        對ΔBHO與ΔCHO考慮使用正弦定理

        則 ①

        另一方面:的比例轉(zhuǎn)化,考慮ΔMDF與ΔNED

        結(jié)合①②,只需證

        同理,原③式得證#

        本題證明四點共圓不必多說。轉(zhuǎn)化到邊比例之后可以考慮共邊定理,但是涉及到許多的角度,故用共邊定理轉(zhuǎn)化具有一定的難度,所以可以考慮用三角的相關(guān)知識去解題,在這之中,同樣可以考慮消點的思想,盡量將復(fù)雜的邊轉(zhuǎn)化到基礎(chǔ)的邊上,如,當(dāng)觀

        察到時,問題便基本解決了,若觀察不出,則也可以按例二的方式逐步消定。

        參考文獻(xiàn)

        [1]張景中 《新概念幾何》 中國兒童新聞出版總社2004.5

        [2]馬洪炎 《平面幾何》 浙江大學(xué)出版社2007.6

        [3]范端喜 鄧博文 《奧林匹克小叢書之平面幾何》 華東師范大學(xué)出版社 2013.1

        作者簡介

        李昊然(2000-),男,重慶人,西南大學(xué)附屬中學(xué)高中2018級10班應(yīng)屆學(xué)生,獲得2017年9月全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽二等獎獲得者。endprint

        猜你喜歡
        平面幾何數(shù)學(xué)
        我們愛數(shù)學(xué)
        淺談合同變換與平面幾何輔助線聶士朋
        青年時代(2017年5期)2017-03-10 23:35:57
        淺談如何搞好初中數(shù)學(xué)中的平面幾何教學(xué)
        AutoCAD的工程計算方法應(yīng)用研究
        向量方法與初等方法的比較研究
        考試周刊(2016年62期)2016-08-15 18:03:27
        我為什么怕數(shù)學(xué)
        新民周刊(2016年15期)2016-04-19 18:12:04
        數(shù)學(xué)到底有什么用?
        新民周刊(2016年15期)2016-04-19 15:47:52
        如何突破初中幾何變換概念理解困難的教學(xué)策略
        淺談怎樣培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何的興趣
        可怕的數(shù)學(xué)
        国产精品久久无码免费看| 亚洲中文字幕成人无码| 99riav国产精品视频| 欧洲freexxxx性少妇播放 | 国产丝袜在线精品丝袜不卡| 中出高潮了中文字幕| 日本黄色特级一区二区三区| 日本a级片免费网站观看| 亚洲av无码乱码在线观看富二代| 亚洲熟女乱综合一区二区| 1000部夫妻午夜免费| 亚欧AV无码乱码在线观看性色 | 国产精品久久久久免费a∨不卡| 日韩av一区二区三区精品| 国产三级韩三级日产三级| 免费黄片小视频在线播放| 国产亚洲精品久久久久久国模美| 国产成人精品一区二区三区视频| 97成人精品| 日韩人妻无码精品二专区| 日韩精品成人一区二区三区| 日本亚洲系列中文字幕| 未满十八18禁止免费无码网站| 国产真实偷乱视频| 亚洲精品456| 久久国产劲爆内射日本| 天堂免费av在线播放| 亚洲图片自拍偷图区| 久久久精品人妻无码专区不卡| 香蕉视频www.5.在线观看| 又色又爽又黄的视频网站| 亚洲国产精品一区二区| 亚洲av午夜精品无码专区| 性高朝久久久久久久| 亚洲片一区二区三区| 国产麻豆成人精品av| 久久丝袜熟女av一区二区| 国产成人亚洲综合| 99久久综合精品五月天| 久久国产影视免费精品| 日韩人妖干女同二区三区|