劉 強(qiáng)，謝 偉，張?jiān)俜?，田斌斌，邱遼原

（中國艦船研究設(shè)計(jì)中心，武漢 430064）

熵格子Boltzmann方法的重整化群代數(shù)湍流模型

劉 強(qiáng)，謝 偉，張?jiān)俜?，田斌斌，邱遼原

（中國艦船研究設(shè)計(jì)中心，武漢 430064）

重整化群理論所建立的湍流模型能夠最大程度地減小模型經(jīng)驗(yàn)性，因此文章嘗試將重整化群代數(shù)湍流模型引入到熵格子Boltzmann方法中，建立新型的計(jì)算模型以對(duì)高雷諾數(shù)湍流進(jìn)行模擬研究。同時(shí)為了進(jìn)行比較研究，還建立了熵格子Boltzmann方法的標(biāo)準(zhǔn)大渦模擬模型。完成了對(duì)高雷諾數(shù)湍流繞流場(chǎng)的模擬計(jì)算。結(jié)果表明：所建立的熵格子Boltzmann方法重整化群代數(shù)湍流模型能夠有效地模擬高雷諾數(shù)湍流流動(dòng)問題；其對(duì)緊貼壁面處較小尺度湍渦的模擬結(jié)果趨近于大渦模擬的結(jié)果；重整化群代數(shù)湍流模型在對(duì)高雷諾數(shù)湍流的模擬中表現(xiàn)出耗散模型的特征。

熵格子Boltzmann方法；重整化群；代數(shù)湍流模型；大渦模擬；高雷諾數(shù)

0 引 言

格子Boltzmann方法（Lattice Boltzmann Method，簡(jiǎn)稱LBM）可以被認(rèn)為是氣體動(dòng)理論中Boltzmann方程的一種簡(jiǎn)化形式的特殊離散格式[1]。Boltzmann方程基于分子處于某一狀態(tài)的概率計(jì)算和統(tǒng)計(jì)理論建立，由此決定了LBM本質(zhì)上是一種介觀方法[2-3]，其對(duì)物質(zhì)的描述層次介于微團(tuán)層次和分子層次之間。熵格子Boltzmann方法（Entropic Lattice Boltzmann Method，簡(jiǎn)稱ELBM）是格子Boltzmann方法研究的一個(gè)分支，其對(duì)LBM的改進(jìn)有效提高了數(shù)值模擬的穩(wěn)定性。

相比LBM在其他領(lǐng)域所取得的進(jìn)展，基于LBM的湍流研究并不夠充足[3]。到目前為止，使用LBM對(duì)湍流流動(dòng)問題的直接數(shù)值模擬仍然受到雷諾數(shù)的限制。為了進(jìn)一步提高湍流模擬的雷諾數(shù)，Succi等[4]最早將k-ε湍流模型引入到LBM中。近期受到廣泛關(guān)注的是基于LBM的亞格子尺度模型研究，包括Premnath等[5]所引入的動(dòng)態(tài)亞格子尺度模型，Dong等[3]所關(guān)注的慣性區(qū)一致模型，向先亞格子模型[6]及二次內(nèi)單元模型[7]等。然而至今，尚未見到基于ELBM的重整化群（Renormalization Group，簡(jiǎn)稱RNG）代數(shù)湍流模型的相關(guān)研究。由于代數(shù)湍流模型計(jì)算效率高，并且基于重整化群理論的湍流模型系數(shù)均由理論推導(dǎo)得來，其可以有效減少模型的經(jīng)驗(yàn)性，在本研究中嘗試將重整化群代數(shù)模型理論引入到熵格子Boltzmann方法中，從而建立了ELBM-RNG代數(shù)模型，基于此編寫了高雷諾數(shù)湍流模擬的計(jì)算程序。此外，本研究同時(shí)編寫了基于ELBM的大渦模擬亞格子尺度模型（ELBM-LES）的計(jì)算程序，并將兩種模型的模擬計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較分析。

1 熵格子Boltzmann方法重整化群代數(shù)湍流模型理論

1.1 熵格子Boltzmann方法理論

熵格子Boltzmann方法的通用形式可寫為：

其中：速度分布函數(shù) f是空間位置矢量r（ x,y, ）z 、分子速度矢量及時(shí)間 t的函數(shù)，eα表示離散速度模型，δt表示時(shí)間間隔表示平衡態(tài)分布函數(shù)，υ為運(yùn)動(dòng)粘度，cs為格子聲速，Boltzmann所

定義H函數(shù)（H function）的離散形式寫為：

其中：ωi為相應(yīng)權(quán)系數(shù)。

所選用平衡態(tài)分布函數(shù)的形式如下式所示：

其中：Wα表示權(quán)系數(shù)。

1.2 重整化群代數(shù)湍流模型理論

湍流分析重整化群理論的結(jié)果表示為：

其中：ν0為分子動(dòng)力粘度表示空間維度，ε=4+y-d，參數(shù)y用以表征不同的流動(dòng)情形，對(duì)于強(qiáng)非平衡流動(dòng)y＞-2。此處參量ε并非指通常所指代的耗散率，表示網(wǎng)格單元體積內(nèi)的平均能量耗散率，Sd表示d維空間下單位球體的面積，，λ0表示所求攝動(dòng)解的階數(shù)（0 階則 λ0=0），D0=ν0kBT/ρ，kB為 Boltzmann 常數(shù)，T 為流體溫度，ρ為流體密度，湍流譜空間的截?cái)嗖〝?shù)Λ與積分尺度有如下關(guān)系：

而慣性區(qū)湍流能量：

其中：由重整化群理論得到的Kolmogorov常數(shù)Ck的理論值Ck=1.607 5。

因此，在大于截?cái)嗖〝?shù)Λ的所有波數(shù)范圍內(nèi)對(duì)公式（6）進(jìn)行積分，可得到湍動(dòng)能的表達(dá)式：

在高雷諾數(shù)情況下可將重整化的湍流粘度寫為：

其中：取重整化群的理論值Cμ=0.084 5。

于是這樣就可以將混合長度用慣性尺度表達(dá)，將公式（7）代入公式（8）得到：

這樣，就可以用混合長度替代截?cái)嗖〝?shù)，將公式（4）重寫為：

2 數(shù)值模擬計(jì)算

嘗試將重整化群代數(shù)湍流模型引入到熵格子Boltzmann方法中，對(duì)雷諾數(shù)為Re=1.0×106的圓柱繞流場(chǎng)進(jìn)行了模擬研究。為了進(jìn)行比較研究，同時(shí)建立了基于熵格子Boltzmann方法的大渦模擬標(biāo)準(zhǔn)Smagorinsky亞格子尺度模型，在相同計(jì)算網(wǎng)格下對(duì)相同的計(jì)算模型進(jìn)行了模擬計(jì)算。其中ELBM-LES表示熵格子Boltzmann方法的大渦模擬標(biāo)準(zhǔn)Smagorinsky亞格子尺度模型，ELBM-RNG algebraic表示熵格子Boltzmann方法的重整化群代數(shù)湍流模型。

圖1 二維圓柱繞流場(chǎng)計(jì)算域Fig.1 Computational domain of 2-D flow field around a circular cylinder

圖2 圓柱表面壓力系數(shù)分布Fig.2 Pressure coefficient distribution on the circular cylinder surface

所建立的計(jì)算域形式如圖1所示，其中D表示圓柱的直徑。為了提高模擬計(jì)算的效率和準(zhǔn)確性，研究中使用了具有3重網(wǎng)格的多重網(wǎng)格技術(shù)，具體可參見文獻(xiàn)[8]。離散速度模型使用D2Q9模型，邊界條件采用非平衡態(tài)外推格式。

圓柱繞流場(chǎng)尾流區(qū)位置x/D=0.75處的流向速度分量分布如圖3所示，其中x表示流向方向上距圓柱中心的距離，y表示縱向坐標(biāo)（圓柱中心的縱向坐標(biāo)參照為0），U0為特征速度的大小。圖4所示為尾流區(qū)位置x/D=1.5處的流向速度分量分布。

圖3 x/D=0.75處的時(shí)間平均流向速度分量分布 Fig.3 Time-averaged flow direction velocity component distribution at x/D=0.75

圖4 x/D=1.5處的時(shí)間平均流向速度分量分布Fig.4 Time-averaged flow direction velocity component distribution at x/D=1.5

模擬計(jì)算得到圓柱繞流場(chǎng)內(nèi)的流線分布、渦量分布及大尺度應(yīng)變率張量大小的分布如圖5-7所示。

可見，模擬計(jì)算所得到的圓柱表面壓力系數(shù)及湍流繞流場(chǎng)速度分布與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或已有的數(shù)值結(jié)果具有一致性，參見圖2-4，所建立的熵格子Boltzmann方法重整化群代數(shù)湍流模型及大渦模擬亞格子尺度模型能夠有效進(jìn)行高雷諾數(shù)湍流的數(shù)值模擬。對(duì)比兩個(gè)模型，盡管結(jié)果相近熵格子Boltzmann方法的大渦模擬計(jì)算表現(xiàn)略優(yōu)于重整化群代數(shù)模型。

此外參見圖5，兩個(gè)模型對(duì)湍流繞流場(chǎng)內(nèi)反向?qū)ΨQ交替脫落卡門渦街的產(chǎn)生和演化過程也進(jìn)行了有效的模擬預(yù)報(bào)。同時(shí)注意到，熵格子Boltzmann方法大渦模擬計(jì)算對(duì)緊貼壁面處較小尺度湍渦的模擬結(jié)果仍更加有效，然而重整化群代數(shù)湍流模型的結(jié)果已經(jīng)趨于接近大渦模擬的結(jié)果，參見圖5-6。

圖5 模擬計(jì)算得到圓柱繞流場(chǎng)流線分布Fig.5 Streamline distribution calculated in the flow field around a circular cylinder

圖6 模擬計(jì)算得到圓柱繞流場(chǎng)渦量分布Fig.6 Vorticity distribution calculated in the flow field around a circular cylinder

圖7 模擬計(jì)算得到圓柱繞流場(chǎng)大尺度應(yīng)變率張量大小分布Fig.7 Magnitude of large scale strain rate tensor distribution calculated in the flow field around a circular cylinder

由圖7所示模擬計(jì)算得到高雷諾數(shù)湍流繞流場(chǎng)內(nèi)應(yīng)變率張量大小的分布可知，兩個(gè)模型的結(jié)果能夠基本表現(xiàn)出一致性。較大值的應(yīng)變率張量均首先出現(xiàn)在圓柱壁面附近，隨后跟隨渦的交替向后脫落而值逐漸減小。說明熵格子Boltzmann方法的重整化群代數(shù)湍流模型體現(xiàn)了一定的耗散模型特征。

3 結(jié) 論

在基于H定理完成對(duì)LBM的改進(jìn)后，ELBM成為一種穩(wěn)定的數(shù)值格式，由此ELBM具有了模擬高雷諾數(shù)湍流的潛在能力。另一方面，建立在重整化群理論上的湍流模型最大程度地減小了模型經(jīng)驗(yàn)性。本研究中嘗試將重整化群代數(shù)湍流模型引入ELBM中，建立了高雷諾數(shù)湍流模擬的ELBM-RNG Algebric模型。為了進(jìn)行比較研究，同時(shí)建立了ELBM-LES模型。編寫了兩個(gè)模型模擬計(jì)算高雷諾數(shù)圓柱繞流場(chǎng)的計(jì)算機(jī)程序。得到結(jié)論如下：

（1）所建立的熵格子Boltzmann方法重整化群代數(shù)湍流模型及大渦模擬亞格子尺度模型能夠有效地模擬高雷諾數(shù)的湍流流動(dòng)。

（2）熵格子Boltzmann方法的大渦模擬模型對(duì)流場(chǎng)壓力及速度等宏觀量的計(jì)算結(jié)果略優(yōu)于熵格子Boltzmann方法重整化群代數(shù)模型的結(jié)果，重整化群代數(shù)湍流模型也表現(xiàn)出了較好的計(jì)算準(zhǔn)確性。

（3）熵格子Boltzmann方法重整化群代數(shù)模型能夠模擬尾跡區(qū)及壁面附近大尺度及較大尺度高雷諾數(shù)湍渦的形成和演化過程。對(duì)于緊貼壁面處較小尺度湍渦的形成和演化，其模擬結(jié)果與熵格子Boltzmann方法的大渦模擬結(jié)果也趨于接近。

（4）盡管重整化群代數(shù)湍流模型屬于代數(shù)模型，然而在對(duì)高雷諾數(shù)湍流的模擬中表現(xiàn)出耗散模型的特征。

[1]He X,Luo L S.Theory of the lattice Boltzmann method:From the Boltzmann equation to the lattice Boltzmann equation[J].Physical Review E,1997,56:6811-6817.

[2]Huo Y,Rao Z.The numerical investigation of nanofluid based cylinder battery thermal management using lattice Boltzmann method[J].International Journal of Heat and Mass Transfer,2015,91:374-384.

[3]Dong Y H,Sagaut P,Marie S.Inertial consistent subgrid model for large-eddy simulation based on the lattice Boltzmann method[J].Physics of Fluids,2008,20:035104.

[4]Succi S,Amati G,Benzi R.Challenges in lattice Boltzmann computing[J].J Stat.Phys.,1995,81:5-16.

[5]Premnath K N,Pattison M J,Banerjee S.Dynamic subgrid scale modeling of turbulent flows using lattice-Boltzmann method[J].Physica A,2009,388:2640-2658.

[6]Sagaut P.Toward advanced subgrid models for lattice-Boltzmann-based large-eddy simulation:Theoretical formulations[J].Computersamp;Mathematics with Applications,2010,59(7):2194-2199.

[7]Baker C M J,Buchan A G,Pain C C,et al.Quadratic inner element subgrid scale discretization of the Boltzmann transport equation[J].Annals of Nuclear Energy,2012,45:124-137.

[8]Stiebler M,Krafczyk M,Freudiger S,et al.Lattice Boltzmann large eddy simulation of subcritical flows around a sphere on non-uniform grids[J].Computersamp;Mathematics with Applications,2011,61(12):3475-3484.

[9]Catalano P,Wang M,Iaccarino G,et al.Numerical simulation of the flow around a circular cylinder at high Reynolds numbers[J].International Journal of Heat and Fluid Flow,2003,24:463-469.

[10]Warschauer K A,Leene J A.Experiments on mean and fluctuating pressures of circular cylinders at cross flow at very high Reynolds number[C]//In:Proc.Int.Conf.on Wind Effects on Buildings and Structures.Tokyo,Japan,1971:305-315.

[11]Zdravkovich M M.Flow around circular cylinders[M].Oxford:Oxford University Press,1997.

Renormalization group algebraic turbulence model in entropic lattice Boltzmann method

LIU Qiang,XIE Wei,ZHANG Zai-fu,TIAN Bin-bin,QIU Liao-yuan
(China Ship Development and Design Center,Wuhan 430064,China)

The renormalization group theory can furthest reduce the empirical value in turbulence models.A renormalization group algebraic turbulence model was introduced to the entropic lattice Boltzmann method,in order to establish a new model for high Reynolds number turbulent flow simulations.Meanwhile,with the view of comparative study,the standard large eddy simulation model in entropic lattice Boltzmann method was also established.Numerical simulations for the high Reynolds number turbulence were carried out.The results show that the renormalization group algebraic turbulence model established in entropic lattice Boltzmann method can effectively simulate high Reynolds number turbulent flows;as for the simulation of minor scale turbulent eddies,its results approach those of the LES model;the renormalization group algebraic turbulence model performs dissipation model features in the simulation of high Reynolds number turbulence.

entropic lattice Boltzmann method;renormalization group;algebraic turbulence model;large eddy simulation;high Reynolds number

O351.2

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2017.11.001

1007-7294（2017）11-1317-06

2017-05-25

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51079032）

劉 強(qiáng)（1990-），男，博士，工程師，E-mail：liuqiang7012012@126.com；

謝 偉（1969-），男，研究員。