王文勝，魏豪杰，侯中華，王占磊，梅 群

（河南科技大學(xué) 工程力學(xué)系，河南 洛陽(yáng) 471023）

翻邊開(kāi)孔對(duì)矩形板振動(dòng)頻率的影響

王文勝，魏豪杰，侯中華，王占磊，梅 群

（河南科技大學(xué) 工程力學(xué)系，河南 洛陽(yáng) 471023）

研究了帶有翻邊長(zhǎng)圓開(kāi)孔矩形板的振動(dòng)特性。利用ANSYS軟件建立翻邊開(kāi)孔矩形板的參數(shù)化有限元模型，獲得不同開(kāi)孔參數(shù)（開(kāi)孔率、翻邊高度、開(kāi)孔位置及轉(zhuǎn)動(dòng)）情況下結(jié)構(gòu)的前兩階固有頻率。在此基礎(chǔ)上數(shù)值分析翻邊開(kāi)孔參數(shù)對(duì)矩形板前兩階固有頻率的影響，發(fā)現(xiàn)翻邊開(kāi)孔能顯著改變矩形板的固有頻率，且與板的邊界約束條件有很大關(guān)系。研究結(jié)果為實(shí)際結(jié)構(gòu)的翻邊開(kāi)孔設(shè)計(jì)提供了參考。

翻邊；長(zhǎng)圓孔；矩形板；固有頻率

0 引 言

在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中，為了實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的方便觀測(cè)、維修以及減重或者性能優(yōu)化等方面的需求，在船舶、航空、建筑工程等領(lǐng)域，經(jīng)常需要在板上開(kāi)通風(fēng)孔、管線過(guò)孔或減重孔等。結(jié)構(gòu)開(kāi)孔后會(huì)在孔周邊出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，降低了構(gòu)件的靜強(qiáng)度。而且開(kāi)孔后結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度分布特性會(huì)發(fā)生改變，對(duì)結(jié)構(gòu)的固有頻率或振型等力學(xué)性能有較大影響。因此開(kāi)孔后結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能分析一直是研究熱點(diǎn)問(wèn)題[1-6]，在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中具有重要意義。

開(kāi)孔矩形板的振動(dòng)問(wèn)題受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，主要考慮了帶有圓形、橢圓或矩形等開(kāi)孔形狀矩形板的動(dòng)力性能分析[7-9]。而實(shí)際工程中如果采用沖壓開(kāi)孔的方法在結(jié)構(gòu)上開(kāi)孔，產(chǎn)生開(kāi)孔的同時(shí)可以在孔邊形成一定高度的翻邊，對(duì)于帶有翻邊開(kāi)孔的矩形板動(dòng)力性能分析的研究工作似未見(jiàn)報(bào)道。本文以帶有翻邊長(zhǎng)圓形開(kāi)孔的矩形板為研究對(duì)象，采用ANSYS軟件建立翻邊開(kāi)孔矩形板的參數(shù)化模型，分析不同開(kāi)孔參數(shù)（開(kāi)孔率、翻邊高度、開(kāi)孔位置及開(kāi)孔轉(zhuǎn)動(dòng)）對(duì)矩形板第一、第二階固有頻率的影響及變化規(guī)律，為實(shí)際結(jié)構(gòu)的翻邊開(kāi)孔設(shè)計(jì)提供參考。

1 薄板振動(dòng)理論

根據(jù)瑞雷—里茨能量理論[10]，假設(shè)薄板自由振動(dòng)時(shí)的頻率為ω及振形為（x，y ），其瞬時(shí)撓度可表示為：

由（1）式可得振動(dòng)速度為：

而對(duì)于存在自由邊約束的開(kāi)孔薄板，則由下式計(jì)算其應(yīng)變能：

當(dāng)薄板振動(dòng)位于其平衡位置時(shí)，應(yīng)變能為零，動(dòng)能達(dá)到最大值KBmax：

其中：稱(chēng)為薄板的彎曲剛度，E為彈性模量，μ為泊松比，A0=A1-A2，A1為整個(gè)矩形板的面積，A2為孔口部分的面積，為開(kāi)孔薄板每單位面積內(nèi)的質(zhì)量。

根據(jù)能量守恒定理可知，薄板在距平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)的應(yīng)變能需要等于它在平衡位置時(shí)的動(dòng)能。若選定薄板的振形函數(shù)（x， ）y 滿足位移邊界條件，則按（3）至（5）式求出最大應(yīng)變能及動(dòng)能，命UBmax=KBmax，即可求得薄板的最低固有頻率。

對(duì)于用肋條加強(qiáng)了的薄板，仍然可以用能量法求解薄板的固有頻率，但須按照肋條的彎曲剛度、質(zhì)量分布和設(shè)定的振形函數(shù)求解出肋條的最大應(yīng)變能ULmax及動(dòng)能KLmax，并分別計(jì)入結(jié)構(gòu)總應(yīng)變能Umax和總動(dòng)能Kmax，然后再利用Umax=Kmax計(jì)算結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率。

以圖1所示加肋板結(jié)構(gòu)為例，肋條在薄板平面內(nèi)的慣性效應(yīng)和扭轉(zhuǎn)剛度與其橫向抗彎剛度相比可以忽略[11]，因此可以只考慮肋條的橫向彎曲振動(dòng)。同時(shí)考慮到肋條的偏心，其剛度的計(jì)算以整個(gè)薄板橫截面的彎曲中性面為參考。

圖1 加肋板結(jié)構(gòu)圖示Fig.1 Structure of the stiffened plate

x方向某一肋條的應(yīng)變能和動(dòng)能可分別表示為

同理y方向某一肋條的應(yīng)變能和動(dòng)能可分別表示為

式中：EIy和EIx分別為x、y方向肋條對(duì)加肋板中性面的抗彎剛度，x和y分別為x、y方向肋條單位長(zhǎng)度上的質(zhì)量。利用（6）式及（7）式可求出板上肋條的應(yīng)變能及動(dòng)能，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行疊加即可得到所有肋條的最大應(yīng)變能ULmax及動(dòng)能KLmax。在極坐標(biāo)系下，對(duì)（6）式及（7）式做坐標(biāo)變換即可求解環(huán)形加肋的應(yīng)變能及動(dòng)能。

對(duì)于本文要研究的翻邊長(zhǎng)圓孔矩形板，由薄板振動(dòng)理論可知開(kāi)孔面積及翻邊對(duì)薄板的固有頻率均有影響，下面將利用ANSYS軟件分析不同邊界條件及翻邊長(zhǎng)圓孔參數(shù)下矩形板的前兩階固有頻率，進(jìn)而分析翻邊開(kāi)孔對(duì)其動(dòng)力性能的影響。

2 翻邊開(kāi)孔模型

定義矩形板開(kāi)孔率為：

圖2 具有翻邊長(zhǎng)圓孔的矩形板Fig.2 A rectangular plate with circle-rectangular flanged cutout

表1 開(kāi)孔參數(shù)的取值Tab.1 Values of flanged-cutout parameters

選取矩形薄板邊界條件為固支（Clamped）、簡(jiǎn)支（Simply supposed）或自由（Free）。做如下規(guī)定：從矩形板左邊（x=-L/2）邊界開(kāi)始按逆時(shí)針順序，用4個(gè)字母分別表示矩形板四個(gè)邊界的約束條件。利用ANSYS軟件APDL程序?qū)崿F(xiàn)矩形板翻邊開(kāi)孔的參數(shù)化建模與分析，選用SHELL181作為模型單元，根據(jù)表1中各組開(kāi)孔參數(shù)，對(duì)開(kāi)孔矩形薄板進(jìn)行振動(dòng)分析。

3 開(kāi)孔率對(duì)矩形板振動(dòng)頻率的影響

開(kāi)孔率與大圓半徑R及孔直邊長(zhǎng)度L1有關(guān)。首先考慮大圓半徑R的影響，在矩形板中心開(kāi)孔，取直邊長(zhǎng)度L1=80 mm，翻邊高度h=8 mm。表2給出了中心開(kāi)孔后，一端固支（CFFF）矩形板前兩階固有頻率值。為便于比較，對(duì)無(wú)孔板在一端固支條件下的固有頻率進(jìn)行了模擬，ANSYS分析結(jié)果為：f1=8.364 Hz，f2=28.204 Hz。由表2可知：矩形板翻邊開(kāi)孔后，板的固有頻率發(fā)生了變化，其影響效果與開(kāi)孔的開(kāi)孔面積（或開(kāi)孔率）有關(guān)。與未開(kāi)孔時(shí)矩形板的固有頻率相比，隨著開(kāi)孔率的增大第一階頻率持續(xù)增加；對(duì)于第二階頻率，開(kāi)孔較小時(shí)頻率不斷上升，但隨著開(kāi)孔率的增加而不斷降低，而且會(huì)出現(xiàn)開(kāi)孔板的第二階頻率將低于無(wú)開(kāi)孔時(shí)板的第二階頻率的情況（φ＞0.023）。

圖3給出了其余不同邊界約束條件下，矩形板前兩階固有頻率隨開(kāi)孔率的變化情況。由圖3可知，隨著開(kāi)孔率的增加，這幾類(lèi)邊界約束條件下矩形板前兩階頻率不斷增大，且均大于開(kāi)孔前板的相應(yīng)固有頻率。翻邊開(kāi)孔對(duì)矩形板頻率的影響程度與邊界條件有關(guān)，四邊固支（CCCC）條件下的影響程度最高。

圖3 不同約束條件，矩形板前兩階頻率隨開(kāi)孔率變化情況 （a）第一階固有頻率；（b）第二階固有頻率Fig.3 Variations of the natural frequeneies of a rectangular plate supposed differently with various area(a)The first natural frequency;(b)The second natural frequency

保持開(kāi)孔圓尺寸不變和翻邊高度不變的情況下，分析直邊長(zhǎng)度L1對(duì)矩形板頻率的影響。取R=90 mm，r=85 mm，翻邊高度h=8 mm，在矩形板中心開(kāi)孔。表3給出了一端固支（CFFF）矩形板前兩階固有頻率值隨L1的變化情況。由表3可知隨著直邊長(zhǎng)度L1的增加，第一階頻率持續(xù)增加，均大于未開(kāi)孔時(shí)的頻率；第二階固有頻率則不斷降低，均小于未開(kāi)孔時(shí)的結(jié)果。與表2中所示頻率變化趨勢(shì)一致（φ≥0.023時(shí)）。

圖4給出了其余幾種邊界約束條件下矩形板前兩階固有頻率隨直邊長(zhǎng)度L1的變化情況。由圖4可知，隨著直邊長(zhǎng)度L1的增加，除CSCS約束條件外，這幾類(lèi)邊界約束條件下矩形板前兩階頻率不斷增大，且均大于開(kāi)孔前板的相應(yīng)固有頻率。而對(duì)于CSCS約束條件，第一階頻率隨著L1的增加不斷升高，第二階頻率呈現(xiàn)先增加后降低的趨勢(shì)（φ≥0.295）。

表3 長(zhǎng)度L1對(duì)一端固支開(kāi)孔矩形板的頻率影響Tab.3 Influence of L1on the first two frequencies of a clamped-free plate

圖4 不同約束條件，矩形板頻率隨直邊長(zhǎng)度L1變化情況 （a）第一階固有頻率；（b）第二階固有頻率Fig.4 Variations of the natural frequeneies of a rectangular plate supposed differently with various L1(a)The first natural frequency;(b)The second natural frequency

圖5給出了CSCS約束條件下開(kāi)孔矩形板的第二階振型，表現(xiàn)為反對(duì)稱(chēng)于坐標(biāo)x軸。分析認(rèn)為在CSCS約束條件下，增大R保持L1不變的開(kāi)孔方式將結(jié)構(gòu)質(zhì)量向固支邊（矩形板左右兩邊）集中，增大L1保持R不變的開(kāi)孔方式則將結(jié)構(gòu)質(zhì)量向簡(jiǎn)支邊集中，前一種情況下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率較大。由此可見(jiàn)開(kāi)孔形狀變化對(duì)于矩形板的振動(dòng)頻率也有較大影響。

4 翻邊高度對(duì)矩形板頻率的影響

圖5 CSCS約束條件下矩形板的第二階頻率振型Fig.5 The second vibration mode of rectangular plate in CSCS

為研究翻邊高度對(duì)矩形板振動(dòng)頻率的影響，在開(kāi)孔位置沿圖1所示坐標(biāo)y軸方向截取一矩形板截面，如圖6所示。

假設(shè)翻邊與矩形板平面的夾角為α，當(dāng)角α發(fā)生變化時(shí)，翻邊開(kāi)孔矩形板的結(jié)構(gòu)形式及振動(dòng)頻率均會(huì)發(fā)生變化。由圖6可知角α的大小與翻邊高度h以及圓半徑的差值（R-r）有關(guān)，下面分別研究這二者對(duì)矩形板振動(dòng)頻率的影響。

首先取 R=90 mm，r=85 mm，L1=80 mm，即開(kāi)孔率φ=0.295，研究不同翻邊高度對(duì)矩形板頻率的影響。開(kāi)孔位置依然位于矩形板中心。

圖6 矩形板翻邊開(kāi)孔截面圖Fig.6 Section of a rectangular plate with flanged-cutout

表4 翻邊高度h對(duì)一端固支開(kāi)孔矩形板前兩階頻率值的影響Tab.4 Influence of h on the first two frequencies of a clamped-free plate

表4列出了一端固支矩形板前兩階頻率隨翻邊高度的變化。由表4中數(shù)據(jù)可知，翻邊高度變化對(duì)一端固支（CFFF）矩形板頻率的影響很大。隨著翻邊高度的增加，一端固支矩形板前兩階頻率值不斷增大。與未開(kāi)孔板的對(duì)應(yīng)頻率相比較可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)翻邊高度較小時(shí)，開(kāi)孔后板的頻率值均小于未開(kāi)孔時(shí)的情況。當(dāng)翻邊高度增大到一定情況，開(kāi)孔后板的頻率值則大于未開(kāi)孔板，如h≥4 mm時(shí)，開(kāi)孔后矩形板第一階頻率值大于相應(yīng)未開(kāi)孔情況。對(duì)于第二階頻率，則需要翻邊高度h≥16 mm。

其余幾類(lèi)約束條件下，翻邊高度對(duì)矩形板振動(dòng)頻率的影響如圖7所示。由圖7可知，隨著翻邊高度h的增加，這幾類(lèi)邊界約束條件下矩形板前兩階頻率變化總體呈現(xiàn)增大的趨勢(shì)。與無(wú)翻邊的開(kāi)孔板相比，當(dāng)翻邊達(dá)到一定高度時(shí)，有翻邊的開(kāi)孔板前兩階振動(dòng)頻率均大于無(wú)翻邊的開(kāi)孔板。與加肋板類(lèi)似，這是由于翻邊的存在提高了矩形板的面外剛度，而矩形板前兩階振動(dòng)主要表現(xiàn)為面外振動(dòng)。同時(shí)注意到翻邊高度達(dá)到一定值時(shí)，開(kāi)孔矩形板頻率變化不明顯，說(shuō)明翻邊高度對(duì)頻率的影響程度在降低。

保持開(kāi)孔率不變（大圓半徑R和直邊長(zhǎng)度L1不變）以及同樣翻邊高度h的情況下，本文還分析了小圓半徑r的變化對(duì)矩形板頻率的影響。表5給出了開(kāi)孔率φ=0.295，翻邊高度h=8 mm時(shí)，小圓半徑r變化時(shí)一端固支（CFFF）矩形板前兩階固有頻率值。由表5可以發(fā)現(xiàn)，隨著小圓半徑r的增加，一端固支矩形板前兩階頻率值均不斷降低，但第一階頻率均大于未開(kāi)孔前的相應(yīng)頻率值，當(dāng)r值達(dá)到79 mm時(shí)，開(kāi)孔板的第二階頻率將低于無(wú)開(kāi)孔時(shí)板的第二階頻率。

圖8給出了其余約束條件下，矩形板前兩階固有頻率隨小圓半徑r的變化情況。由圖8可知，隨著小圓半徑r的增加，這幾類(lèi)邊界約束條件下矩形板前兩階頻率呈現(xiàn)增大的趨勢(shì)。開(kāi)孔后的頻率值均大于未開(kāi)孔矩形板的相應(yīng)固有頻率。當(dāng)r達(dá)到一定值時(shí)，矩形板頻率變化不明顯，小圓半徑r對(duì)矩形板頻率的影響程度在降低。

圖7 不同約束條件，矩形板頻率隨翻邊高度h變化情況 （a）第一階固有頻率；（b）第二階固有頻率Fig.7 Variations of the natural frequeneies of a rectangular plate supposed differently with various h(a)The first natural frequency;(b)The second natural frequency

圖8 不同約束條件，矩形板頻率隨小圓半徑r變化情況 （a）一階固有頻率；（b）第二階固有頻率Fig.8 Variations of the natural frequeneies of a rectangular plate supposed differently with various r(a)The first natural frequency;(b)The second natural frequency

表5 圓半徑r對(duì)一端固支矩形板前兩階頻率值的影響Tab.5 Influence of radius r on the first two frequencies of a clamped-free plate

5 開(kāi)孔位置變化對(duì)矩形板振動(dòng)頻率的影響

取R=90 mm，r=85 mm，L1=80 mm，翻邊高度為h=8 mm的開(kāi)孔矩形板。研究開(kāi)孔中心位置沿x軸正方向移動(dòng)時(shí)矩形板振動(dòng)頻率的變化情況。

一端固支約束下，矩形板前兩階固有頻率隨開(kāi)孔中心位置變化時(shí)的結(jié)果如表6所示。在同樣開(kāi)孔率的情況下，隨著開(kāi)孔中心位置沿著x軸正方向移動(dòng)，固支端分布的質(zhì)量在不斷增加，由懸臂結(jié)構(gòu)可知矩形板頻率應(yīng)不斷增加，這與表6中所列數(shù)據(jù)一致。

表6 一端固支約束，矩形板前兩階頻率值受開(kāi)孔位置x的影響Tab.6 Influence of x on the first two frequencies of a clamped-free plate

圖9給出了其余幾種邊界約束條件下，開(kāi)孔矩形板前兩階頻率隨開(kāi)孔中心位置的變化情況。由圖8可知，隨著開(kāi)孔位置沿x軸正方向移動(dòng)，開(kāi)孔后板的第一階頻率呈不斷下降趨勢(shì)。CCCC、SSSS、SCSC這幾類(lèi)邊界約束條件下矩形板第二階頻率呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)，這主要是由于這是因?yàn)檫@幾類(lèi)約束條件下板中心正是第二階振型的節(jié)線位置。對(duì)于CSCS、CFCF邊界下的矩形板第二階頻率則隨著開(kāi)孔位置沿x軸正方向移動(dòng)而降低，但變化不明顯。而FCFC這類(lèi)邊界條件下矩形板第二階頻率不斷增加。

圖9 不同約束條件，開(kāi)孔位置x變化對(duì)矩形板頻率的影響 （a）第一階固有頻率；（b）第二階固有頻率Fig.9 Variations of the natural frequeneies of a rectangular plate supposed differently with various x(a)The first natural frequency;(b)The second natural frequency

6 翻邊長(zhǎng)圓孔轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)矩形板振動(dòng)頻率的影響

取R=90 mm，r=85 mm，L1=80 mm，開(kāi)孔率φ=0.295，翻邊高度為h=8 mm的開(kāi)孔矩形板，研究翻邊長(zhǎng)圓孔繞開(kāi)孔中心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)矩形板頻率的影響。一端固支約束時(shí)矩形板前兩階固有頻率隨開(kāi)孔轉(zhuǎn)角θ變化結(jié)果如表7所示。轉(zhuǎn)角θ的變化對(duì)一端固支矩形板前兩階頻率的影響效果明顯不同，第一階固有頻率在θ=0°時(shí)達(dá)到最大值，而第二階固有頻率則在θ=45°時(shí)達(dá)到最大值。

其余幾種約束條件時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)角度變化對(duì)矩形板前兩階固有頻率的影響如圖10所示。對(duì)于第一階振動(dòng)頻率，CCCC和SCSC兩類(lèi)約束條件下頻率變化較大，隨著角度θ的增加頻率呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，其余幾類(lèi)邊界條件下一階頻率變化量小，轉(zhuǎn)角的影響非常有限。對(duì)于第二階振動(dòng)頻率，CCCC、SSSS、CSCS和SCSC兩類(lèi)約束條件下頻率變化較大，隨著角度θ的增加頻率呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，其余兩類(lèi)邊界條件頻率變化受轉(zhuǎn)角的影響小。

表7 轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ對(duì)一端固支矩形板前兩階頻率值的影響Tab.7 Influence of θ on the first two frequencies of a clamped-free plate with a central circular cutout

圖10 不同約束條件，轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ變化對(duì)矩形板頻率的影響 （a）第一階固有頻率；（b）第二階固有頻率Fig.10 Variations of the natural frequeneies of a rectangular plate supposed differently with various θ(a)The first natural frequency;(b)The second natural frequency

7 結(jié) 論

本文對(duì)帶有翻邊長(zhǎng)圓孔的矩形板動(dòng)力性能進(jìn)行了研究，分析了開(kāi)孔率、翻邊高度、開(kāi)孔位置及開(kāi)孔轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)矩形板振動(dòng)頻率的影響。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：

（1）開(kāi)孔后矩形板的振動(dòng)特性變化顯著。與無(wú)翻邊開(kāi)孔情況相比，翻邊的存在增加了矩形板的面外剛度，對(duì)其振動(dòng)性能有較大影響。

（2）不同約束條件下，翻邊開(kāi)孔對(duì)矩形板振動(dòng)頻率的影響效果不同。

（3）實(shí)際工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)需根據(jù)不同性能要求選擇合適的開(kāi)孔參數(shù)。

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Influence of flanged-cutout on the natural frequencies of a rectangular plate

WANG Wen-sheng,WEI Hao-jie,HOU Zhong-hua,WANG Zhan-lei,MEI Qun
(Department of Engineering Mechanics,Henan University of Science and Technology,Luoyang 471023,China)

The influence of flanged-cutout on the natural frequencies of a rectangular plate is investigated.A general rectangular plate with circle-rectangular cutout is employed and the ANSYS software is used to evaluate the natural frequencies of the structure.Numerical results show that the frequencies are highly dependent upon the size,flanging height,position and orientation of the cutout,and the effect is also related to the different boundary conditions of the plate.The results can provide references for the design of flangedcutouts in engineering.

flangedge;circle-rectangular cutout;rectangular plate;natural frequencies

O327 TB123

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2017.11.010

1007-7294（2017）11-1404-10

2017-04-27

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11402077）；河南科技大學(xué)科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目（13350046）

王文勝（1983-），男，副教授，E-mail：wswang@live.cn；

魏豪杰（1980-），男，博士，講師。