李鵬輝 ， 帥長庚 ， 王鎖泉 ， 彭桂初

（1.海軍工程大學 a.振動與噪聲研究所；b.船舶振動噪聲重點實驗室，武漢 430033；2.中國船舶科學研究中心，江蘇無錫214082；3.中國人民解放軍九二二六七部隊，山東青島266000）

囊式空氣彈簧機械阻抗特性研究

李鵬輝1a，b， 帥長庚1a，b， 王鎖泉2， 彭桂初3

（1.海軍工程大學 a.振動與噪聲研究所；b.船舶振動噪聲重點實驗室，武漢 430033；2.中國船舶科學研究中心，江蘇無錫214082；3.中國人民解放軍九二二六七部隊，山東青島266000）

根據(jù)小幅振動的線性疊加原理將囊式空氣彈簧分成幾個簡單的可解析計算的規(guī)則區(qū)域，結(jié)合線性空氣波動理論求解出空氣彈簧內(nèi)部聲壓場的分布。根據(jù)彈性薄殼無矩理論推導出旋轉(zhuǎn)殼體狀態(tài)向量的一階常微分矩陣方程，利用齊次擴容精細積分法推導出殼體的傳遞矩陣，結(jié)合動力平衡方程求出空氣彈簧在位移諧波激勵下所受到的激勵力，進而得出其機械阻抗。算例結(jié)果表明該方法合理可行，為運用近似解析法分析空氣彈簧的阻抗特性提供了一種新的思路。

旋轉(zhuǎn)薄殼；線性空氣波動理論；傳遞矩陣法；齊次擴容精細積分法；機械阻抗

0 引 言

空氣彈簧是以密封空氣為介質(zhì)對設(shè)備進行支撐與隔振的一類隔振元件，囊式空氣彈簧以其固有頻率低、剛度可調(diào)、不存在“蠕變”等優(yōu)點在船舶動力裝置中得到了廣泛的應用。機械阻抗是彈性元件隔振設(shè)計和性能優(yōu)化的主要指標[1]，機械阻抗的獲取主要有實驗測試和解析計算兩種途徑，由于材料非線性、幾何結(jié)構(gòu)復雜等原因使得機械阻抗的獲取一般都依賴于實驗[2]。采用解析法可以定性定量地分析阻抗特性，為空氣彈簧的設(shè)計、使用提供理論依據(jù)，因此能夠正確有效地采用解析法分析機械阻抗具有重要的意義。孫健等人[3]通過分析圓柱型橡膠隔振器的阻抗特性指出了傳統(tǒng)地將隔振器簡化為彈簧和阻尼模型的不足，并且指出了高頻波動的問題；顧太平等人[4]結(jié)合簾線平衡角用近似解析算法分析了空氣波動對機械阻抗的影響規(guī)律，指出了空氣彈簧內(nèi)部聲壓場與殼體應力場之間的耦合問題。

傳遞矩陣法是由Tottenham與Irie等人[5-6]提出并不斷發(fā)展的分析殼體振動的一種半解析半數(shù)值的方法，它的優(yōu)點是殼體中每個殼體微元的狀態(tài)向量都可以用相應的傳遞矩陣來表示，進而可以得到殼體兩端支撐處狀態(tài)向量之間的關(guān)系，因此傳遞矩陣法在分析殼體振動方面得到了廣泛的應用[7-8]。傳統(tǒng)的傳遞矩陣分析方法有一個局限性是殼體的狀態(tài)方程必須是一階齊次常微分的矩陣形式，這限制了該方法的應用。對于該問題，蘇海東、黃玉盈等人[9-10]提出了擴容精細積分法，該方法通過將非齊次的狀態(tài)方程擴容成齊次的狀態(tài)方程，拓展了傳遞矩陣法的使用范圍。

本文將囊式空氣彈簧劃分為幾個規(guī)則的區(qū)域，求解出各個區(qū)域內(nèi)部的聲壓方程，通過銜接處理得到各個區(qū)域之間聲壓的關(guān)系。將殼體劃分為有限個細小的微元殼體，采用齊次擴容技術(shù)得出每個殼體微元兩端面間的齊次擴容狀態(tài)矩陣方程，再由精細積分法得出整個殼體兩端的矩陣方程，結(jié)合動力平衡方程可以得出空氣彈簧的機械阻抗表達式。

1 數(shù)學模型

簡化的回轉(zhuǎn)型囊式空氣彈簧模型是由上下蓋板、囊體以及內(nèi)部空氣組成，將內(nèi)部空氣的區(qū)域分解為矩形回轉(zhuǎn)體與弧形回轉(zhuǎn)體，機械阻抗計算模型如圖1所示，下蓋板固定，上蓋板受到位移簡諧激勵，以上蓋板面中心為原點建立柱坐標系orz。

圖1 囊式空氣彈簧機械阻抗計算模型Fig.1 The mechanical impedance calculation model of bellows type air spring

1.1 聲壓方程的推導

當上蓋板受到激勵時，空氣彈簧內(nèi)部聲壓發(fā)生復雜的變化，為了便于計算，將內(nèi)部空氣區(qū)域劃分為矩形回轉(zhuǎn)體與弧形回轉(zhuǎn)體，將矩形回轉(zhuǎn)體內(nèi)的運動分為垂向運動與橫向運動。求解聲壓方程轉(zhuǎn)變?yōu)楹ツ坊羝澐匠淘谶吔鐥l件下的定值求解問題。

對于矩形回轉(zhuǎn)體內(nèi)空氣體積元的垂向運動，邊界條件是：

求解出空氣體積元垂向運動所產(chǎn)生的聲壓以及徑向速度表達式分別為：

對于矩形回轉(zhuǎn)體內(nèi)空氣體積元的橫向運動，假設(shè)在矩形回轉(zhuǎn)體與弧形回轉(zhuǎn)體交界處空氣流速為，空氣單元橫向運動的邊界條件為：

求解出空氣體積元橫向運動所產(chǎn)生的聲壓以及徑向速度表達式分別為：

由于弧形回轉(zhuǎn)體形狀不規(guī)則，為了便于求解，近似地認為其內(nèi)部聲壓值相等，將其等效為亥姆霍茲共鳴器來進行處理。兩個回轉(zhuǎn)體交界處的面積與弧形回轉(zhuǎn)體的體積分別為：

弧形回轉(zhuǎn)體與矩形回轉(zhuǎn)體交界處的邊界條件是聲壓值與空氣流量相等，即在r=R處有：

1.2 殼體傳遞矩陣的推導

建立正交曲線坐標系，以徑向參數(shù)α與緯向參數(shù)β作為變量，截取囊體曲邊dα、dβ微元，微元受力分析如圖2所示。圖中N1、N2分別表示經(jīng)線與緯線方向單位長度所受到的拉壓力，R1、R2表示主曲率半徑，p表示囊體在法向方向上所受到的壓力，假設(shè)空氣彈簧初始壓力為p0，則p=p0+p3。由幾何知識可得沿 α、β方向的拉密系數(shù)分別為：A=R0，B=R0sinα+d。

設(shè)囊體的彈性模量為E，泊松比為μ，密度為ρ，厚度為δ，用U、W分別表示沿α、β方向上的位移。根據(jù)彈性薄殼無矩理論可以得到囊體振動的動平衡方程和彈性方程。動平衡方程為：

圖2 囊體微元受力分析Fig.2 Mechanical analysis of the micro element for bellows

彈性方程為：

將（9）式寫成矩陣的形式：

該表達式是一個非齊次的變系數(shù)矩陣微分方程，本文借鑒文獻[10]提出的思路，先對這個方程進行齊次化和常數(shù)化，然后再用精細積分法進行求解。

囊體的弧度θ=2π/3，在沿α方向剖分積分弧段時將其分成n等份，則每一等份的弧度是Δα=θ/n。對于（10）式中的非齊次項結(jié)合泰勒公式展開，用二次式逼近可得：

上式各項中都含有表達式D1、D2，它們是關(guān)于變量α的函數(shù)，當積分弧段足夠小時可用D1、D2的平均值來代表它在該段的值。以第i段積分弧段為例可得：

此時的齊次擴容矩陣微分方程為：

由（14）式可得傳遞矩陣表達式為：

由精細積分法[11]可得：

囊體兩個端面之間的傳遞矩陣為：

可得囊體兩端支撐處狀態(tài)向量之間的關(guān)系式為：

沿α方向上的應力和位移之間的關(guān)系是：

1.3 機械阻抗表達式的推導

上蓋板受到位移簡諧激勵時，空氣彈簧內(nèi)部聲壓場對上下蓋板處的動態(tài)力為：

對囊體上下端面由幾何關(guān)系可知：

當空氣彈簧下蓋板固定時囊體下端U1=0，可得囊體所受到的動態(tài)力表達式為：

對上下蓋板結(jié)合動力平衡方程以及機械阻抗的定義可得輸入阻抗Z11與傳遞阻抗Z12表達式分別為：

式中：M表示上蓋板的質(zhì)量，α1、α2分別表示殼體在上下端面處經(jīng)線方向上的坐標。

2 仿真驗證與分析

假設(shè)初始壓力為3[atm]，表1給出了囊式空氣彈簧阻抗計算所需的各項參數(shù)。

表1 空氣彈簧阻抗計算參數(shù)Tab.1 Parameters used in impedance calculation of air spring

圖3 不同激勵頻率時的聲壓場分布Fig.3 The acoustic pressure distribution at different excitation frequency

采用Comsol Multiphysics軟件中的聲固耦合模塊，對下蓋板施加固定約束，上蓋板施加位移簡諧激勵來模擬空氣彈簧的簡諧振動。計算結(jié)束后，與（23）式結(jié)合可得氣囊機械阻抗計算與仿真結(jié)果的對比如圖4所示，由圖可知計算結(jié)果與仿真結(jié)果吻合良好，驗證了本文提出的通過傳遞矩陣來分析氣囊機械阻抗特性方法的可行性。

圖4表明：氣囊機械阻抗曲線表現(xiàn)出了明顯的剛度區(qū)、共振區(qū)與質(zhì)量區(qū)，當激勵頻率比較高時出現(xiàn)明顯的波動效應。各區(qū)域的劃分是由剛度與蓋板質(zhì)量這兩個因素共同作用的；剛度區(qū)是在低頻段，此時氣囊剛度起主導作用，隨著頻率的增加剛度與質(zhì)量的作用平分秋色，此頻段為共振區(qū)，隨著激勵頻率的進一步提高，在高頻段質(zhì)量起到主導作用，表現(xiàn)為質(zhì)量區(qū)。

3 結(jié) 語

圖4 機械阻抗計算與仿真的對比Fig.4 The contrast of mechanical impedance between arithmetic and FEM simulation

本文計算了空氣彈簧內(nèi)部的聲壓場，借助齊次擴容技術(shù)與精細積分法得出殼體兩端的狀態(tài)矩陣方程，與聲壓場結(jié)合用近似解析法求解出了空氣彈簧的阻抗特性，經(jīng)驗證該方法合理可行，為用解析法分析空氣彈簧的阻抗特性提供了一種新的求解方法，該方法可推廣應用到管路系統(tǒng)阻抗特性的分析，這對于空氣彈簧以及空氣管路系統(tǒng)減振元件的傳遞特性研究具有重要的借鑒意義。

本文提出的近似解析方法誤差來源主要有三個方面：一是（11）式中對非齊次項函數(shù)的二次式逼近；二是（10）式中系數(shù)矩陣中隨坐標α變化的變量D1，D2，在一個足夠小的積分弧段內(nèi)用平均值在代替；三是求解聲壓場時對弧形回轉(zhuǎn)體的近似處理。對誤差來源一、二來講，本文提出的方法不但考慮了弧形管管壁截面積的變化也考慮到了其結(jié)構(gòu)的變化，比起簡單地將其簡化為變截面桿模型，該方法精度更高。需要進一步完善的地方是誤差來源三，如何能夠更加精確地求解出弧形體內(nèi)的聲壓分布還有待于進一步地深入研究。

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Study on the mechanical impedance of bellows type air spring

LI Peng-hui1a,b,SHUAI Chang-geng1a,b,WANG Suo-quan2,PENG Gui-chu3
(1a.Institute of Noiseamp;Vibration;1b.National Key Laboratory on Ship Vibrationamp;Noise,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China;2.China Ship Scientific Research Center,Wuxi 214082,China;3.92267 Troop of People’s Liberation Army,Qingdao 266000,China)

The bellows type air spring was divided into several calculable regular simple regions according to superposition principle,and the sound pressure distribution was calculated based on the linear air wave theory.Based on the non-moment theory of elastic thin shell,the 1-order ordinary differential matrix equation for the state vector of revolutionary shells was derived.The transfer-matrix of the shell was derived by extended homogeneous capacity high precision integration method and the exciting force of the air spring under displacement harmonic excitation was achieved by combined with dynamical balancing equation,then the mechanical impedance of the air spring was derived.The results show that the proposed method is feasible and it provides a new idea to analyse the mechanical impedance characteristics of the air spring with the method of approximate analytic algorithm.

revolutionary thin shell;linear air wave theory;transfer-matrix method;extended homogeneous capacity high precision integration method;mechanical impedance

O328

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2017.11.014

1007-7294（2017）11-1440-08

2017-08-05

教育部“新世紀優(yōu)秀人才支持計劃”資助

李鵬輝（1992-），男，碩士研究生，E-mail：lph0115@163.com；

帥長庚（1975-），男，教授，博士生導師，通訊作者，E-mail：chgshuai@163.com。