張啟新

(華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣州 510631)

一個(gè)組合公式的證明及在取球問(wèn)題中的應(yīng)用與推廣

張啟新

(華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣州 510631)

本文研究了一種不放回的取球問(wèn)題, 導(dǎo)出了與該問(wèn)題密切相關(guān)的組合公式, 在對(duì)公式進(jìn)行研究后加以推廣, 并將推廣的結(jié)果應(yīng)用到了更廣義的取球問(wèn)題中.

取球問(wèn)題; 數(shù)學(xué)期望; 組合數(shù)學(xué); 組合公式

一、公式導(dǎo)出與求解

本文先探究如下的取球問(wèn)題:

例1 在一個(gè)黑箱中放入2n個(gè)除顏色外無(wú)任何區(qū)別的小球, 其中有n個(gè)黑球和n個(gè)紅球. 現(xiàn)從黑箱中取球, 規(guī)則如下: 若取出的是黑球, 則不放回地繼續(xù)取球; 若取出的是紅球, 則停止取球. 設(shè)取出黑球的數(shù)量為X, 求X的數(shù)學(xué)期望

注1 為了后續(xù)的表述方便, 該問(wèn)題稱為n×n的連續(xù)取球問(wèn)題.

解易知X=0,1,2,…,n, 且

?

一般地, 有

所以取到的黑球數(shù)的期望為

因此, 例1轉(zhuǎn)化成了求解該組合式:

為了求解上述組合式, 首先需要如下引理.

該結(jié)論是顯然的, 事實(shí)上該式右端只是將左端求和符號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)的下標(biāo)進(jìn)行倒序重排.

我們有下面的結(jié)論.

(1)

證明上式等價(jià)于

為此, 只需證明

(2).

將(2)式左端改寫成

利用引理1, 還可改寫為

(3)

上面的步驟將(1)式變化成了(3)式, 我們將證明之.

設(shè)fn(k)=(n-k+1)(n+k-2)!k(k+1)…(n+1),

那么(3)式又進(jìn)一步化成了

Sn(n)=(2n)!

(4)

代入前幾項(xiàng)的值, 可算得

Sn(1)=n!(n+1)!;

Sn(2)=n!(n+1)!+(n-1)n!(n+1)!=nn!(n+1)!;

據(jù)此觀察猜想

(5)

(5)式對(duì)k=1,2,3,4均成立. 假設(shè)結(jié)論對(duì)k≤s(s為正整數(shù))均成立, 對(duì)于k=s+1, 有

Sn(k)=Sn(s+1)

=Sn(s)+fn(s+1)

所以(5)式對(duì)k=s+1也成立. 于是由數(shù)學(xué)歸納法可知, 對(duì)于一切正整數(shù)k(k≤n), (5)式均成立.

將k=n代入(5)式, 得到

=2n(2n-1)!=(2n)!.

所以(4)式成立, 由此知(1)～(3)式均成立, 證畢.

回到例1, 利用已有結(jié)論, 可得

定理1.2n×n的連續(xù)取球問(wèn)題的取球數(shù)期望為

二、公式與問(wèn)題的推廣

例1的取球問(wèn)題中, 紅球和黑球的地位是對(duì)稱的,因此, 定理1的組合公式的應(yīng)用范圍也僅限于兩種球數(shù)量相等的情形, 為此考慮將例1的取球問(wèn)題推廣到非對(duì)稱的情形, 即下面的例2.

例2 在一個(gè)黑箱中放入n+m個(gè)除顏色外無(wú)任何區(qū)別的小球, 其中有n個(gè)黑球和m個(gè)紅球. 現(xiàn)從黑箱中取球, 規(guī)則如下: 若取出的是黑球, 則不放回地繼續(xù)取球; 若取出的是紅球, 則停止取球. 設(shè)取出黑球的數(shù)量為X, 求X的數(shù)學(xué)期望.

注3 為后續(xù)表述方便, 稱該問(wèn)題為n×m的連續(xù)取球問(wèn)題.

解易知X=0,1,2,…,n,且

?

所以取到黑球的數(shù)學(xué)期望為

因此, 我們導(dǎo)出了一個(gè)組合式

易見該組合式是定理1中組合式的推廣.

引理2 (二重?cái)?shù)學(xué)歸納法)設(shè)有一個(gè)與兩獨(dú)立正整數(shù)m,n有關(guān)的命題p(m,n), 滿足:

(1)p(m,1)與p(1,n)成立.

(2) 如果p(m,n+1)與p(m+1,n)均成立, 則p(m+1,n+1)也成立

那么該命題對(duì)一切正整數(shù)m,n均成立.

(6)

證明(6)式等價(jià)于

將求和式中的常數(shù)項(xiàng)提出來(lái)移到等式右邊, 即有

利用引理1, 可化成

定理2轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

(7)

所以(7)式對(duì)L(m,1)和L(1,n)成立.

如果(7)式對(duì)L(m,n+1)和L(m+1,n)成立, 則

=mL(m,n+1)+L(m+1,n)

故(7)式對(duì)L(m+1,n+1)也成立, 由引理2知對(duì)所有正整數(shù)m,n, 均有

定理2證畢.

至此, 例2也得到了解決. 于是有下面的結(jié)論.

定理2.2n×m的連續(xù)取球問(wèn)題的取球數(shù)期望為

三、進(jìn)一步推廣

現(xiàn)在, 我們考慮

設(shè)其為A, 結(jié)合定理2, 有

利用該結(jié)果, 還可以有如下的

定理3n×m的連續(xù)取球問(wèn)題的取球數(shù)方差為

證明由概率論的方差公式, 有

至此, 我們成功地將導(dǎo)出的組合公式做出了兩種推廣, 并將之用到了具有實(shí)際意義的組合問(wèn)題中. 可見, 將一個(gè)問(wèn)題抽象化為公式之后, 我們可以根據(jù)問(wèn)題本身的特點(diǎn)將公式進(jìn)行推廣, 并將推廣的結(jié)果應(yīng)用到問(wèn)題中去, 得出更多的結(jié)論.

[1] 熊斌, 田延彥. 國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克研究[M]. 上海:上海教育出版社，2008：39-40.

[2] 盛驟等. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第四版)[M]. 北京:高等教育出版社, 2008:100-101.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

G632

A

1008-0333(2017)25-0029-03

2017-07-01

張啟新(1996.3-)，男，漢，廣東省廣州人，在校學(xué)生.