■江西省贛南師范大學(xué)科技學(xué)院 陳國(guó)林

數(shù)列綜合檢測(cè)（A卷）

■江西省贛南師范大學(xué)科技學(xué)院 陳國(guó)林

編者的話:強(qiáng)化對(duì)核心考點(diǎn)的演練、注重對(duì)經(jīng)典題型的歸納,是學(xué)好數(shù)學(xué)的秘訣,基于此,本刊編輯部特開設(shè)此欄目,希望同學(xué)們能認(rèn)真對(duì)待。從本期開始,如果都能撕下來(lái)保存好,對(duì)以后的復(fù)習(xí)大有裨益。

一、選擇題

1.在等比數(shù)列{an}中,若有an+an+1=,則公比q的值是( )。

3.在等差數(shù)列an{}中,a3+a9=27-a6,Sn表示數(shù)列an{}的前n項(xiàng)和,則S11=( )。

A.18 B.99 C.198 D.297

4.已知等比數(shù)列an{}單調(diào)遞減,若a3=,則a1=( )。

A.2 B.4 C.2 D.22

5.朱世杰是我國(guó)歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一,他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問有如下問題:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤。只云初日差六十四人,次日轉(zhuǎn)多七人,每人日支米三升,共支米四百三石九斗二升,問筑堤幾日”。其大意為:“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩,第一天派出64人,從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人,修筑堤壩的人每天分發(fā)3升大米,共發(fā)出40392升大米,問修筑堤壩多少天”。注:1石=10斗=100升。在這個(gè)問題中,第5天應(yīng)發(fā)大米( )。

A.894升 B.1170升

C.1275升 D.1467升

6.等比數(shù)列{an}中,a4=2,a5=5,則數(shù)列{lgan}的前8項(xiàng)和為( )。

A.1 B.2 C.4 D.8

8.設(shè)Sn是等差數(shù)列an{}的前n項(xiàng)和,若a1=2,a5=3a3,則S9=( )。

A.-72 B.-54 C.54 D.90

9.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積記為∏n,若a3a4a8=8,則∏9=( )。

A.512 B.256 C.81 D.16

10.等比數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn=a·3n-1+b,則=( )。

A.-3 B.-1 C.1 D.3

11.成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于6,并且這三個(gè)數(shù)分別加上3、6、13后成為等比數(shù)列 {bn}中的b3、b4、b5,則數(shù)列 {bn}的通項(xiàng)公式為( )。

Ab.n=2n-1Bb.n=3n-1

C.bn=2n-2D.bn=3n-2

12.下列說(shuō)法不正確的一項(xiàng)是( )。

A.如果{an},{bn}是等比數(shù)列,那么{anbn}也是等比數(shù)列

B.如果{an}是等比數(shù)列,k是不等于0的常數(shù),那么數(shù)列{kan}也是等比數(shù)列

C.在等差數(shù)列中,與首末兩項(xiàng)的距離相等的兩項(xiàng)和等于首末兩項(xiàng)的和

D.當(dāng)a1＞0,q＞1或a1＜0,0＜q＜1時(shí),等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列

13.設(shè)等差數(shù)列an{}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1＞0,a3+a10＞0,a6a7＜0,則滿足Sn＞0的最大自然數(shù)n的值為( )。

A.6 B.7 C.12 D.13

A.1 B.2 C.4 D.5

15.用1或2這兩個(gè)數(shù)字寫成n位數(shù),其中任意兩個(gè)位置不全為1,記n位數(shù)的個(gè)數(shù)為f(n),則f(10)的值為( )。

A.144 B.135 C.123 D.111 17.在數(shù)列{an}中,對(duì)任意n∈N*,都有(k為常數(shù)),則稱an{}為“等差比數(shù)列”。下面對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷:①k不可能為0;②等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列;③等比數(shù)列一定是等差比數(shù)列;④通項(xiàng)公式為an=a·bn+c(a≠0,b≠0,1)的數(shù)列一定是等差比數(shù)列,其中正確的判斷為( )。

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

18.一彈性小球從100m高處自由落下,每次著地后又跳回到原來(lái)高度的處再落下,設(shè)它第n次著地時(shí)總路程為Sn,則當(dāng)n≥2時(shí),有( )。

A.Sn的最小值為100

B.Sn的最大值為400

C.Sn＜500

D.Sn≤500

19.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則下列選項(xiàng)一定成立的是( )。

A.若a3＞0,則a2015＜0

B.若a4＞0,則a2014＜0

C.若a3＞0,則S2015＞0

D.若a4＞0,則S2014＞0

A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空題

21.黑白兩種顏色的正六邊形的面磚按如圖1所示的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案,則第n個(gè)圖案中有白色地磚 塊。

圖1

22.《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一。書中有這樣一道題目:把100個(gè)面包分給5個(gè)人,使每人所得面包數(shù)成等差數(shù)列,且使較大的三個(gè)數(shù)之和的是較小的兩個(gè)數(shù)之和,則最小的數(shù)為____。

23.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S10=10,S20=30,則S30=。

24.已知等差數(shù)列{an}的公差為2,且a1,a2,a4成等比數(shù)列,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=。

25.在等比數(shù)列{an}中,a6-a4=24,a3a5=64,且an＞0(n∈N*),則等比數(shù)列{an}的公比q的值為____。26.已知數(shù)列an{}的首項(xiàng)為且滿足an+1an=3an+1-2an,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是____。

27.圖2是畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)的生長(zhǎng)程序:正方形上連接著等腰直角三角形,等腰直角三角形邊上再連接正方形,…,如此繼續(xù),若共得到1023個(gè)正方形,設(shè)初始正方形的邊長(zhǎng)為,則最小正方形的邊長(zhǎng)為____。

圖2

35.使用計(jì)算器依照預(yù)先編制的程序進(jìn)行計(jì)算,當(dāng)依次輸入的兩個(gè)數(shù)據(jù)分別為1和1時(shí),輸出的結(jié)果為2;當(dāng)依次輸入的兩個(gè)數(shù)據(jù)分別為m和n時(shí),輸出的結(jié)果為k;當(dāng)依次輸入的兩個(gè)數(shù)據(jù)分別為m和n+1時(shí),輸出的結(jié)果為k+3,則當(dāng)依次輸入的兩個(gè)數(shù)據(jù)為1和n時(shí),輸出的結(jié)果應(yīng)為____。

36.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=2,且對(duì)任意正整數(shù)k,l,都有ak+l=ak+al,則S8的值是____。

三、解答題

41.在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù),使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列,將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn,再令an=lgTn,n≥1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

42.等比數(shù)列{cn}滿足cn+1+cn=10·4n-1(n∈N*),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an=log2cn,求an,Sn的值。

43.某企業(yè)的資金每一年都比上一年分紅后的資金增加一倍,并且每年年底固定給股東們分紅500萬(wàn)元。該企業(yè)2013年年底分紅后的資金為1000萬(wàn)元。

(1)求該企業(yè)2017年年底分紅后的資金;

(2)求該企業(yè)從哪一年開始年底分紅后的資金超過(guò)32500萬(wàn)元。

44.數(shù)列 {an}滿足a1=1,an+1=3an+2n。

(1)求證數(shù)列{an+2n}是等比數(shù)列;

45.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且S10=55,a2,a4,a8成等比數(shù)列。

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

46.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn,且S18∶S9=7∶8。

(1)求證:S3,S9,S6依次成等差數(shù)列。

(2)a7與a10的等差中項(xiàng)是否為數(shù)列{an}中的項(xiàng)?如果是,它是{an}中的第幾項(xiàng)?如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由。

48.已知等差數(shù)列 an{}滿足:a1=2,且a1,a2,a5成等比數(shù)列。

(1)求a2,a5的值。

(2)記Sn為數(shù)列an{}的前n項(xiàng)和,是否存在正整數(shù)n,使得Sn＞60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

49.已知數(shù)列an{}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a1=2,nan+1=Sn+n(n+1)。

(1)求數(shù)列an{}的通項(xiàng)公式an;

(2)是否存在實(shí)數(shù)a、b,使得對(duì)任意正整數(shù)p,數(shù)列an{}中滿足an+b≤p的最大項(xiàng)恰為第3p-2項(xiàng)?若存在,分別求出a與b的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

(責(zé)任編輯 徐利杰)