廖鳳紫

(廣西融水苗族自治縣中學(xué)，廣西 柳州 545300)

基于波利亞解題模型在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)用分析

廖鳳紫

(廣西融水苗族自治縣中學(xué)，廣西 柳州 545300)

波利亞的解題模型是在世界上流傳較廣且影響深刻的解題模型，在數(shù)學(xué)中尤其是高中數(shù)學(xué)中被廣泛運(yùn)用.本文通過(guò)介紹波利亞模型的主要內(nèi)容，以及對(duì)具體數(shù)學(xué)題型的運(yùn)用來(lái)闡述該模型在高中數(shù)學(xué)解題中的作用，以幫助學(xué)生提高解題效率，教師完善教學(xué)工作.

波利亞解題模型；高中數(shù)學(xué)；應(yīng)用分析

1.何為波利亞解題模型

波利亞解題模型是波利亞的經(jīng)典書目《怎樣解題》中的重要理論，他將該模型分為四個(gè)部分：第一，看到數(shù)學(xué)題目時(shí)應(yīng)先理清題目思路，看清題目的已知、未知還有所求問(wèn)題；第二，分析題目的各個(gè)要素包括已知、未知、問(wèn)題之間的相互聯(lián)系，找到解題的方向所在，形成基本的解題策略；第三，將解題策略具體運(yùn)用于數(shù)學(xué)題目中；第四，對(duì)整個(gè)解題過(guò)程包括理解題目、思路的形成、計(jì)劃的執(zhí)行檢驗(yàn)評(píng)價(jià).

2.波利亞解題模型在高中數(shù)學(xué)解題中的具體運(yùn)用

波利亞的解題模型的重要思想除了包括上述的四個(gè)部分，一般被稱為“怎樣解題表”，還包括更加細(xì)致的四個(gè)模型，分別是雙軌跡模式、笛卡爾模式、遞歸模式、疊加模式.這四種解題模式被更多的運(yùn)用于數(shù)學(xué)實(shí)際解題過(guò)程中.下面將結(jié)合具體數(shù)學(xué)事例進(jìn)行詳細(xì)闡釋.

(1)雙軌跡模式 雙軌跡模式 ，顧名思義，要運(yùn)用兩條軌跡來(lái)解題，類似于換位思考的思想.譬如我們確定三角形ABC，已知為邊a、點(diǎn)B、點(diǎn)C，未知為點(diǎn)A，問(wèn)怎么確定點(diǎn)A.換種方式理解我們發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)A即是以點(diǎn)B為圓心、以邊c為半徑的圓和以點(diǎn)C為圓心、以邊b為半徑的圓的交點(diǎn).這里就把問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)點(diǎn)，再把已知的條件轉(zhuǎn)換成兩個(gè)部分，每一個(gè)部分都可以看成是點(diǎn)的軌跡，結(jié)論即在兩條軌跡的交點(diǎn)處.

(2)笛卡爾模式 笛卡爾在數(shù)學(xué)的解析幾何方面做出了重要貢獻(xiàn)，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中也形成了獨(dú)特的數(shù)學(xué)思想.他認(rèn)為，所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)換成代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行解決，而所有的代數(shù)問(wèn)題又可以轉(zhuǎn)換成解方程的思想.波利亞利用了這一思想，但又加以具體化，具體運(yùn)用通過(guò)具體的高中數(shù)學(xué)題目來(lái)加以闡釋.

例1 已知三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x處有極大值4,它的導(dǎo)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,0)，(4,0)，并且導(dǎo)函數(shù)的圖象有最小值，求a、b、c的值.

該題目應(yīng)先求出極大值x的值，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)我們很容易就能分析出f(x)的極大值x為1，接下來(lái)就可以運(yùn)用笛卡爾解方程的思想來(lái)進(jìn)行求解a、b、c.已知一：f(x)在(1,5)處取得極大值，可列出方程a+b+c=4；已知二：f(x)的導(dǎo)函數(shù)3ax2+2bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)，(4,0)，可列出兩個(gè)方程12a+4b+c=0，48a+8b+c=0，聯(lián)立三個(gè)方程，可分別求出a、b、c的值.

(3)遞歸模式 在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中，遞歸模式概括的說(shuō)就是運(yùn)用有限的已知條件來(lái)獲得更多的已知，該模式多用于解決高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列問(wèn)題，學(xué)生可以利用此模式迅速的找到解題方法.

例2 已知S=1+4+9+16+25+36+…+n2，求S的值.

我們可以從已知得出這樣一個(gè)等式(n+1)3=n3+3n2+3n+1，可列出(n+1)3-n3=3n2+3n+1，然后再將實(shí)際數(shù)值代入式子中，就可以得到23-13=3×12+3×1+1和33-23=3×22+3×2+1,43-33=3×22+3×3+1,…這樣我們就可以歸納出這樣的規(guī)律：(n+1)3-n3=3n2+3n+1.此時(shí)將兩邊相加就可得到(n+1)3-1=3S2+3S1+n，求出S1的代數(shù)式，再代入最初列的等式，即可得出S的結(jié)果.

(4)疊加模式 在高中數(shù)學(xué)中，有許多題目的條件很多，這就會(huì)使學(xué)生錯(cuò)誤的認(rèn)為該題目難度較大，不好駕馭，但經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)，許多同學(xué)只是被絆倒在分析題干上，這個(gè)時(shí)候就需要我們耐心的對(duì)題目的多個(gè)已知進(jìn)行疊加，找出它們的聯(lián)系，直到最后找到解題思路.

初看這個(gè)題目，已知條件太多，但運(yùn)用到疊加方法就能迅速化難為易.具體的解題思路為:將三個(gè)方程的兩邊分別相加，可得到(x+y+z)2-(x+y+z)-6=0，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化可得到一個(gè)等式x+y+z=-2.將這個(gè)等式分別代入以上三個(gè)方程組中，可分別得出x、y、z的值.

[1] 楊孝斌,羅永超.例談?dòng)貌ɡ麃啞霸鯓咏忸}”的提示語(yǔ)解高考題——以重慶市2013年理科第22題為例[J].通化師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2014(04).

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-07-01

廖鳳紫(1980.11-),女，廣西柳州人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

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1008-0333(2017)28-0029-01