趙垚鑫， 張國山

(天津大學 電氣與自動化工程學院，天津 300072)

基于無偏LS-SVM的混沌系統(tǒng)的混合同步控制*

趙垚鑫， 張國山

(天津大學電氣與自動化工程學院，天津300072)

為實現(xiàn)超混沌系統(tǒng)與混沌系統(tǒng)的混合同步控制，通過對主系統(tǒng)采樣，獲得訓練樣本數(shù)集，設計了從系統(tǒng)混合同步軌線的形式；采用無偏最小二乘支持向量機(LS-SVM) 的方法，引入核函數(shù)，獲得優(yōu)化目標，根據(jù)優(yōu)化目標，求出混合同步軌線，設計了控制器。以超混沌Lorenz-Stenflo系統(tǒng)為主系統(tǒng)，Chen混沌系統(tǒng)為從系統(tǒng)為例，基于Matlab進行數(shù)值仿真，驗證了方法的有效性。

混沌系統(tǒng)； 最小二乘支持向量機； 混合同步

0 引 言

混沌同步在傳感器優(yōu)化[1]、圖像信號處理[2]、保密通信等領域展現(xiàn)出了重要的應用價值和前景[3]，成為非線性科學領域的熱點課題，得到廣泛研究。

與混沌系統(tǒng)比較，超混沌系統(tǒng)具有2個或2個以上正的Lyapunov指數(shù)，其動力學行為更加隨機、更加不可預測，具有更高的保密性，在各領域應用更加廣泛。近年來，提出了介于兩個混沌系統(tǒng)之間的混合同步概念，如Chen系統(tǒng)和Lu系統(tǒng)的自適應混合同步[4]，超混沌Lorenz系統(tǒng)和超混沌Qi系統(tǒng)的混合同步，基于被動法的超混沌Lu系統(tǒng)的混合同步[5]，基于主動非線性法的Liu系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)的混合同步[6]，基于非線性法的Arneodo系統(tǒng)和Rossler混沌系統(tǒng)的混合同步等。

本文基于數(shù)據(jù)驅動思想，采用最小二乘支持向量機(least square support vector machine,LS-SVM)算法，通過對主系統(tǒng)求解，得到訓練樣本數(shù)集，結合從系統(tǒng)，在無偏LS-SVM框架下求出混合同步軌線，設計了控制器，實現(xiàn)主從系統(tǒng)的混合同步控制。此外，根據(jù)無偏思想[7]，消去計算過程中的偏置項，省去冗余計算，改進了計算精度。

1 超混沌與混沌系統(tǒng)的混合同步控制

1.1 問題描述

考慮如下非線性混沌系統(tǒng)，系統(tǒng)(1)為主系統(tǒng)，系統(tǒng)(2)為從系統(tǒng)

(1)

(2)

式中x,y∈Rn;f,g為R×Rn→Rn的可微函數(shù)；u(t,x,y)為控制輸入。

定義混合同步誤差e=x-qy，設計控制器u使得具有同初值x0,y0的系統(tǒng)滿足

分別取q=1，q=-1，可實現(xiàn)系統(tǒng)(1)，(2)的同步與反同步，將其結合在主從系統(tǒng)的同步控制中，即可實現(xiàn)混合同步。

1.2 混合同步控制器設計

首先，通過四階龍格—庫塔法對主系統(tǒng)(1)進行數(shù)值求解，得

式中n為狀態(tài)向量維數(shù)；m為每一維訓練樣本點個數(shù)。

根據(jù)文獻[8]闡述的回歸預測無偏LS-SVM的主要思想，可將混沌系統(tǒng)混合同步問題轉換為非線性系統(tǒng)的回歸問題，設混沌系統(tǒng)(2)的混合同步軌線為

(3)

式中wl為權重向量；b為偏置項;φ(t)為非線性映射函數(shù)，將輸入向量由原空間映射到高維特征空間。由于偏置項b的存在，會導致后續(xù)計算中系數(shù)矩陣冗余，為提高計算速度與精度，在此引入常值參數(shù)λ，將偏置項合并到權值向量wl中，在形式上消除偏置項b，消除冗余計算。設

可將式(3)轉換為

(4)

同理，將式(2)中f(x)轉化到高維空間，其形式如下

(5)

(6)

(7)

(8)

式中i=2,…,m;j=1,…,m;l=1,…,n。根據(jù)Karush-Kuhn-Tucker(KKT)最優(yōu)化條件，對各個變量求偏導數(shù)，可得

(9)

式中 通常Φ(·)的表達式未知，為此，引入核函數(shù)，從而避免高維空間中的點積運算，簡化計算。由于混沌系統(tǒng)通常用微分方程來描述，在此對核函數(shù)的導數(shù)進行定義，根據(jù)Mercer[9]定理，特征映射函數(shù)[7]的導數(shù)可以寫成核函數(shù)導數(shù)的形式

例如

本文采用徑向基核函數(shù)，其表示形式為

K(x,xk)=exp{-(x-xk)2/σ2}

(10)

代入求解矩陣方程式(10)，可得到系數(shù)矩陣，則由式(4)可知，從系統(tǒng)的混合同步軌線為

(11)

由式(5)可知，f(x)近似形式為

(12)

u(t)辨識形式為

(13)

為了說明該控制器的有效性，將其代入式(2)，重構該系統(tǒng)，形式如下

(14)

根據(jù)式(14)，通過龍格—庫塔法求該系統(tǒng)的解并將其與式(1)的參考軌跡對比。

2 仿真實驗

為驗證本文方法的有效性和優(yōu)越性，以超混沌Lorenz-Stenflo系統(tǒng)[11]為主系統(tǒng)， Chen系統(tǒng)為從系統(tǒng)，采用四階龍格—庫塔法，基于Matlab進行混合同步數(shù)值仿真。

例：主系統(tǒng)為超混沌Lorenz-Stenflo系統(tǒng)

(15)

式中y=[y1,y2,y3,y4]T∈R4為狀態(tài)向量，初始狀態(tài)為y(0)=[0.028,0.02,0.03,0.04]T。

從系統(tǒng)為Chen系統(tǒng)

(16)

式中x=[x1,x2,x3,x4]T∈R4為狀態(tài)向量，初始狀態(tài)為x(0)=[5,6,7,8]T;u(t)∈R4為待求的控制器。

定義混合同步誤差：el=xl-qlyl，l=1,2,3,4，其中，當ql=1時，為系統(tǒng)同步控制；q1=-1，為系統(tǒng)反同步控制。文中，取q1=q3=1，q2=q4=-1。取超混沌系統(tǒng)的離散解采樣樣本容量m=500，作為訓練點，采樣區(qū)間t∈[0,30]s。

超混沌Lorenz-Stenflo系統(tǒng)與 Chen系統(tǒng)混合同步控制軌線曲線如圖1所示。

圖1 主系統(tǒng)與從系統(tǒng)的混合同步軌線

由圖1(a),(c)看出:x1-y1,x3-y3運動軌跡的方向一致，且基本重合，表明在控制器的作用下達到了同步。由圖1(b)，(d)看出:x2-y2,x4-y4運動軌跡方向完全相反，幅值基本相等，表明在控制器的作用下達到了反同步。

設計的最優(yōu)控制器，Chen系統(tǒng)的控制輸入信號如圖2所示。其中(a)，(c)實現(xiàn)了x1-y1,x3-y3的同步控制；(b)，(d)實現(xiàn)了x2-y2,x4-y4的反同步控制。

圖2 混合同步控制器

圖3 主從系統(tǒng)的誤差曲線

由圖3可知:在混合同步控制器的作用下，x1-y1,x3-y3,x2-y2,x4-y4的軌線誤差均隨時間的變化趨于零，且收斂速度較快。

仿真結果表明:在控制器的作用下，超混沌Lorenz-Stenflo系統(tǒng)與 Chen系統(tǒng)的混合同步誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，隨著時間的變化很快趨于零，達到了設計要求，實現(xiàn)了混合同步控制。

3 結 論

采用LS-SVM方法，根據(jù)主系統(tǒng)的采樣數(shù)據(jù)，訓練從系統(tǒng)，求得超混沌系統(tǒng)和混沌系統(tǒng)的混合同步控制器和混合同步軌線。設計的控制器可以使主從系統(tǒng)達到混合同步，且控制器的顯式表達是連續(xù)可微的閉式形式。在主系統(tǒng)中各待同步狀態(tài)已知或可通過狀態(tài)觀測器估算的前提下，可通過搭建LS-SVM框架完成混合同步控制器的設計以及從系統(tǒng)中待同步狀態(tài)的同步跟蹤。以Lorenz-Stenflo超混沌系統(tǒng)與Chen混沌系統(tǒng)為例，仿真結果充分說明了同步方法的科學性和有效性。

[1] 彭珍瑞,趙 宇,殷 紅，等.基于混沌猴群算法的傳感器優(yōu)化布置[J].傳感器與微系統(tǒng),2014,33(10):104-107.

[2] 劉敘含,申曉紅,姚海洋.基于帳篷混沌觀測矩陣的圖像壓縮感知[J].傳感器與微系統(tǒng),2014,33(9):26-28,31.

[3] 柴秀麗,李 偉,史春曉,等.基于超混沌系統(tǒng)的彩色圖像加密新算法[J].傳感器與微系統(tǒng),2013,32(8):131-134,138.

[4] Wei Hengdong,Li Liping.Adaptive hybrid synchronization of two different chaotic systems with unknown parameters[C]∥2010 International Conference on Signal Processing Systems(ICSPS),2010:609-613.

[5] Huang X,Wang Z,Li,Y.Hybrid synchronization of hyperchaotic lu system based on passive control[C]∥International Workshop on Chaos Fractal Theory and Its Applications,2010:34-38.

[6] Sundarapandian V.Hybrid synchronization of Liu and Chen systems by active nonlinear control[J].Int’l J of Mathematical Sciences and Applications,2011,1(3):1139-1146.

[7] Lázaro M,Santamaría I,Pérez-Cruz F,et al.Support vector regression for the simultaneous learning of a multivariate function and its derivatives[J].Neurocomputing,2005,69(1-3):42-61.

[8] 蔡艷寧，胡昌華.一種基于Cholesky分解的動態(tài)無偏LS-SVM學習算法[J].控制與決策，2008,32(12):1363-1367.

[9] Vapnik V N.The nature of statistical learning theory[M].Berlin Heidelberg:Springer,2000:988-999.

[10] An S,Liu W,Venkatesh S.Fast cross-validation algorithms for least squares support vector machine and kernel ridge regression[J].Pattern Recognition,2007,40(8):2154-2162.

[11] Huang J.Adaptive synchronization between different hyperchaotic systems with fully uncertain parameters[J].Physics Letters A,2008,372(27-28):4799-4804.

HybridsynchronizationcontrolofchaoticsystemsbasedonunbiasedLS-SVM*

ZHAO Yao-xin, ZHANG Guo-shan

(SchoolofElectricalEngineering&Automation，TianjinUniversity,Tianjin300072,China)

To realize hybrid synchronization control of hyper chaotic system and chaotic system,training sample number is obtained by sampling master system, and the hybrid synchronous trajectory of the slave system is set up.By using a method based on least square support vector machine(LS-SVM),and introducing the kernel function,the optimization target can be obtained,and according to optimization target,hybrid synchronous trajectory is gotten,and the controller is designed.Taking the hyper chaotic Lorenz-Stenflo system as master system,and Chen chaotic system as slave system,numerical simulations based on Matlab is carried out and verify efficiency of the method.

chaotic system; least square support vector machine(LS-SVM); hybrid synchronization

10.13873/J.1000—9787(2017)11—0115—04

TP 391

A

1000—9787(2017)11—0115—04

2016—10—20

國家自然科學基金資助項目(61473202)

趙垚鑫(1992-)，女，碩士研究生，主要研究方向為數(shù)據(jù)驅動控制，混沌控制的研究。

張國山(1961-)，男，教授，博士生導師，從事非線性系統(tǒng)控制理論，智能控制與混沌控制及應用的研究工作。