史樹(shù)峰 師 鵬 趙育善

北京航空航天大學(xué)，北京100191

再入飛行器離軌制動(dòng)在線規(guī)劃方法

史樹(shù)峰 師 鵬 趙育善

北京航空航天大學(xué)，北京100191

研究了再入飛行器離軌階段的軌道規(guī)劃方法?；谲壍里w行原理，建立了沖量模型下離軌制動(dòng)參數(shù)和再入點(diǎn)參數(shù)的關(guān)系，分析了最優(yōu)離軌的推力施加原則。在考慮地球自轉(zhuǎn)的前提下，針對(duì)約束再入點(diǎn)特定經(jīng)緯度的問(wèn)題，利用非線性規(guī)劃的優(yōu)化方法，研究了有限推力模型下離軌點(diǎn)位置的確定策略，同時(shí)給出了符合燃料最優(yōu)目標(biāo)的離軌制動(dòng)參數(shù)。

再入飛行器；最優(yōu)離軌；有限推力；非線性規(guī)劃

隨著宇航技術(shù)的發(fā)展以及全球打擊作戰(zhàn)需求的出現(xiàn)，天基全球攻擊作戰(zhàn)方案受到了世界強(qiáng)國(guó)的普遍重視。此類(lèi)研究一般以軌道或亞軌道高度再入大氣層，如美國(guó)提出的通用航空飛行器(CAV)概念就具有出色的作戰(zhàn)優(yōu)勢(shì)。CAV在待命狀態(tài)下由運(yùn)行于400～500km高度潛伏軌道的平臺(tái)攜帶，接到攻擊命令后，平臺(tái)釋放CAV，CAV依靠離軌模塊的制動(dòng)推力進(jìn)入飛向地球的下降軌道[1-3]。

為使再入飛行器具備全球定位打擊能力，必須研究其在線離軌規(guī)劃方法。再入飛行器離軌過(guò)渡軌道的相關(guān)研究中，陳洪波等分析了離軌推力控制與相應(yīng)的下降軌道再入角之間的關(guān)系[4]。高浩等以最短攔截時(shí)間為要求，提出了離軌過(guò)渡軌道的優(yōu)化算法[5]。

本文將再入飛行器的定點(diǎn)打擊作為研究目標(biāo)，以再入飛行器從潛伏軌道轉(zhuǎn)移到距地面120km高度的再入點(diǎn)之間的離軌段和過(guò)渡段軌道為研究對(duì)象，對(duì)再入飛行器定點(diǎn)打擊的離軌制動(dòng)時(shí)機(jī)和離軌控制參數(shù)進(jìn)行了研究。首先分析了再入飛行器離軌任務(wù)特性，然后針對(duì)圓軌道潛伏軌道推導(dǎo)了沖量變軌模式下的最優(yōu)離軌軌道，繼而提出了有限推力變軌模式下最優(yōu)離軌關(guān)鍵參數(shù)的確定方法，最后通過(guò)模擬仿真驗(yàn)證了方法的有效性。

1 再入飛行器離軌制動(dòng)過(guò)程

再入飛行器的返回軌道是指飛行器返回地球并著陸到地球表面過(guò)程中質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡。返回軌道可分成4段： 1)離軌段軌道； 2)過(guò)渡段軌道； 3)再入段軌道； 4)著陸段軌道[6]。

圖1為再入飛行器的離軌再入過(guò)程。假設(shè)飛行器在原軌道ε1上以速度v1飛行。離軌模塊作用在離軌點(diǎn)D并施以制動(dòng)速度Δv，使飛行器的速度變?yōu)関2，從原來(lái)的軌道進(jìn)入到一條與地球大氣相交的橢圓過(guò)渡段軌道ε2上，并于120km高度處的再入點(diǎn)E開(kāi)始以速度ve和再入角?e進(jìn)入稠密大氣層。本文研究的對(duì)象就是從D點(diǎn)到E點(diǎn)的離軌段(有制動(dòng)推力)和過(guò)渡段(無(wú)動(dòng)力滑行)軌道，E點(diǎn)之后的再入段和著陸段軌道不在討論之列。

圖1 離軌再入過(guò)程示意圖

圖1中的離軌段和過(guò)渡段軌道，在給定δD和已知v1及?1，也即給定再入飛行器的離軌點(diǎn)D的位置時(shí)，離軌點(diǎn)D到再入點(diǎn)E之間的航程角δb的大小由過(guò)渡軌道ε2的軌道要素決定。過(guò)渡段軌道ε2可由D點(diǎn)的位置、離軌速度v2求得。再入點(diǎn)E就是ε2與大氣層上界的相交點(diǎn)。飛行器再入點(diǎn)的狀況，即再入點(diǎn)E的位置、再入速度ve和再入角(彈道傾角)?e，對(duì)飛行器能否成功返回有決定性的影響[7]。

一般認(rèn)為從D點(diǎn)到E點(diǎn)間的軌道是無(wú)大氣阻力的空間軌道，E點(diǎn)之后的軌道是受大氣影響的氣動(dòng)軌道。再入點(diǎn)E處的再入彈道傾角?e和再入對(duì)地速度ve會(huì)因氣動(dòng)飛行的需要而有特定約束。因此，再入飛行器離軌制動(dòng)規(guī)劃的任務(wù)可以描述成：根據(jù)飛行器當(dāng)前飛行參數(shù)，選擇合適的制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火時(shí)機(jī)和制動(dòng)推力參數(shù)，使飛行器經(jīng)過(guò)過(guò)渡段軌道到達(dá)指定的再入點(diǎn)經(jīng)緯度，并滿足任務(wù)要求的再入點(diǎn)速度參數(shù)，且制動(dòng)過(guò)程具有燃料最優(yōu)的性能指標(biāo)。

實(shí)際上，從離軌點(diǎn)開(kāi)始到完成離軌進(jìn)入過(guò)渡段軌道不是在一個(gè)點(diǎn)瞬時(shí)完成的，制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)獲得制動(dòng)速度Δv需要一定的工作時(shí)間。本文將先用沖量模型對(duì)離軌制動(dòng)過(guò)程進(jìn)行分析，然后用有限推力模型進(jìn)行實(shí)際規(guī)劃。

2 圓軌道最優(yōu)沖量離軌

由于變軌道面機(jī)動(dòng)所耗燃料超出一般離軌制動(dòng)任務(wù)所限，本文離軌制動(dòng)過(guò)程限定在原軌道面內(nèi)完成。

圓軌道潛伏軌道制動(dòng)的制動(dòng)點(diǎn)與再入點(diǎn)關(guān)系如圖2所示，假設(shè)原運(yùn)行軌道為圓軌道，v1的方向即為當(dāng)?shù)厮椒较颉＆誾為Δv與當(dāng)?shù)厮降膴A角，圖中φz為負(fù)。同時(shí)定義χ=π+φz，圖中為正值。v1，?1和r1分別為制動(dòng)點(diǎn)原軌道速度大小、方向和地心距，v2，?2和r2分別為制動(dòng)后軌道速度大小、方向和地心距，ve，?e和re分別為再入點(diǎn)速度大小、方向和地心距，根據(jù)沖量假設(shè)，r1=r2。

圖2 圓軌道制動(dòng)的制動(dòng)點(diǎn)與再入點(diǎn)關(guān)系

由軌道力學(xué)可知

(1)

r2v2cos?2=revecos?e

(2)

其中，μ為地心引力常數(shù)，由圖2中三角關(guān)系可知

v2cos?2=v1-Δvcosχ

(3)

(4)

由式(1)知

(5)

其中，

(6)

將式(3)代入式(2)得

(7)

將式(7)和(4)代入式(5)得

(8)

令

(9)

則式(8)可寫(xiě)成

(10)

對(duì)于圓軌道再入問(wèn)題，因?yàn)樵偃朦c(diǎn)的地心距re和制動(dòng)點(diǎn)的地心距r1=r2已知，即α為常數(shù)?？梢钥闯?，當(dāng)給定一個(gè)χ角，一定可以找出一個(gè)Δv，使?e滿足要求，因此可以找到一個(gè)最佳制動(dòng)角χ0，使Δv即燃料消耗最小，制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間最短。

為此，將式(10)對(duì)χ角求偏導(dǎo)得到

出現(xiàn)駐點(diǎn)的條件

(11)

上式中2個(gè)方程分別對(duì)應(yīng)一個(gè)最優(yōu)值

(12)

其中，χ02的成立須滿足如下條件

(13)

當(dāng)制動(dòng)過(guò)程滿足方程式(13)時(shí)，χ02能使Δv為極值且為極小值；當(dāng)不滿足方程式(13)時(shí)，應(yīng)取χ01為制動(dòng)方向，使Δv為極值且為極小值，而且此時(shí)

(14)

由于一般制動(dòng)高度h0>300km，而且|?e|≤5°，不滿足式(13)條件，因此最佳χ0=0，且制動(dòng)高度越高，Δvmin越大。所以在一般情況下，圓軌道制動(dòng)方向以反向制動(dòng)最佳。

由于再入段飛行狀態(tài)主要受再入彈道傾角影響，因此以上理論是在?e確定而對(duì)ve的大小不作要求時(shí)的討論，當(dāng)任務(wù)對(duì)ve也確定的情況下，χ值對(duì)于給定離軌點(diǎn)有確定值。

3 有限推力離軌策略

作為返回任務(wù)的基礎(chǔ)，首先要確定合適的離軌點(diǎn)。再入飛行器的飛行軌道是確定的，任務(wù)下達(dá)時(shí)間是任意的，因此當(dāng)接收到返回指令時(shí)，飛行器可能處于空間中的任意位置；而返回目標(biāo)(這里指再入點(diǎn)位置)是基于經(jīng)緯度描述的相對(duì)地面固定位置(如圖3)，但在慣性系下是隨時(shí)間變化的，假設(shè)離軌時(shí)刻目標(biāo)位置在P點(diǎn)，實(shí)際設(shè)計(jì)的軌道需要考慮到地球自轉(zhuǎn)因素而確定為P′點(diǎn)。因此在離軌點(diǎn)確定時(shí)，研究再入點(diǎn)慣性空間位置會(huì)使問(wèn)題復(fù)雜化，考慮將軌道星下點(diǎn)作為主要參考對(duì)象。

圖3 離軌點(diǎn)選擇與目標(biāo)位置的關(guān)系

再入飛行器過(guò)渡軌道的參數(shù)，完全由制動(dòng)結(jié)束時(shí)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)確定。當(dāng)以軌道星下點(diǎn)為研究對(duì)象時(shí)，由于從離軌制動(dòng)到進(jìn)入再入點(diǎn)的過(guò)程不超過(guò)半個(gè)軌道周期，而且軌道形狀改變程度也不大，所以離軌后的星下點(diǎn)軌跡接近于原軌道星下點(diǎn)軌跡。因此標(biāo)準(zhǔn)過(guò)渡軌道應(yīng)滿足如下要求：

1)離軌點(diǎn)在原軌道上，其軌道星下點(diǎn)軌跡應(yīng)通過(guò)再入點(diǎn)地理經(jīng)緯度；

2)再入點(diǎn)傾角?e和再入速度ve應(yīng)滿足任務(wù)要求。

為滿足這2點(diǎn)要求，可供調(diào)整的參數(shù)有制動(dòng)點(diǎn)位置，即制動(dòng)點(diǎn)的經(jīng)緯度，但為了保證制動(dòng)點(diǎn)位置在原軌道上，實(shí)際可控參數(shù)只有經(jīng)度或緯度；另一可調(diào)整參數(shù)是發(fā)動(dòng)機(jī)推力大小、方向和工作時(shí)間。

上節(jié)確定制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推力方向的方法以瞬時(shí)沖量模型為基礎(chǔ)，而在實(shí)際情況下，發(fā)動(dòng)機(jī)推力為有限值，速度增量并非沖量，為此需要使用非線性規(guī)劃方法確定離軌任務(wù)的各關(guān)鍵參數(shù)。

有限推力下的離軌動(dòng)力學(xué)模型為

(15)

其中，μ為引力常數(shù)，T為發(fā)動(dòng)機(jī)推力，m為飛行器質(zhì)量，ap為需要考慮的攝動(dòng)力，g0為海平面處重力加速度，Isp為發(fā)動(dòng)機(jī)比沖。

在有限推力模式下，當(dāng)推力的大小給定時(shí)，需要確定的是制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推力的方向和工作時(shí)間。具體算法是以沖量法的制動(dòng)角χ為基礎(chǔ)制動(dòng)方向，通過(guò)計(jì)算得到滿足再入角要求的制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間t，再通過(guò)非線性規(guī)劃方法找出符合再入速度要求的最佳制動(dòng)方向。這樣再入點(diǎn)的速度參數(shù)得到了滿足，但再入點(diǎn)位置并不滿足任務(wù)要求，須要在原軌道的星下點(diǎn)軌跡上搜索找出能準(zhǔn)確到達(dá)再入點(diǎn)位置的制動(dòng)起始位置。另外，為了保證離軌任務(wù)的精度，參數(shù)確定過(guò)程中需要考慮必要的攝動(dòng)因素，由于離軌過(guò)程時(shí)間較短且在低軌道高度進(jìn)行，所以本文主要引入了J2攝動(dòng)項(xiàng)。

離軌制動(dòng)點(diǎn)具體規(guī)劃策略如下：

第1步：選定制動(dòng)點(diǎn)位置(B0,λ0)，用迭代方法求滿足?e和ve的制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)方向和工作時(shí)間tp。具體步驟為：

1)初選制動(dòng)點(diǎn)(B0,λ0)：在星下點(diǎn)軌跡過(guò)再入點(diǎn)的運(yùn)行軌道上(原軌道的第N圈)，選一制動(dòng)點(diǎn)經(jīng)度λ0，根據(jù)第N圈星下點(diǎn)軌跡的數(shù)據(jù)求出與λ0對(duì)應(yīng)的大地緯度B0；

2)求制動(dòng)點(diǎn)(B0,λ0)相對(duì)應(yīng)的制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)：由沖量模型計(jì)算制動(dòng)點(diǎn)的初始推力方向，通過(guò)非線性規(guī)劃方法得到再入高度120km處滿足再入角要求的制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間。

第1步規(guī)劃實(shí)際上是帶約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題，其數(shù)學(xué)描述如下

(16)

其中，等式約束為規(guī)劃結(jié)果的再入點(diǎn)傾角須滿足任務(wù)要求。離軌制動(dòng)規(guī)劃使用SNOPT非線性規(guī)劃方法[8]，并以第2節(jié)中沖量模型的計(jì)算結(jié)果作為規(guī)劃初值。

圖4 離軌制動(dòng)參數(shù)規(guī)劃流程

第2步：對(duì)于第1步選定的制動(dòng)點(diǎn)(B0,λ0)和制動(dòng)點(diǎn)參數(shù)，計(jì)算再入點(diǎn)位置誤差Δe，迭代修正再入點(diǎn)位置，直到滿足任務(wù)要求。

第2步規(guī)劃實(shí)際上是在原軌道上對(duì)制動(dòng)點(diǎn)的一維搜索，搜索方法選擇使用牛頓法。

第1、2步是不斷重復(fù)的過(guò)程，每一次由Δe修正(B0,λ0)時(shí)，也要重復(fù)第1步對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)進(jìn)行修正，流程如圖4所示。

4 離軌制動(dòng)規(guī)劃仿真

根據(jù)前文介紹的方法，對(duì)離軌制動(dòng)的具體任務(wù)進(jìn)行模擬仿真。再入飛行器及發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)如表1所示。

表1 再入飛行器參數(shù)

初始軌道為高度400km的圓軌道，初始?xì)v元為UTC 2016/10/1 20:00:00。其軌道根數(shù)如表2所示。

表2 初始軌道根數(shù)

再入點(diǎn)速度參數(shù)要求彈道傾角為-1.235°。

仿真中選取了3個(gè)不同緯度的目標(biāo)再入點(diǎn)位置，滿足處于原軌道星下點(diǎn)軌跡上的要求，且處于星下點(diǎn)軌跡的不同軌道號(hào)上，如表3所示。

表3 再入點(diǎn)經(jīng)緯度

圖5 飛行器原軌道的星下點(diǎn)軌跡

為了選擇離軌制動(dòng)點(diǎn)火時(shí)機(jī)，首先要對(duì)原始軌道星下點(diǎn)軌跡進(jìn)行預(yù)報(bào)，如圖5所示，根據(jù)任務(wù)所給軌道參數(shù)，用12階地球引力場(chǎng)模型對(duì)飛行器初始軌道進(jìn)行了24h預(yù)報(bào)，并計(jì)算其相應(yīng)的星下點(diǎn)軌跡。以1號(hào)計(jì)算目標(biāo)為例，實(shí)心圓點(diǎn)代表飛行器初始位置，箭頭指示飛行方向，空心方塊代表任務(wù)指定的再入點(diǎn)星下點(diǎn)位置，虛線代表5°緯度線。再入點(diǎn)位置恰好處于再入飛行器原軌道星下點(diǎn)軌跡上，而且是星下點(diǎn)軌跡西南-東北向與緯度線相交的位置。再入點(diǎn)位于飛行器初始?xì)v元之后1周期左右的星下點(diǎn)軌道上，因此可以將方形代表位置的半周期之前的軌道位置作為離軌點(diǎn)規(guī)劃的初始選擇范圍。

仿真中使用了SNOPT非線性規(guī)劃方法，對(duì)于任意選定的離軌點(diǎn)位置，都能計(jì)算出最優(yōu)燃耗且滿足彈道傾角的推力方向和持續(xù)時(shí)間，這樣計(jì)算得到的再入點(diǎn)只符合高度約束，不滿足經(jīng)緯度約束。通過(guò)迭代調(diào)整離軌點(diǎn)，將再入點(diǎn)適配到目標(biāo)位置上。實(shí)際結(jié)果如圖6，虛線表示原軌道第2圈的星下點(diǎn)軌跡，實(shí)線表示離軌段和過(guò)渡段軌道的星下點(diǎn)軌跡；實(shí)心圓點(diǎn)代表計(jì)算得到的離軌點(diǎn)星下點(diǎn)位置(11.3896°，-32.5323°)，星形表示離軌制動(dòng)推力結(jié)束，自由下降段開(kāi)始的位置，空心方形為任務(wù)要求的再入點(diǎn)位置，箭頭表示星下點(diǎn)軌跡方向。由圖可見(jiàn)，通過(guò)仿真得到的再入點(diǎn)位置符合任務(wù)要求(經(jīng)緯度誤差在0.01°量級(jí))。在普通計(jì)算機(jī)上以Matlab平臺(tái)進(jìn)行仿真，耗時(shí)10s左右，程序優(yōu)化后應(yīng)能作為線上計(jì)算工具。類(lèi)似得到其他2組仿真，由于離軌任務(wù)相似，制動(dòng)過(guò)程參數(shù)相差不大，主要差別為離軌時(shí)刻，具體的離軌點(diǎn)參數(shù)如表4。

表4 離軌制動(dòng)參數(shù)規(guī)劃結(jié)果

圖6 離軌過(guò)程的星下點(diǎn)軌跡

通過(guò)仿真得知，當(dāng)飛行器軌跡過(guò)再入點(diǎn)星下點(diǎn)時(shí)，可以通過(guò)有限推力的優(yōu)化計(jì)算得到關(guān)于離軌點(diǎn)的一系列參數(shù)。而當(dāng)飛行器星下點(diǎn)軌跡遠(yuǎn)離再入點(diǎn)時(shí)，需要預(yù)先通過(guò)軌道機(jī)動(dòng)調(diào)整軌道，將軌道星下點(diǎn)調(diào)整到過(guò)再入點(diǎn)的狀態(tài)，再利用本文的方法進(jìn)行規(guī)劃計(jì)算。

5 結(jié)論

研究分析了指定再入點(diǎn)飛行任務(wù)中，再入飛行器在線規(guī)劃離軌制動(dòng)參數(shù)的方法。

首先根據(jù)飛行器當(dāng)前軌道參數(shù)和目標(biāo)再入點(diǎn)參數(shù)，利用沖量模型計(jì)算離軌參數(shù)初值；進(jìn)而使用有限推力假設(shè)計(jì)算燃料最優(yōu)的實(shí)際推力方向和推力時(shí)間，并利用非線性規(guī)劃方法確定離軌制動(dòng)的點(diǎn)火時(shí)機(jī)。本文方法對(duì)于約束飛行器再入點(diǎn)經(jīng)緯度的一類(lèi)問(wèn)題有良好的規(guī)劃結(jié)果，對(duì)其他關(guān)于再入飛行器離軌制動(dòng)段的研究具有參考價(jià)值。

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TheOn-LinePlanningMethodforDeorbitProblemofReentryVehicles

Shi Shufeng ， Shi Peng， Zhao Yushan

Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing 100191, China

Thetrajectoryon-lineplanningofreentryvehiclesisconstrainedbytheparametersofthereal-timeorbitandtheaimingreentrypoint.Thedeorbitcontrolparametersdeterminethetransitionorbitandinturndominatetheconditionandprecisionofthereentrypoint.Basedontheprinciplesoforbitalflight,therelationshipbetweendeorbitparametersandreentrypointparametersisestablishedwiththeimpulsethrustmodel.Thenthemethodoftheoptimalthrustdirectiondeterminationisdeveloped.Byconsideringtheinfluenceofearthrotationandfinitethrust,thestrategyofsearchingtheoptimaldeorbitfireoccasionisresearchedwiththenonlinearprogrammingmethod.Andthedeorbitcontrolparametersaredeterminedasaresultofthisapproach.

Reentryvehicle;Optimaldeorbit;Finitethrust;Nonlinearprogramming

V412.4

A

1006-3242(2017)05-0025-05

2017-01-23

史樹(shù)峰(1987-)，男，煙臺(tái)人，博士研究生，主要研究方向航天動(dòng)力學(xué)與控制；師鵬(1981-)，男，西安人，博士，講師，主要研究方向航天動(dòng)力學(xué)與控制；趙育善(1957-)，男，西安人，博士，教授，主要研究方向航天動(dòng)力學(xué)與控制。