周紅峰，張友益

(中國船舶重工集團公司第七二三研究所，江蘇 揚州 225001)

雷達運動目標(biāo)模擬平臺解算方法

周紅峰，張友益

(中國船舶重工集團公司第七二三研究所，江蘇 揚州 225001)

介紹了一種雷達運動目標(biāo)模擬平臺，基于D-H方法建立了這種平臺的運動模型，用不同方法對平臺進行了正運動學(xué)及逆運動學(xué)分析，采用對比法對分析結(jié)果進行驗證，通過仿真驗證了建立的運動學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

搖臂；雷達模擬；運動目標(biāo);解算方法

0 引 言

隨著雷達技術(shù)的發(fā)展和雷達仿真試驗要求的不斷提高，需要在暗室內(nèi)場條件下或者外場條件下實現(xiàn)雷達運動目標(biāo)的模擬。根據(jù)這樣的需求，為了實現(xiàn)從雷達角度看到俯仰及方位的運動目標(biāo)，通常采用移動的信號源方法。按照這樣的模擬原理，可采用喇叭陣列、矩形掃描架、搖臂平臺等幾種實現(xiàn)方案來實現(xiàn)信號源運動。

喇叭陣列方案采用二維平面空間排布的喇叭陣列，通過不同喇叭之間的切換模擬目標(biāo)的運動。由于喇叭與喇叭之間是離散排布，目標(biāo)空間覆蓋是離散的，導(dǎo)致模擬出來的目標(biāo)軌跡也是離散的，存在較大的離散誤差。

采用掃描框架方案，需要比較大的框架以及橫豎移動機構(gòu)。內(nèi)場應(yīng)用時，由于較小場景相對容易實現(xiàn)，外場應(yīng)用時需要大跨度支撐框架以及橫豎移動機構(gòu)，實現(xiàn)復(fù)雜，靈活性差。

搖臂式目標(biāo)運動模擬方案相對前2個方案能夠?qū)崿F(xiàn)連續(xù)的目標(biāo)軌跡，布置靈活，安裝相對簡單，但控制相對復(fù)雜。

本文對搖臂式目標(biāo)模擬方案原理及解算數(shù)學(xué)模型進行了理論分析和推導(dǎo)。具體的搖臂運動平臺可以依據(jù)解算模型設(shè)計伺服控制系統(tǒng)軟件，結(jié)合具體的平臺參數(shù)實現(xiàn)目標(biāo)的模擬。

1 搖臂平臺目標(biāo)模擬原理

圖1 目標(biāo)模擬原理圖

搖臂模擬平臺布置在雷達與將要模擬的目標(biāo)之間。搖臂平臺控制信號源三維運動，使信號源始終位于雷達與要模擬目標(biāo)之間的連線上。模擬器的方位俯仰運動，通過圖1的關(guān)系可以轉(zhuǎn)換成模擬目標(biāo)的方位俯仰運動。數(shù)學(xué)上，搖臂的運動軌跡為目標(biāo)運動軌跡在搖臂運動曲面上的投影。具體投影方法為：雷達目標(biāo)和雷達的連線與搖臂運動曲面相交，交點為投影點。

2 搖臂平臺運動鏈與正運動學(xué)分析

要研究搖臂系統(tǒng)，首先要進行搖臂運動平臺運動鏈及運動學(xué)分析研究。對搖臂平臺運動學(xué)分析是對搖臂平臺運動控制的基礎(chǔ)。搖臂運動平臺運動學(xué)問題包含正向解和逆向解問題。正向解問題是搖臂根據(jù)每個運動副設(shè)定關(guān)節(jié)變量值，得到信號源的空間位置和方向的解算過程。逆向解問題是根據(jù)信號源運動軌跡和方向的要求，解出各個運動副關(guān)節(jié)的變量(未知的關(guān)節(jié)參數(shù))。本節(jié)先研究搖臂運動鏈及正向解問題，下節(jié)研究逆向解問題。

搖臂運動平臺是典型的串聯(lián)機械手結(jié)構(gòu)，由簡單的運動鏈所組成。如圖2所示的搖臂運動平臺由0到5號6個桿件組成。其組成的每個桿件最多只和2個其他桿件相連。端部的2只桿件只和1個桿件相連，第0號桿件為基座，第5號桿件是末端執(zhí)行器(即信號源)。除了端部的桿件，其它的桿件都包含2個運動副，而且都是轉(zhuǎn)動副(rotating pair)。1號到4號桿件為中間桿件，它們都為雙運動副桿件，其兩端轉(zhuǎn)動副分別為R1～R5。

圖2 搖臂運動模擬平臺運動鏈桿件圖

為了唯一描述運動鏈的結(jié)構(gòu)，即確定相鄰2個運動副之間的相對位置與方向，這里采用Denavit-Hartenberg提出的D-H方法[1]。

圖2所示的搖臂平臺結(jié)構(gòu)由5個轉(zhuǎn)動副構(gòu)成。描述搖臂平臺的狀態(tài)，可以用這5個轉(zhuǎn)動副的關(guān)節(jié)變量以及表征運動副之間位置關(guān)系的關(guān)節(jié)參數(shù)表示。

根據(jù)D-H方法，在圖2中已經(jīng)定義i=0,…,5號桿件，0號為基座，5號為執(zhí)行器。以下為了敘述方便采用i=0,…,5計數(shù)多個連續(xù)的運動副、桿件、坐標(biāo)系等。

定義0,…,5號運動副的軸Zi(i=0,…,5)。Xi同時與Zi-1和Zi垂直，方向為Zi-1到Zi，符合右手定則。Zi-1與Zi之間距離定義為ai，Xi+1與Zi的交點在Zi上的坐標(biāo)為bi。Zi-1與Zi之間夾角定義為αi，Xi與Xi-1之間夾角定義為θi。對于搖臂運動鏈結(jié)構(gòu)(搖臂結(jié)構(gòu)的形位和姿態(tài))，可以用每個運動副Ri的參數(shù)ai，bi，αi，θi等描述，表示為Ri(ai，bi，αi，θi)。根據(jù)上述定義，對于本文的搖臂平臺，θi是未知量，是關(guān)節(jié)變量，而其他參數(shù)在設(shè)計具體搖臂時都已確定。

D-H方法可以描述搖臂平臺，用以確定信號源在桿件坐標(biāo)系的結(jié)構(gòu)、形位或姿態(tài)。為了進一步對搖臂平臺進行運動分析，需要定義相關(guān)信號源的笛卡爾坐標(biāo)系關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，如圖3所示。

圖3 搖臂運動平臺D-H法分析

具體過程如下：定義Fi為以O(shè)i為原點，(Xi，Yi，Zi)為軸的坐標(biāo)系，F(xiàn)i固定在i-1號桿件上。正向求解可以通過相關(guān)的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)、移動等實現(xiàn)。設(shè)Qi為坐標(biāo)系Fi(Xi，Yi，Zi)旋轉(zhuǎn)到坐標(biāo)系Fi+1(Xi+1，Yi+1，Zi+1)的旋轉(zhuǎn)矩陣。設(shè)Ai為Oi到Oi+1的矢量。矩陣Qi可以按照幾何學(xué)定義，用ai，bi，αi，θi參數(shù)實現(xiàn)：

(1)

設(shè)Q為末端信號源的方向，A為末端執(zhí)行器工作點的位置，則：

Q=Q1Q2Q3Q4Q5

(2)

A=A1+Q1A2+Q1Q2A3+Q1Q2Q3A4+

Q1Q2Q3Q4Q5A5

(3)

對于具體的搖臂平臺，在設(shè)計時相鄰軸間多采用垂直或平行關(guān)系，如Z2⊥Z1，Z3∥Z2，Z4⊥Z3，Z5⊥Z4，解耦相關(guān)運動關(guān)系，簡化旋轉(zhuǎn)矩陣復(fù)雜度，也方便最終的搖臂控制。

3 搖臂平臺逆運動學(xué)分析

對于本文中逆向解問題是按照設(shè)定好的目標(biāo)軌跡要求，通過逆運動解算，獲得控制信號源的空間位置的每個運動副未知變量數(shù)值。在模擬過程中正向用這些數(shù)值控制運動副關(guān)節(jié)運動，復(fù)原出信號源空間位置，使信號源按要求正好位于雷達與模擬目標(biāo)的連線上。

經(jīng)前節(jié)分析每個關(guān)節(jié)運動副的參數(shù)除θi未知，其余都是已知量，所以搖臂運動平臺逆向問題就是求解未知的變量θi。具體可以采用上節(jié)D-H法得出的公式和具體的約束條件列寫相關(guān)方程進行求解。但這個逆解算過程需要通過消元后解非線性方程組得到解答，過程比較復(fù)雜，還會出現(xiàn)多重根的情況。

根據(jù)搖臂模擬平臺的目標(biāo)模擬原理，具體的約束條件是，平臺輸入是目標(biāo)的空間坐標(biāo)位置，只能夠確定目標(biāo)與雷達之間的連線，要求搖臂平臺控制的信號源在這條連線上，并且輻射源要方向要對準(zhǔn)雷達。

由上分析可知，搖臂承載負(fù)載信號源的位置沒有直接給出，需根據(jù)約束要進行求解。根據(jù)搖臂平臺的具體要求得到:

(4)

式中：T為目標(biāo)的位置坐標(biāo)；Tr為雷達的位置坐標(biāo)；第1個方程表示信號源的指向于目標(biāo)與雷達的連線平行；第2個方程表示A位于雷達與目標(biāo)的連線上；第3個方程表示桿3與桿1平行，都垂直于基座，這是搖臂運動的附加約束條件。

將式(1)、(2)和(3)的關(guān)系帶入式(4)，可以得到5元的非線性方程組，解這個方程組，能夠得到搖臂每個關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角角度θi的值。

上述方法求解比較復(fù)雜，對于簡單的結(jié)構(gòu)能夠獲得閉式的解，復(fù)雜的結(jié)構(gòu)有可能需要通過數(shù)值方法給出解。針對文中的搖臂平臺，本文給出了一種相對簡單的幾何解析法來求解搖臂平臺逆運動問題。該方法充分利用搖臂平臺設(shè)計特殊的空間結(jié)構(gòu)，盡量多地進行運動解耦，簡化搖臂平臺的解算過程。

首先分析由這5個轉(zhuǎn)動副構(gòu)成的運動學(xué)鏈。搖臂平臺模型如圖4所示。

圖4 搖臂運動平臺結(jié)構(gòu)及運動副轉(zhuǎn)角定義

平臺為5軸系統(tǒng)，通過運動副的特殊位置設(shè)置，滿足搖臂平臺運動模擬要求，同時對5軸系統(tǒng)運動關(guān)系進行簡化。ψ1、β1構(gòu)成一級向上叉架結(jié)構(gòu)，垂直相交；ψ2、ψ3構(gòu)成向下的叉架結(jié)構(gòu)，垂直相交；β1、β2軸向平行，可認(rèn)為是一個平面機構(gòu)；β1、β2互補，保證ψ1、ψ2軸平行且與大地垂直。

對運動目標(biāo)模擬的方法為控制ψ1、β1、β2、ψ2、ψ3，使信號源始終處于雷達天線與目標(biāo)連線上，使信號源始終對準(zhǔn)雷達。根據(jù)上述定義，建立相關(guān)坐標(biāo)系如圖5所示。

雷達位于坐標(biāo)原點，雷達與搖臂基座連線為X軸方向，Z方向垂直向上，Y方向符合右手定則。

圖5 搖臂運動平臺幾何解析法分析模型

設(shè)虛擬的圓心在O(a,b,c)，搖臂臂長R，搖臂垂直于XY平面，且垂點位于X上(為了簡化)。S(x,y,z)為信號源位置,S′是S在XY平面的投影點。T(xt,yt,zt)為模擬的目標(biāo)位置。

計算S(x,y,z)點：

(5)

a2+b2+c2-R2=0

(6)

(7)

這里取較小的根，即：

(8)

根據(jù)圖5 模型可解出ψ1、ψ2、ψ3、β1、β2等角度。

4 模型驗證

為了驗證前述不同模型的正確性，采用2種模型相互驗證的方法來實現(xiàn)。具體思路為：設(shè)置搖臂平臺的基本參數(shù)、目標(biāo)位置、雷達位置，根據(jù)這些輸入?yún)?shù)代入逆運動幾何解析法模型，得到搖臂平臺的控制參數(shù)及信號源位置坐標(biāo)。將搖臂的控制參數(shù)代入，用D-H法得出正向解算模型，得到信號源位置坐標(biāo)，驗證兩模型信號源位置坐標(biāo)是否相同，由此來驗證2個模型的一致性。

設(shè)置搖臂參數(shù)，如圖2中桿1長2 m，桿2長2 m，桿3長5 m；圖3中Z3到Z5距離2 m，X1到X2距離2 m，Z2到Z3距離5 m，X4到X5距離2 m。

目標(biāo)在以雷達為原點的坐標(biāo)系中的位置為(20 000,500,2 000)，單位m。雷達到搖臂平臺距離100 m。

逆運動幾何解析法模型計算如下：

根據(jù)第3節(jié)中描述的模型以及搖臂輸入?yún)?shù)，得出模型的輸入?yún)?shù)：a=100 m,b=0 m,c=2 m,R=5 m,xt=20 000 m,yt=500 m,zt=2 000 m。計算得到：信號源位置為S(95.715 4，0.957 2，2.392 9)，ψ1=12.592 7°，ψ2=13.165 7°，ψ3=1.432 2°，β1=118.592 5°，β2=61.407 5°。

D-H法正運動模型計算：根據(jù)搖臂輸入?yún)?shù)、第2節(jié)中相關(guān)定義和圖3得到模型的輸入?yún)?shù)α1=0°，α2=90°，α3=0°，α4=90°，α5=90°；A1到A5矢量為A1=(0,0,2)′，A2=(-5cosθ2, -5sinθ2,0)′，A3=(0, 0,0)′，A4=(0, 0,-2)′，A5=(0, 0,0)′。

根據(jù)圖3和圖5的模型，以及第1節(jié)描述的方法，依據(jù)逆運動模型計算結(jié)果，可得到：θ1=-12.592 7°,θ2=-28.592 5°,θ3=151.407 5°,θ4=13.165 7°,θ5=1.432 2°。各旋轉(zhuǎn)副的關(guān)節(jié)參數(shù)為：

R1(a1=0 m,b1=2 m,α1=0°,θ1=-12.592 7°)；

R2(a2=0 m,b2=0 m,α2=90°,θ2=-28.592 5°)；

R3(a3=5 m,b3=0 m,α3=0°,θ3=151.407 5°)；

R4(a4=0 m,b4=-2 m,α4=90°,θ4=13.165 7°)；

R5(a5=0 m,b5=0 m,α5=90°,θ5=1.432 2°)。

根據(jù)公式(2)、(3) 得到：

A=(-4.284 6,0.957 2,2.392 9)′

A為信號源位置矢量，由于圖3和圖5之間坐標(biāo)系原點X方向差100 m，換算到圖5坐標(biāo)系中：

(-4.284 6+100,0.957 2,2.392 9)=(95.715 4，0.957 2，2.392 9)

結(jié)果與S相等，驗證了這2種模型的正確性。

5 結(jié)束語

搖臂式運動平臺的運動學(xué)分析是搖臂平臺設(shè)計的基礎(chǔ)，也是目標(biāo)模擬的基本模型。本文給了搖臂式雷達目標(biāo)模擬平臺的模擬原理，分析了搖臂式運動平臺的運動鏈并進行了運動學(xué)分析，給出了相關(guān)仿真驗證。在搖臂平臺具體技術(shù)設(shè)計過程中必須進行動力學(xué)分析，即研究搖臂平臺在運動過程中速度、加速度等問題。動力學(xué)問題可以以運動學(xué)研究為基礎(chǔ)，利用運動學(xué)研究的結(jié)果和相關(guān)公式。另外搖臂平臺的伺服控制也是建立在搖臂運動學(xué)和動力學(xué)分析的基礎(chǔ)上。本文的研究為搖臂雷達目標(biāo)模擬器的控制研究提供了基礎(chǔ)的運動學(xué)解算模型和方法，更深入的研究還需要進一步開展。

[1] 宋偉剛.機器人學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2007.

[2] 數(shù)學(xué)手冊編寫組.數(shù)學(xué)手冊[M].北京：人民教育出版社，1979.

SolvingMethodofSimulationPlatformofRadarMovingTarget

ZHOU Hong-feng,ZHANG You-yi

(The 723 Institute of CSIC,Yangzhou 225001,China)

This paper introduces a simulation platform of radar moving target,builds the moving model of the platform based on D-H method,performs the analysis of forward kinematics and inverse kinematics to the platform through different methods,adopts comparison method to validate the analyzing result,validates the veracity to build moving dynamatic model through simulation.

rocker arm;radar simulation;moving target;solving method

TN955.2

A

CN32-1413(2017)05-0040-04

10.16426/j.cnki.jcdzdk.2017.05.008

2017-09-10