江蘇省蘇州市吳中區(qū)甪直高級(jí)中學(xué) 陳生虎 馮中芹

從一道題看高中生解析幾何運(yùn)算的常見(jiàn)錯(cuò)誤

江蘇省蘇州市吳中區(qū)甪直高級(jí)中學(xué) 陳生虎 馮中芹

心理學(xué)家蓋耶認(rèn)為：“誰(shuí)不考慮嘗試錯(cuò)誤，不允許學(xué)生犯錯(cuò)誤，就將錯(cuò)過(guò)最富成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師抓住學(xué)生的錯(cuò)誤根源，利用好錯(cuò)誤的根源，必然會(huì)提高教師的日常教學(xué)效率，使得學(xué)生的成績(jī)得到真正的提高。

在很多數(shù)學(xué)考試中我們發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生雖然寫(xiě)得滿滿的，但是分?jǐn)?shù)很低。一般情況下，學(xué)生能將卷子寫(xiě)得滿滿的，說(shuō)明他們對(duì)于知識(shí)的掌握程度還是可以的，那問(wèn)題出在哪里呢？教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生往往是在計(jì)算上出了問(wèn)題。

解析幾何一直是高考解答題必考題，在江蘇高考試卷中位于18或19題的位置，滿分分值為16分，一般都有2～3小問(wèn)。第一問(wèn)一般比較簡(jiǎn)單，最后一問(wèn)都較難，屬于難題。學(xué)生怕做解析幾何題，主要原因是解析幾何是用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題，而用代數(shù)方法就意味著要計(jì)算，從最近幾年流行的直線與橢圓問(wèn)題來(lái)看，計(jì)算量在逐年提高，需要學(xué)生有很強(qiáng)的計(jì)算能力，使得學(xué)生對(duì)解析幾何的解答題產(chǎn)生了畏懼心理，怕算，很難得到滿分。那么為什么學(xué)生計(jì)算能力差呢？

最近，筆者所任教的學(xué)校組織了高二年級(jí)12月份摸底考試，數(shù)學(xué)試卷的19題為：

已知橢圓C：

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m。證明2m-k為定值。

考試結(jié)束后，筆者發(fā)現(xiàn)這道題并不是很難，但是學(xué)生的得分率很低。這道題共16分，絕大部分學(xué)生得到了第（1）小問(wèn)的4分，第二小問(wèn)答對(duì)的非常少，筆者詢問(wèn)了本班的學(xué)生，大部分說(shuō)“第（2）小問(wèn)我會(huì)做，但是時(shí)間不夠，來(lái)不及運(yùn)算，計(jì)算量太大、太復(fù)雜”，真的是“太復(fù)雜”嗎？為此，筆者進(jìn)行了調(diào)查研究。

一、研究方法

1.問(wèn)卷編制：?jiǎn)柧矸炙牟糠郑菏欠裢耆愠鼋Y(jié)果、做題時(shí)間、計(jì)算的步數(shù)、寫(xiě)出計(jì)算出錯(cuò)的步驟，最終形成調(diào)查問(wèn)卷。

2.調(diào)查方法：觀察法、文獻(xiàn)分析、調(diào)查問(wèn)卷與個(gè)別訪談相結(jié)合。

3.數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：調(diào)查共發(fā)放問(wèn)卷300份，收回275份，有效問(wèn)卷250份。

二、調(diào)查過(guò)程

1.制定周密、合理的調(diào)查問(wèn)卷。

2.發(fā)放調(diào)查問(wèn)卷，在甪直高級(jí)中學(xué)各班級(jí)發(fā)放調(diào)查問(wèn)卷，以達(dá)到調(diào)查的普遍性。

3.回收調(diào)查問(wèn)卷。

4.收集數(shù)據(jù)并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。

三、學(xué)生常見(jiàn)計(jì)算錯(cuò)誤分析

解答本題的常規(guī)思路是，由給出BP的斜率為k和點(diǎn)B(2，0)寫(xiě)出直線BP的方程；再聯(lián)立直線BP與橢圓方程，化簡(jiǎn)得到點(diǎn)P坐標(biāo)，從而求出直線DP的方程；緊接著根據(jù)直線DP的方程求出點(diǎn)N坐標(biāo)；聯(lián)立直線BP與直線AD的方程得到點(diǎn)M坐標(biāo)；最終由M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)得出結(jié)論。

（2）因?yàn)锽（2,0），P不為橢圓的頂點(diǎn)，則直線BP的方程為

則2m-k=為定值。

1.過(guò)分追求計(jì)算速度，“跳步”現(xiàn)象嚴(yán)重

2.懼怕帶字母的運(yùn)算，信心不足

學(xué)生2 算出P點(diǎn)坐標(biāo)為出現(xiàn)了k3，他們認(rèn)為接下來(lái)的運(yùn)算肯定進(jìn)行不了，其實(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為沒(méi)有出現(xiàn)k3，是他沒(méi)有通分化簡(jiǎn)。這種現(xiàn)象在學(xué)生中很普遍，很多學(xué)生對(duì)帶字母的代數(shù)式運(yùn)算能力差，遇到三次或者三次以上的代數(shù)式無(wú)法正確運(yùn)算。另外，因?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)計(jì)算量比初中大，對(duì)高二解析幾何學(xué)習(xí)缺乏自信心，遇到解析幾何解答題就沒(méi)有信心算下去。

3.對(duì)代數(shù)式子結(jié)構(gòu)分析能力差

四、對(duì)解析幾何有關(guān)運(yùn)算教學(xué)的幾點(diǎn)看法

解析幾何一直是高考的重點(diǎn)，師生都非常重視，但是學(xué)生常常感覺(jué)似懂非懂，解題出錯(cuò)率高。結(jié)合以上的分析，筆者對(duì)解析幾何的運(yùn)算教學(xué)提出幾點(diǎn)看法：

1.注重基礎(chǔ)運(yùn)算教學(xué)

本文中試題的參考答案是基本方法，學(xué)生容易理解，但是運(yùn)算量偏大，很多學(xué)生不敢下筆，從這一方面說(shuō)明我們教學(xué)中應(yīng)該重視基礎(chǔ)運(yùn)算，特別是帶字母的代數(shù)式計(jì)算。其中主要包括點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與直線的距離，直線中交點(diǎn)、斜率的計(jì)算，解方程組等等。筆者認(rèn)為，教師在平時(shí)教學(xué)時(shí)，一定不能過(guò)分強(qiáng)調(diào)特殊技巧的運(yùn)算，要注重基礎(chǔ)運(yùn)算。

2.注重計(jì)算過(guò)程，加強(qiáng)訓(xùn)練

對(duì)于很多學(xué)生來(lái)說(shuō)，一講就會(huì)，一做就錯(cuò)。很多教師都有這樣的經(jīng)歷：將學(xué)生聽(tīng)懂、訂正過(guò)的一道解析幾何題目再讓學(xué)生做一遍，結(jié)果只有一部分同學(xué)能完成，很大一部分原因在計(jì)算上。在平時(shí)練習(xí)中，要有針對(duì)性地進(jìn)行計(jì)算訓(xùn)練。在平時(shí)上課時(shí)，運(yùn)算過(guò)程要由學(xué)生自己完成，而不是老師板書(shū)。有句話說(shuō)得好：“看老師講10道題也不及自己親手做一道題?！庇龅阶詈笠粏?wèn)時(shí)，不能讓學(xué)生等著老師運(yùn)算，只有不斷地訓(xùn)練，才能提高運(yùn)算能力。

3.培養(yǎng)學(xué)生分析代數(shù)式子結(jié)構(gòu)的能力

在日常教學(xué)中，不能盲目地讓學(xué)生算，要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)代數(shù)式子的觀察能力，特別是在含字母的代數(shù)式計(jì)算過(guò)程中，要邊計(jì)算邊觀察能否進(jìn)行因式分解、約分。教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生合理地運(yùn)算。在教學(xué)過(guò)程中要以幾何方法為輔助，比如圓的性質(zhì)等重要的幾何性質(zhì)，能給計(jì)算帶來(lái)很大的簡(jiǎn)便。

4.在教學(xué)過(guò)程中要體現(xiàn)“教”學(xué)生運(yùn)算

有專家指出，學(xué)生計(jì)算上的錯(cuò)誤是教師在教學(xué)中的財(cái)富。教師不能漠視學(xué)生在解析幾何計(jì)算中錯(cuò)誤的出現(xiàn)，珍視學(xué)生的計(jì)算錯(cuò)誤，正確善待這些錯(cuò)誤，會(huì)讓每一位教師的教學(xué)開(kāi)拓出一片新的天地。