江蘇省如東縣岔河中學(xué) 吳 建

解析構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的使用研究

江蘇省如東縣岔河中學(xué) 吳 建

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟx取顯得極為重要。教師在教學(xué)時(shí)使用不同的解題方法，以幫助學(xué)生理清解題思路，尋求更多、更好的切入點(diǎn)。其中，構(gòu)造法應(yīng)用較為廣泛，其主要通過(guò)題目所給條件或已有結(jié)論，通過(guò)將“未知量”有效轉(zhuǎn)化成為“已知量”，促使學(xué)生形成精準(zhǔn)的解題思想，真正加快解題速度。

一、構(gòu)造方程

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，方程是最為常見(jiàn)的內(nèi)容，在利用構(gòu)造法進(jìn)行解題的過(guò)程里，方程構(gòu)造法的出現(xiàn)也是十分頻繁，相信學(xué)生對(duì)于這一塊的內(nèi)容都不會(huì)感到陌生。教師可建議學(xué)生基于題型內(nèi)若干數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)特質(zhì)，通過(guò)假設(shè)確立一種等量性公式，利用恒等式的靈活變形，對(duì)那些未知量之間所蘊(yùn)含的聯(lián)系進(jìn)行詳細(xì)的分析，然后根據(jù)方程的相關(guān)理論，可以使問(wèn)題在新的關(guān)系下得以轉(zhuǎn)換、獲解，有效提高學(xué)生的解題效率。

例1 已知存在x、y、z三個(gè)實(shí)數(shù)，它們之間的關(guān)系表示為x+y+z=5，xy+yz+zx=3，據(jù)此求出z的最大值是多少。

分析：在解決這類(lèi)問(wèn)題的時(shí)候，老師首先要引導(dǎo)學(xué)生注意題目中出現(xiàn)的兩數(shù)和與兩數(shù)積的內(nèi)容，通過(guò)這兩個(gè)突破點(diǎn)，學(xué)生可以利用構(gòu)造法來(lái)進(jìn)行一元二次方程的構(gòu)造，并且借助Δ≥0的數(shù)學(xué)性質(zhì)來(lái)對(duì)求值和求最值的問(wèn)題進(jìn)行解決。

解：由題中的條件可推知，5-z=x+y，并且xy=3-z（x+y）=3-z·（5-z）=z2-5z+3，

所以，可以確定x、y是關(guān)于t的一元二次方程的兩個(gè)根：

t2-（5-z）t+z2-5z+3=0存在兩個(gè)實(shí)根，

可以推出Δ=（5-z）2-4（z2-5z+3）≥0，

經(jīng)過(guò)方程求解，可以推出（3z-13）（z+1）≤0；

利用方程解析，可以解得：-1≤z≤

并且當(dāng)x=y=正好滿足題中的關(guān)系式，

所以，z的最大值為

解后反思：針對(duì)構(gòu)造方程的內(nèi)容，這里需要強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)是，在解題的過(guò)程中一定不能盲目地構(gòu)造。方程的適用性盡管廣泛，對(duì)于求值和求最值都有著十分重要的突破，但在構(gòu)造前，需盡快進(jìn)入主題，以使復(fù)雜的問(wèn)題變簡(jiǎn)單，學(xué)生在對(duì)此類(lèi)題目進(jìn)行解答的過(guò)程中，觀察、思維能力會(huì)有所提高。

二、構(gòu)造函數(shù)

函數(shù)是當(dāng)前高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要知識(shí)組成，因其重點(diǎn)和難點(diǎn)的地位，實(shí)現(xiàn)這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)的突破能夠確保學(xué)生學(xué)業(yè)成績(jī)處于較好的水平。函數(shù)構(gòu)造法可在引導(dǎo)學(xué)生具備正確解題思想、提高解題能力方面發(fā)揮更大的效應(yīng)。

例2 已知α、β、λ均為正實(shí)數(shù)，并且α＜β，請(qǐng)證明

分析：在解決這類(lèi)問(wèn)題的時(shí)候，很多學(xué)生看到那些復(fù)雜的未知項(xiàng)就會(huì)感到負(fù)面情緒，老師要鼓勵(lì)學(xué)生采用構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，通過(guò)未知項(xiàng)之間的關(guān)系對(duì)比來(lái)進(jìn)行解決。由于這個(gè)關(guān)系式中，左邊比右邊多了個(gè)未知項(xiàng)λ，所以不妨構(gòu)造出函數(shù)f（x）=（x≥0），則可知道f（x）=1-并且函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，即當(dāng)λ＞0的時(shí)候，f（x）＞f（0），已知λ為正實(shí)數(shù)，所以可以證明的關(guān)系式成立。

解后反思：不等式的證明被合理轉(zhuǎn)化成使用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)單調(diào)性或者求出最值的問(wèn)題，其實(shí)就是借助構(gòu)造函數(shù)中的構(gòu)造輔助函數(shù)來(lái)完成的，據(jù)此驗(yàn)證各種關(guān)系式。構(gòu)造這一可導(dǎo)函數(shù)為使用導(dǎo)數(shù)來(lái)對(duì)不等式加以證明的關(guān)鍵所在。解題過(guò)程中可緊扣不等式的結(jié)構(gòu)特征變通構(gòu)造法，以滿足不同類(lèi)型的解題需求。

三、構(gòu)造復(fù)數(shù)

與實(shí)數(shù)對(duì)比，復(fù)數(shù)可以理解為新的拓展與延伸。學(xué)生在解題目時(shí)倘若遇到極為棘手的實(shí)數(shù)問(wèn)題，可以換個(gè)思路，將其轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)方面的問(wèn)題，看似數(shù)的結(jié)構(gòu)被復(fù)雜化，但是這樣也可以使原本麻煩的問(wèn)題簡(jiǎn)明化，利用構(gòu)造復(fù)數(shù)的方法，可以開(kāi)拓學(xué)生的解題思路，幫助他們更加全面地認(rèn)識(shí)數(shù)的相關(guān)概念。

例3 求函數(shù)y=

分析：這種問(wèn)題的求解若一味堅(jiān)守實(shí)數(shù)思路，則解題會(huì)非常艱辛，所以，我們不妨先將作（-x+1）+3i的模，完成這一設(shè)定之后，可根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)在較短的時(shí)間內(nèi)求出解。

解：設(shè)Z1=x+2i，Z2=（-x+1）+3i，Z1+Z2=1+5i，

解后反思：關(guān)于復(fù)數(shù)的性質(zhì)方面有代數(shù)、三角形、幾何等若干種表達(dá)方法，可以在解題時(shí)利用好這些內(nèi)容，從新視角出發(fā)，將原本復(fù)雜的解題過(guò)程變得簡(jiǎn)單化，可以巧妙地對(duì)代數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容進(jìn)行聯(lián)系，拓寬學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生的解題效率。當(dāng)然，在應(yīng)用中，學(xué)生也要大膽地進(jìn)行創(chuàng)新，不要被傳統(tǒng)的思維模式所限定，利用復(fù)數(shù)本身的特點(diǎn)，展開(kāi)全面的多樣的解題手段。

四、構(gòu)造向量

向量?jī)?nèi)容在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用較為廣泛，巧妙使用構(gòu)造向量可有效提高解題的效率，尤其是針對(duì)不等式的結(jié)構(gòu)內(nèi)容，譬如xx+y的形式，都可以采用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)方法來(lái)進(jìn)行表示，在適當(dāng)對(duì)原來(lái)的不等式適當(dāng)變形中，找到便于證明不等式的更好解題思路和方法。

例4 已知a,b均大于0，試證明

分析：在進(jìn)行解答之前，我們首先要對(duì)這道題的結(jié)構(gòu)內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)的分析。左邊的內(nèi)容是和的形式，右邊的內(nèi)容則是常數(shù)的形式，根據(jù)向量的定理可知，左邊的內(nèi)容稍加變形，就可以表示出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，緊接著，對(duì)兩個(gè)向量的模進(jìn)行計(jì)算，結(jié)合數(shù)量積和模之間的關(guān)系，就可以構(gòu)造出一個(gè)不等式，進(jìn)而來(lái)證明結(jié)論成立。

解后反思：在這道例題中，通過(guò)構(gòu)造二維向量，并且巧妙地利用向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)內(nèi)容來(lái)進(jìn)行最大值的求解，在很大程度上減輕了求最大值的難度。所以，在高中數(shù)學(xué)的解題中遇到求最值的問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)題干內(nèi)容合理構(gòu)造向量，體現(xiàn)其解決問(wèn)題的便捷性，鍛煉自身的數(shù)理思維。

在高中的學(xué)習(xí)階段，由于課程內(nèi)容繁多，并且學(xué)生也不得不面對(duì)升學(xué)的壓力。高中階段的數(shù)學(xué)內(nèi)容，更強(qiáng)調(diào)學(xué)生用成熟的解題思維來(lái)應(yīng)對(duì)，所以在實(shí)際的學(xué)習(xí)中，有些同學(xué)不免會(huì)出現(xiàn)消極的學(xué)習(xí)情況。針對(duì)這樣的問(wèn)題，老師不要過(guò)于指責(zé)學(xué)生本身的問(wèn)題，應(yīng)該結(jié)合實(shí)際的教學(xué)內(nèi)容，利用“構(gòu)造法”幫助學(xué)生深入了解相關(guān)的數(shù)理概念，尋覓到學(xué)習(xí)的訣竅，既能使得學(xué)生的解題速度和正確率得到優(yōu)化，更可讓學(xué)生具備數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的充足信心和動(dòng)力，為將來(lái)的發(fā)展打下良好的基礎(chǔ)。