江蘇省徐州市沛縣楊屯中學(xué) 蔡素麗

反比例函數(shù)中的面積計(jì)算題解析歸類

江蘇省徐州市沛縣楊屯中學(xué) 蔡素麗

反比例函數(shù)一直是困擾學(xué)生的一大難題，特別是和反比例函數(shù)相關(guān)的面積計(jì)算，更讓學(xué)生摸不著頭腦。新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)反比例函數(shù)這部分的學(xué)習(xí)目標(biāo)作了明確的要求：（1）結(jié)合具體情境體會(huì)反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)表達(dá)式。（2）能畫出反比例函數(shù)圖象，根據(jù)圖象和表達(dá)式探求k＞0和k＜0時(shí)圖象的變化情況。（3）能用反比例函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。其中的面積計(jì)算是應(yīng)用中的重中之重。歷數(shù)近幾年各地的中考試卷發(fā)現(xiàn)，與反比例函數(shù)有關(guān)的面積計(jì)算越來越受出題者的青睞，現(xiàn)結(jié)合自己的教學(xué)積累，把有關(guān)反比例函數(shù)面積計(jì)算的題目歸類整理如下：

一、數(shù)形結(jié)合——巧用比例系數(shù)k的幾何意義

反比例函數(shù)比例系數(shù)k與圖形面積之間的關(guān)系是現(xiàn)階段初中數(shù)學(xué)的常見考題類型。k的幾何意義充分體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)于反比例函數(shù)問題理解的深度以及本質(zhì)的把握度?？v觀近幾年考題，此類問題一般以選擇、填空題型出現(xiàn)。現(xiàn)舉例如下：

例1 如圖，點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別向x軸、y軸作垂線，若陰影部分面積為12，則這個(gè)反比例函數(shù)的關(guān)系式是__________。

【分析】反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸之間距離圍成的矩形的面積等于該點(diǎn)橫縱坐標(biāo)乘積的絕對(duì)值，即|xy|，由此可總結(jié)得出該矩形面積即為|k|。實(shí)際解題中，要結(jié)合圖象所在象限，注意k的取值。

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義的理解，即過函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)分別向x軸、y軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是一個(gè)定值|k|，理解這一點(diǎn),解決此類矩形面積問題時(shí)將會(huì)得心應(yīng)手。

對(duì)于此類k的幾何意義的應(yīng)用，變式題也是五花八門，變化多樣，但是掌握本質(zhì)是解題的關(guān)鍵，以不變應(yīng)萬變。

【變式1】如圖，點(diǎn)A在雙曲線y=上，點(diǎn)B在雙曲線y=上，且AB∥x軸，點(diǎn)C和點(diǎn)D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，則矩形ABCD的面積為_______ 。

【分析】初看本題，似乎與k的值無法建立聯(lián)系，但是注意觀察可發(fā)現(xiàn)，只需延長(zhǎng)BA與y軸交于點(diǎn)E，所得兩個(gè)矩形，即矩形ADOE、矩形BCOE，兩矩形面積利用對(duì)應(yīng)反比例函數(shù)的k的幾何意義即可解決。即S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形ODAE=3-1=2。

【變式2】如圖，反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象上，有點(diǎn)P1、P2、P3、P4，它們的橫坐標(biāo)依次為1、2、3、4。分別過這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為S1、S2、S3，則S1+S2+S3＝ _______。

【分析】由題意可知點(diǎn)P1、P2、P3、P4的坐標(biāo)分別為：（1，2），（2，1），由平移變換，可把S2、S3平移至左側(cè)S1下方，拼成一個(gè)矩形，用最左側(cè)矩形面積減去下面空白面積即可。由反比例函數(shù)的幾何意義可知：

【點(diǎn)評(píng)】本題也可以規(guī)律題的形式出現(xiàn)，即求S1+S2+S3+…Sn=_______。題目萬變不離其宗，解題的關(guān)鍵在于理解k的幾何意義及本質(zhì)特征。

例2 如圖，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y＝-象上的一點(diǎn)，PD⊥x軸于D。則△POD的面積為_____________。

【分析】解決反比例函數(shù)與三角形面積問題也是常見的k的幾何意義的運(yùn)用。反比例函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)向一坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)原點(diǎn)連線所構(gòu)成的直角三角形面積是一個(gè)定值實(shí)際解題中仍需根據(jù)圖象所在象限，注意k的取值。

【變式1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M為y軸正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線l∥x軸，l分別與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，若S△AOB=3，則k的值為______ 。

【分析】此題只需兩次利用k的幾何意義與三角形面積之間的關(guān) 系 即 可。 即S△AOB=S△AOM+S△MOB=3，S△MOB=故S△AOM=1，所以k=-2。

【變式2】如圖，點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)A、B

作x軸的垂線，垂足分別為M，N，延長(zhǎng)線段AB交x軸于點(diǎn)C，若OM=MN=NC，S△BNC=2，則k的值為（ ）

A.4 B.6 C.8 D.12

【分析】本題可利用△BOC的三等分點(diǎn)分得的△BNC的面積是△BOC面積的求出△BON的面積為4，利用k的幾何意義求出k=4，故選A。

二、化零為整——妙用反比例函數(shù)的對(duì)稱性

例3 如圖，已知函數(shù)y1=k1x與反比例函數(shù)y2=的圖象交于A、B兩點(diǎn)（k1＞0，k2＞0），A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2），分別以A、B為圓心的圓與x軸相切，則圖中兩個(gè)陰影部分的面積和為_______ 。

【分析】由于反比例函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，圖中陰影部分的面積和恰好是一個(gè)圓的面積，已知兩個(gè)圓與x軸相切，所以A點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為圓的半徑。所以S=4π。

【變式】如圖，邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD的對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，AB∥x軸，BC∥y軸，反比例函數(shù)y=的圖象均與正方形ABCD的邊相交，則圖中的陰影部分的面積之和為_____ 。

【分析】本題可根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，確定兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系根據(jù)正方形的對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，因此，四個(gè)小正方形是全等的，反比例函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以陰影部分面積和是兩個(gè)小正方形的面積和，故S陰影=×8×8=32。

利用反比例函數(shù)的對(duì)稱性解題，要結(jié)合圖象的特征，合理利用化零為整的思想解決問題。

三、開拓思維——活用設(shè)元法

例4 如圖，反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過矩形OABC對(duì)角線的交點(diǎn)M，分別與AB、BC交于點(diǎn)D、E，若四邊形ODBE的面積為9，則k的值為_______ 。

【分析】本題可謂逢卷必考，是最受出題者青睞的考題，解決本題可從反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)E、M、D入手，分別找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面積之間的關(guān)系，列出等式求出k值。由矩形的中心對(duì)稱性可設(shè)M（x，y），則B（2x，2y），解得xy=3，即k=3。

【點(diǎn)評(píng)】反比例函數(shù)與四邊形的綜合性題目是中考的重要考點(diǎn)，特別是反比例函數(shù)結(jié)合矩形、正方形的動(dòng)點(diǎn)問題，更是最近幾年的熱門考點(diǎn)，活用設(shè)元法有時(shí)會(huì)讓人感到豁然開朗，達(dá)到事半功倍的效果。

四、抽絲剝繭——智用點(diǎn)的坐標(biāo)

例 5 已 知A（-4，n）、B（2， -4） 是 反 比 例 函 數(shù)

圖象和一次函數(shù)y=kx+b的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)。

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）求△AOB的面積；

（3）直接寫出關(guān)于x的不等式kx+b--的解。

【分析】解決此類題目一般分三步走：（1）利用點(diǎn)的坐標(biāo)求函數(shù)表達(dá)式；（2）求交點(diǎn)；（3）求面積。本題由B點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式可求出m的值，從而確定反比例函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而把A點(diǎn)代入已確定的反比例函數(shù)表達(dá)式，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)確定一次函數(shù)解析式。求出一次函數(shù)與x軸或者y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，把求△AOB的面積轉(zhuǎn)化成求△AOC、△COB的面積和。

一次函數(shù)美，美在圖象的剛勁、挺拔；反比例函數(shù)更美，美在反比例函數(shù)圖象優(yōu)雅、溫柔的獨(dú)特氣質(zhì)。反比例函數(shù)蘊(yùn)含的知識(shí)是無窮盡的，值得我們時(shí)刻去探討。反比例函數(shù)有關(guān)面積計(jì)算的題目亦是千變?nèi)f化，解題方法多樣，深刻理解反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵。