姚 磊

(深圳市鹽田高級(jí)中學(xué),廣東 深圳 518000)

·高考命題研究·

用“裂項(xiàng)相消法”求解一道高考?jí)狠S題

姚 磊

(深圳市鹽田高級(jí)中學(xué),廣東 深圳 518000)

原題.(2014年安徽卷第24題)在光滑水平地面上有一凹槽A,中央放一小物塊B．物塊與左右兩邊槽壁的距離如圖1所示,L為1.0 m,凹槽與物塊的質(zhì)量均為m,兩者之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為0.05．開(kāi)始時(shí)物塊靜止,凹槽以v0=5 m/s初速度向右運(yùn)動(dòng),設(shè)物塊與凹槽槽壁碰撞過(guò)程中沒(méi)有能量損失,且碰撞時(shí)間不計(jì),g取10 m/s2．求:

(1) 物塊與凹槽相對(duì)靜止時(shí)的共同速度;

(2) 從凹槽開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到兩者相對(duì)靜止物塊與右側(cè)槽壁碰撞的次數(shù);

(3) 從凹槽開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到兩者剛相對(duì)靜止所經(jīng)歷的時(shí)間及該時(shí)間內(nèi)凹槽運(yùn)動(dòng)的位移大?。?/p>

圖1

本題所給的參考答案是利用v-t圖像求解凹槽的位移．而v-t圖像正是大綱要求,是所有高中學(xué)生必須掌握的．v-t圖像法用在這里省去了大量的物理過(guò)程分析和書(shū)寫,非常簡(jiǎn)潔、巧妙,但是此解法的v-t圖像中,由于凹槽與物塊的碰撞交換速度,凹槽的速度碰后發(fā)生突變,碰后就會(huì)有勻加速和勻減速的交替進(jìn)行,為非常規(guī)v-t圖像,考場(chǎng)中能畫(huà)出這樣的v-t圖像的考生只有極少數(shù),而能夠利用v-t圖像的面積準(zhǔn)確快速解出凹槽位移的考生更是鳳毛麟角了．這也是作為壓軸題選拔功能的需要．

圖2

除此之外,答案中對(duì)圖像的解釋說(shuō)明也比較簡(jiǎn)潔, “等腰三角形面積共分13份,第一份面積為0.5L,其余每份面積均為L(zhǎng)”,這句話大部分學(xué)生是不容易理解的,至于具體的過(guò)程如何,學(xué)生也很難搞清楚．

本文對(duì)題目最后一問(wèn)的解法過(guò)程如下.

第1次碰撞前:A、B受力如圖2所示,A勻減速,B勻加速,A、B質(zhì)量相同,則加速度大小相等,

a=μg=0.5 m/s2.

圖3

A、B第1次碰撞,交換速度,交換后,A勻加速,B勻減速,如圖3所示.同理,第2次碰撞前:

同時(shí),xA2=xB2-L，即

A、B第2次碰撞,交換速度,交換后,A勻減速,B勻加速,如圖4所示.第3次碰撞前：

圖4

以此類推,如圖5所示，第13次(剛好接觸,恰好不碰撞,共速)前:

同時(shí),xA13=xB13+L，即

整個(gè)過(guò)程A的位移,

xA=xA1+xA2+xA3+…xA13.

為計(jì)算方便,A的奇數(shù)項(xiàng)位移可以用B的位移加相對(duì)位移進(jìn)行交叉替換,即

代入數(shù)據(jù)得xA=12.75 m.

相比于原v-t圖像法,此方法表面看起來(lái)顯得有些“繁”,實(shí)際上這并不 “繁”,作為高考的壓軸題,過(guò)程較復(fù)雜,要把中間過(guò)程顯示出來(lái)并分析得十分詳細(xì),就必須如此了.本方法逐步分析了物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程,畫(huà)出了每一個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)示意圖,計(jì)算了每一個(gè)過(guò)程的位移,把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解為若干較簡(jiǎn)單的問(wèn)題,并找出它們之間的聯(lián)系．但是并沒(méi)有列出13次的全部過(guò)程,而是尋找規(guī)律,總結(jié)歸納推導(dǎo)出一般過(guò)程直接列出最后一次的位移表達(dá)式,這也算是繁中尋簡(jiǎn)了,并沒(méi)有使過(guò)程變得拖沓啰嗦．在計(jì)算A的總位移時(shí)發(fā)現(xiàn)了新的規(guī)律,即用B的位移加上相對(duì)位移進(jìn)行交叉替換A的奇數(shù)項(xiàng)位移,這相當(dāng)于數(shù)學(xué)中的裂項(xiàng)相消法,最后使計(jì)算過(guò)程變得十分簡(jiǎn)潔,當(dāng)然這也是不容易發(fā)現(xiàn)的,所以也存在一定的難度．此方法勝在思路十分明了、過(guò)程十分清晰、理解十分容易,只要基礎(chǔ)過(guò)關(guān)的學(xué)生基本都能理解．這也正是此方法的目的和意義所在．

2017-04-12)