涂德新 姜付錦

(1.江西師范大學(xué)附屬中學(xué),江西 南昌 330046; 2. 武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué),湖北 武漢 430300)

二維彈簧振子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究

涂德新1姜付錦2

(1.江西師范大學(xué)附屬中學(xué),江西 南昌 330046; 2. 武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué),湖北 武漢 430300)

本文首先推導(dǎo)了二維彈簧振子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的參數(shù)方程,接著求出了小球的極值位置,并求出了小球進(jìn)動(dòng)的角速度,得到了軌跡閉合的條件，最后進(jìn)行了數(shù)值模擬．

參數(shù)方程;進(jìn)動(dòng)角速度;閉合條件;數(shù)值模擬

1 提出問題

圖1

圖2

1.1 彈簧振子運(yùn)動(dòng)的微分方程

對(duì)小球應(yīng)用牛頓第二定律有

寫成分量式為

(1)

(2)

1.2 復(fù)數(shù)法求微分方程的通解

設(shè)z=x+yi，則(1)、(2)式可以改寫為

(3)

特征根方程為

特征根為

z=z1eλ1t+z2eλ2t.

其系數(shù)z1z2應(yīng)該為復(fù)數(shù),可以寫為

z=(C1+C2i)eαti+(C3+C4i)eβ ti.

展開得

z=(C1cosαt-C2sinαt+C3cosβt-C4sinβt)+(C1sinαt+C2cosαt+C3sinβt+C4cosβt)i.

于是可得

x=C1cosαt-C2sinαt+C3cosβt-C4sinβt.

(4)

y=C1sinαt+C2cosαt+C3sinβt+C4cosβt.

(5)

其中C1,C2,C3,C4為待定系數(shù).

1.3 彈簧振子運(yùn)動(dòng)的參數(shù)方程

C1+C3=0,C2+C4=0,-C2α-C4β=0,C1α+C3β=0.

可以解得

于是小球運(yùn)動(dòng)的參數(shù)方程為

(6)

(7)

2 小球離原點(diǎn)的最值距離

由(6)、(7)式可得

(α-β)2r2=[(v0-x0β)cosαt+(x0α-v0)cosβt]2+[(v0-x0β)sinαt+(x0α-v0)sinβt]2.

化簡(jiǎn)得

(α-β)2r2=(v0-x0β)2+(v0-x0α)2-

2(v0-x0β)(v0-x0α)cos(α-β)t.

當(dāng)t=0時(shí)，有

(α-β)2r2=[(v0-x0β)-(x0α-v0)]2=

(α-β)2x02，即rm1=x0.

3 小球的進(jìn)動(dòng)角速度

考慮到近似條件,y可以寫為

4 小球運(yùn)動(dòng)軌跡的閉合條件

可以發(fā)現(xiàn)如果α、β的比值為整數(shù)之比,即

5 數(shù)值模擬

為了數(shù)值模擬的方便,不妨設(shè)q=1,m=1,x0=3,g=10,圖3給出了k、B、v0為不同值時(shí)的小球運(yùn)動(dòng)的軌跡圖像．

k=3/4,B=1,v0=2

k=6,B=1,v0=2

k=4,B=3,v0=2

k=9/4,B=4,v0=2

6 小結(jié)

通過以上的分析不難發(fā)現(xiàn), 小球運(yùn)動(dòng)的微分方程組是比較難求解的,本文通過復(fù)數(shù)法來處理,過程比較簡(jiǎn)潔,得到了小球運(yùn)動(dòng)的解析解．在磁感應(yīng)強(qiáng)度比較小時(shí),可以求出小球軌跡進(jìn)動(dòng)的角速度．如果滿足一定的條件,則小球的軌跡是閉合的．同時(shí)由于洛倫茲力的存在使得x和y方向的運(yùn)動(dòng)會(huì)相互影響．

1 程稼夫.中學(xué)奧林匹克競(jìng)賽物理教程力學(xué)篇[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2002:334.

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3 李海勝. 重力場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)問題解析[J]. 物理之友,2016(11):43，45.

2017-05-12)