龐洪博，柳 碩

（遼寧工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 錦州 121001）

基于增長無源性的切換非線性系統(tǒng)的輸出跟蹤

龐洪博，柳 碩

（遼寧工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 錦州 121001）

在每一個(gè)子系統(tǒng)的輸出跟蹤問題都不可解的條件下，利用切換非線性系統(tǒng)增長無源性理論解決一類切換非線性系統(tǒng)的輸出跟蹤問題。首先,提出了切換非線系統(tǒng)的增長無源概念。這種增長無源性允許存儲(chǔ)函數(shù)在切換時(shí)刻增加。設(shè)計(jì)狀態(tài)依賴型切換律使得切換系統(tǒng)是增長無源的。然后，利用再設(shè)計(jì)的思想解決一類切換非線性系統(tǒng)的輸出跟蹤問題。另外，通過設(shè)計(jì)一組輸出反饋控制器和復(fù)合切換律解決一類級(jí)聯(lián)切換非線性系統(tǒng)的輸出跟蹤問題。最后，通過仿真例子驗(yàn)證所提出方法的有效性。

增長無源；切換非線性系統(tǒng)；輸出跟蹤；切換律

20世紀(jì)70年代，Willems[1]首次提出無源性概念。一般來講，無源系統(tǒng)內(nèi)部消耗的能量不超過外部供給的能量。無源性理論是系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)的有力工具。但它只適用于一個(gè)平衡點(diǎn)的系統(tǒng)。增長無源性是傳統(tǒng)無源性的擴(kuò)展。文獻(xiàn)[2-3]從算子的角度提出了增長無源性的概念。文獻(xiàn)[4-5]提出狀態(tài)空間形式的增長無源概念，并建立相應(yīng)增長無源理論。增長無源性是刻畫兩條軌線之間能量變化,因此，它不僅可以應(yīng)用于一個(gè)平衡點(diǎn)的系統(tǒng)，而且對(duì)于沒有平衡點(diǎn)或多平衡點(diǎn)的系統(tǒng)更有意義[6-8]。對(duì)于一個(gè)增長無源系統(tǒng)，可以通過設(shè)計(jì)增長無源的控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)軌線彼此趨近。因此，增長無源理論適合解決輸出跟蹤及同步化分析等問題[4-5,9-10]。

另一方面，輸出跟蹤控制是非常典型的控制問題,它廣泛存在于航空航天控制、機(jī)器人控制等。所謂的輸出跟蹤控制是指通過設(shè)計(jì)控制器使得被控對(duì)象的輸出跟蹤一個(gè)給定的參考信號(hào)。輸出跟蹤控制問題比鎮(zhèn)定問題更具有挑戰(zhàn)性。目前，關(guān)于非線性系統(tǒng)的輸出跟蹤控制問題的成果比較成熟[11-13]。

近年來，由于在電力系統(tǒng)[14]、航空航天控制[15]等方面的應(yīng)用，切換系統(tǒng)得到了廣泛的關(guān)注。作為一類重要的混雜系統(tǒng)，切換系統(tǒng)是由一族連續(xù)時(shí)間子系統(tǒng)和決定子系統(tǒng)之間如何切換的規(guī)則構(gòu)成[16]。由于離散動(dòng)態(tài)和連續(xù)動(dòng)態(tài)相互作用，切換系統(tǒng)具有更加復(fù)雜的行為。因此，切換系統(tǒng)輸出跟蹤問題也更加困難。目前，解決切換系統(tǒng)輸出跟蹤問題的方法有很多，如共同李雅普諾夫函數(shù)方法[17]、多李雅普諾夫函數(shù)方法[18]。平均駐留時(shí)間方法[19]。而增長無源仍然可以用于解決切換非線性系統(tǒng)輸出跟蹤問題[20]。文獻(xiàn)[20]利用多存儲(chǔ)函數(shù)和多供給率方法建立切換非線性系統(tǒng)增長無源理論，提出切換系統(tǒng)增長無源概念。但是它要求存儲(chǔ)函數(shù)在切換時(shí)刻的值是相等的。這是很強(qiáng)的條件。

本文在不要求子系統(tǒng)的增長無源性前提下，設(shè)計(jì)狀態(tài)依賴型切換律解決切換非線性系統(tǒng)的輸出跟蹤問題。與現(xiàn)有結(jié)果比較，本文所定義的增長無源概念是文獻(xiàn)[20]的推廣，它允許存儲(chǔ)函數(shù)在切換時(shí)刻是增加的，且不要求系統(tǒng)輸出是共同的。對(duì)于級(jí)聯(lián)切換非線性系統(tǒng)，按照所設(shè)計(jì)的復(fù)合切換律，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和被驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)可以異步切換。

1 問題描述與預(yù)備知識(shí)

考慮如下切換系統(tǒng)：

其中x∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)；分段連續(xù)函數(shù)σ（t）:[0,∞）→I=｛1,2,…,M｝稱為系統(tǒng)切換信號(hào)；假設(shè)系統(tǒng)有限時(shí)間內(nèi)切換有限次[16]且狀態(tài)在切換時(shí)刻不跳躍。ui∈Rm是第i個(gè)子系統(tǒng)的輸入向量；hi(x)∈Rm是連續(xù)的輸出向量且是連續(xù)函數(shù)且fi(0)=0對(duì)應(yīng)切換信號(hào)的切換序列描述如下：

其中t0是初始時(shí)刻，x0是初始狀態(tài)，且N是非負(fù)整數(shù)的集合；當(dāng)時(shí)，第ik個(gè)子系統(tǒng)工作，即對(duì)于任意j∈I：

本文主要解決系統(tǒng)(1)的輸出跟蹤問題。首先,做如下假設(shè)。

假設(shè)1存在常數(shù)Y以及分段可微參考軌線y*(t)滿足：

(a)得到的閉環(huán)系統(tǒng)所有解是全局有界的。

首先回顧GK類函數(shù)的定義。

定義1[21]如果函數(shù)遞增且在原點(diǎn)右連續(xù)，且α(0)=0，則α屬于K類函數(shù)。如果a=∞，且當(dāng)時(shí)，則屬于GK類函數(shù)。

為了解決輸出跟蹤問題，給出切換系統(tǒng)的增長無源概念。

定義2對(duì)于系統(tǒng)(1)的任意2個(gè)輸入和，及對(duì)應(yīng)的2個(gè)系統(tǒng)解和，2個(gè)輸出和，如果存在光滑函數(shù)稱為存儲(chǔ)函數(shù)，GK類函數(shù)α和連續(xù)函數(shù)且使得：

成立，那么稱系統(tǒng)(1)在切換信號(hào)σ(t)下是增長無源的。

注1：不等式(6)意味激活子系統(tǒng)在激活時(shí)段具有增長無源性。在不等式(7)中，項(xiàng)是用來刻畫在控制器ui作用下切換系統(tǒng)在有限時(shí)間段的能量變化程度。因?yàn)榇鎯?chǔ)函數(shù)Si在切換時(shí)刻可以增加，定義2比文獻(xiàn)[20]的增長無源定義更寬松，所適用的系統(tǒng)更廣泛。當(dāng)所有子系統(tǒng)有共同存儲(chǔ)函數(shù)和共同的供給率，條件(7)自然成立。因此，這種增長無源性推廣了經(jīng)典增長無源性概念。

2 切換非線性系統(tǒng)的輸出跟蹤問題

本節(jié)主要是通過設(shè)計(jì)狀態(tài)依賴型切換律和子系統(tǒng)的控制器使得切換非線性系統(tǒng)是增長無源的且輸出跟蹤問題可解。

首先，引入類似于徑向無界的概念。

定義3[2]如果對(duì)于任何序列使得當(dāng)是有界的且時(shí)，，則稱是正則的。

下面利用切換非線性系統(tǒng)的增長無源理論解決輸出跟蹤問題。

定理1考慮系統(tǒng)(1)，對(duì)于任意如果存在非負(fù)光滑函數(shù)函數(shù)和光滑函數(shù)且和使得如下不等式成立：

設(shè)計(jì)切換律：

其中：

那么(a)系統(tǒng)(1)在切換律(12)是增長無源的。(b)如果對(duì)于t0≤t，是系統(tǒng)(1)在作用下的有界解且滿足假設(shè)系統(tǒng)(1)的存儲(chǔ)函數(shù)是正則的且則系統(tǒng)(1)在子系統(tǒng)控制器作用下輸出跟蹤控制問題是可解的，其中Ki是正定矩陣。

證明(a)作輔助系統(tǒng)：

因此，根據(jù)定義2，系統(tǒng)(1)在切換律(12)作用下是增長無源系統(tǒng)。

設(shè)計(jì)子系統(tǒng)控制器：

由式(16)和式(17)得到：

由式(19)得：

由式(20)得：

注2：式(8)和式(9)意味著在區(qū)域Ωi上增長無源不等式成立。對(duì)于任意i,j∈I如果每一個(gè)子系統(tǒng)是增長無源的。按照切換律(12)，存儲(chǔ)函數(shù)在切換點(diǎn)處可能上升。因此，所設(shè)計(jì)的切換律比最小切換律更寬松。

3 級(jí)聯(lián)切換非線性系統(tǒng)的輸出跟蹤

本節(jié)主要解決級(jí)聯(lián)切換非線性系統(tǒng)的輸出跟蹤問題?？紤]級(jí)聯(lián)切換非線性系統(tǒng)。

其中(23a)和(23b)分別稱為被驅(qū)動(dòng)切換系統(tǒng)和驅(qū)動(dòng)切換系統(tǒng)。對(duì)于系統(tǒng)狀態(tài)是系統(tǒng)(23L)的切換信號(hào)。切換信號(hào)所產(chǎn)生的切換序列如下：

f0k(xa)是連續(xù)函數(shù)且。假設(shè)系統(tǒng)滿足系統(tǒng)(1)在第二節(jié)的假設(shè)。系統(tǒng)(23)的狀態(tài)。是系統(tǒng)(23)的切換信號(hào)，其中是第(k,i)子系統(tǒng)的輸入。輸出向量是連續(xù)函數(shù)且。復(fù)合切換信號(hào)產(chǎn)生的切換序列如下：

為了解決輸出跟蹤問題，做如下假設(shè)。

假設(shè)2存在正則且光滑的正定函數(shù)，連續(xù)函數(shù)光滑函數(shù)滿足和的函數(shù)使得：

注3：定義

成立。而式(31)說明被驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)子系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)是漸近穩(wěn)定的。 因此，式(27)比式(31)弱。

定理2考慮(23)。對(duì)于如果(8)、(9)、(10)和(11)和假設(shè)2成立且那么

(a) 系統(tǒng)(23)是增長無源的。

(b) 如果對(duì)于t0≤t，是系統(tǒng)(23)的第個(gè)子系統(tǒng)在作用下有界解且那么系統(tǒng)(23)在控制器假設(shè)系統(tǒng)(23b)的存儲(chǔ)函數(shù)是正則的且的作用下輸出跟蹤控制問題是可解的,其中Ki是正定矩陣。

證明(a) 定義

選擇系統(tǒng)(23)的存儲(chǔ)函數(shù)如下：

V(k,i)沿系統(tǒng)(23)求導(dǎo)得：

設(shè)計(jì)切換律如下：

根據(jù)切換律(36),得到切換序列(25)。式(10)和式(28)意味著分別在和遞減。因?yàn)樗詫?duì)于?k∈N：

(b)類似于定理1的證明，輸出跟蹤問題是可解的。

注4：按照切換律(36)，被驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)可以異步切換。

4 仿真算例

本節(jié)將通過一個(gè)數(shù)值例子來驗(yàn)證所提出的理論方法。考慮如下系統(tǒng)：

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)

圖2 系統(tǒng)的輸出

圖4 切換系統(tǒng)能量的變化

圖3 切換信號(hào)

5 結(jié)論

本文建立切換非線性系統(tǒng)增長無源理論并利用所建立的理論解決了切換非線性系統(tǒng)的輸出跟蹤問題。首先，在每個(gè)子系統(tǒng)輸出跟蹤問題都不可解的前提下，設(shè)計(jì)狀態(tài)依賴型切換律解決輸出跟蹤問題。最后，設(shè)計(jì)復(fù)合切換律，解決級(jí)聯(lián)切換非線性系統(tǒng)的輸出跟蹤問題，所設(shè)計(jì)的切換律允許驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與被驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)不同步切換。

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Incremental Passivity-based Output Track for Switched Nonlinear Systems

PANG Hong-bo,LIU-Shuo
（College of Science,Liaoning University of Technology,Jinzhou 121001,China）

In this paper,the output track problem for a class of switched nonlinear systems is solved by using incremental passivity concept even if the output tracking problem for each subsystem is not solvable.First,the concept of incremental passivity for switched systems which allow the storage functions to increase at the switching time is proposed.Then,a state-dependent switching law is designed to render the switched system incrementally passive.Second,the output tracking problem is solved by using Lyapunov redesigning method.Moreover,a composite state-dependent switching law is designed to solve the output tracking problem for a class of cascaded switched nonlinear systems.Finally,a numeral example shows the effectiveness of the proposed method.

incremental passivity; switched nonlinear systems; output tracking; switching law

TP271

A

1674-3261(2017)05-0332-08

10.15916/j.issn1674-3261.2017.05.013

2017-04-23

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61703190)

龐洪博(1982-)，男，吉林公主嶺人，講師，博士。

責(zé)任編校：孫 林