郭寶珠

“課標(biāo)（2011版）”提出了“幾何直觀”這一核心概念，那么什么是“幾何直觀”？它的本意是什么？“幾何直觀”是一個(gè)組合詞組，它的內(nèi)涵有兩點(diǎn)：一是幾何，這里是指圖形。二是直觀，直觀的本意是指用感官直接接受的、直接觀察的。這里的直觀是指根據(jù)現(xiàn)在看到以及以前看到的東西進(jìn)行思考、想象。因此，我們可以把“幾何直觀”理解為依托、利用圖形對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象進(jìn)行直接感知和整體把握的能力。在教學(xué)過(guò)程中，什么情況下需要幾何直觀？如何借助幾何直觀進(jìn)行教學(xué)？如何利用幾何直觀幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)？下面我將結(jié)合具體例子談?wù)剛€(gè)人的看法。

一、利用幾何直觀，理解運(yùn)算算理

在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中，很多時(shí)候我們只注重算法的教學(xué)，強(qiáng)調(diào)熟練技能，忽略了算理。其實(shí)學(xué)生計(jì)算能力的提高，不僅僅是提高學(xué)生計(jì)算的熟練程度，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生據(jù)“理”而“算”。算理是算法的理論依據(jù)，算法是算理的提煉和概括，它們是相輔相成的。

如：五年級(jí)下冊(cè)《異分母分?jǐn)?shù)的加減法》的教學(xué)。

1.出示學(xué)習(xí)單，請(qǐng)學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)單的要求在小組內(nèi)自主學(xué)習(xí)。

（1）想一想、算一算1/2+1/8的結(jié)果是多少？

（2）請(qǐng)借助圓片折一折、畫(huà)一畫(huà)，檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果是否正確？

（3）完成后在小組內(nèi)說(shuō)一說(shuō)你是怎樣想的？

2.全班交流算法。在交流過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑：為什么要把1/2變成4/8？當(dāng)學(xué)生回答把它們化成分母相同的分?jǐn)?shù)，這樣就好算了！教師追問(wèn)把二分之一變成八分之四僅僅只是好算嗎？想一想，誰(shuí)還有更合理的解釋?zhuān)磕隳苡脠D給大家解釋解釋嗎？學(xué)生通過(guò)直觀的圖形清楚、明白地解釋了異分母分?jǐn)?shù)相加的計(jì)算方法與道理。利用直觀圖教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)，分?jǐn)?shù)的加法和整數(shù)、小數(shù)的加法一樣，都是相同的計(jì)數(shù)單位才能相加。

在教學(xué)中，教師抓住“為什么要先通分再相加？通分的目的是什么？”這一核心問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生利用圖進(jìn)行解釋?zhuān)瑢?shù)與形結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生體會(huì)只有平均分的份數(shù)相同，也就是分?jǐn)?shù)單位相同，分子才能相加減的道理，在直觀感知中不僅理解了異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理，而且進(jìn)一步理解了分?jǐn)?shù)、整數(shù)、小數(shù)加減法的計(jì)算在本質(zhì)上是一致的，即相同的計(jì)數(shù)單位才能相加減。

在人教版教材中，像這樣借助幾何直觀來(lái)幫助學(xué)生理解抽象的算理的例子還有很多，如：利用點(diǎn)子圖來(lái)理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，利用長(zhǎng)方形模型來(lái)理解分?jǐn)?shù)乘法的算理，利用線段圖來(lái)幫助理解分?jǐn)?shù)除法的算理，利用面積模型來(lái)理解乘法分配率等。因此在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)設(shè)計(jì)相關(guān)的核心問(wèn)題，借助幾何直觀讓學(xué)生充分的探究、質(zhì)疑，充分挖掘算理背后的道理，將推理與算理建立聯(lián)系，做到明“理”而“算”，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、利用幾何直觀，理解數(shù)學(xué)概念

概念是數(shù)學(xué)的基本細(xì)胞，概念之間形成“網(wǎng)絡(luò)”就構(gòu)成了數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容。因此概念的學(xué)習(xí)無(wú)疑被看成是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)十分重要的一環(huán)。但由于數(shù)學(xué)概念的高度抽象性與小學(xué)生思維的具體形象性之間的矛盾，造成了學(xué)生學(xué)習(xí)概念存在記憶或背誦概念的形式化定義的現(xiàn)象，因此在概念教學(xué)中我們應(yīng)當(dāng)借助幾何直觀和學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，在探究活動(dòng)中，把直觀形象和感覺(jué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行合理的抽象，幫助學(xué)生理解、建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念。

如《平均數(shù)》的教學(xué)。在學(xué)生初步感知、理解平均數(shù)的意義后，教師利用直觀圖設(shè)計(jì)以下教學(xué)過(guò)程，讓學(xué)生進(jìn)一步理解平均數(shù)的意義。

（1）（依次出示下圖）平均數(shù)會(huì)不會(huì)在這兒？為什么？利用直觀圖幫助學(xué)生建立平均數(shù)的取值范圍，它既不是一組數(shù)中最小的數(shù)，也不是最大的數(shù)，平均數(shù)一定在這組數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)之間。

（2）（依次出示下圖）猜猜C的位置？說(shuō)說(shuō)你是怎樣想的？

教師沒(méi)有給學(xué)生提供具體的數(shù)據(jù)，而是提供平均數(shù)的位置以及長(zhǎng)短不一的直條，猜C的位置。學(xué)生習(xí)慣用計(jì)算的方法解決問(wèn)題，但是沒(méi)有數(shù)據(jù)怎么計(jì)算？學(xué)生的思維受阻之后，必然會(huì)另辟蹊徑，利用直觀通過(guò)“移多補(bǔ)少”進(jìn)行合情推理，得到C的位置。借助幾何直觀把抽象問(wèn)題還原于直觀問(wèn)題，幫助學(xué)生理解平均數(shù)是一個(gè)什么樣的數(shù)，有什么意義和作用，使原本看不見(jiàn)摸不著的平均數(shù)，清晰地站在學(xué)生面前。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的許多概念，如：“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”、“小數(shù)的認(rèn)識(shí)”可以借助“面積模型”、“數(shù)線模型”等來(lái)幫助學(xué)生理解、建立概念；“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”可以利用多媒體直觀演示讓學(xué)生首先“看一周”，接著“摸一周”，“描一周”，最后先估再量“一周的長(zhǎng)”，這些直觀的感知、操作活動(dòng)，使抽象的概念對(duì)于學(xué)生而言變得豐富和生動(dòng)起來(lái)，而不再是一種空洞的“詞匯游戲”。

三、利用幾何直觀，分析解決問(wèn)題

解決實(shí)際問(wèn)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，也是當(dāng)下培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的目標(biāo)之一。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常常發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題，特別是具有一定難度或步驟較多的實(shí)際問(wèn)題容易產(chǎn)生緊張、畏難等心理，長(zhǎng)此以往必將影響學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，阻礙學(xué)生的發(fā)展。而“幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果?！?/p>

如，“媽媽買(mǎi)了2千克蘋(píng)果和5千克梨，共用去10.8元，已知買(mǎi)2千克梨的錢(qián)可以買(mǎi)1千克蘋(píng)果，每千克蘋(píng)果、梨各多少錢(qián)？”

題目中文字比較拗口，數(shù)學(xué)關(guān)系復(fù)雜，學(xué)生不容易理清數(shù)量之間的關(guān)系，但是如果將文字上的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為如下的線段圖表示時(shí)，數(shù)量關(guān)系就一目了然了。

人教版教材中的一些例題，如：三年級(jí)上冊(cè)“倍的認(rèn)識(shí)”以及“歸一和歸總的問(wèn)題”；五年級(jí)上冊(cè)的用方程解決“相遇問(wèn)題”；六年級(jí)的分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題等，教材在編排上都借助了直觀的線段圖幫助學(xué)生理解題意，提煉題中的數(shù)量關(guān)系。

其實(shí)借助圖形解決問(wèn)題，通常要把研究的對(duì)象轉(zhuǎn)化成圖形，這樣就把對(duì)象之間的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖形之間的關(guān)系，再借助圖形直觀進(jìn)行思考、分析并解決問(wèn)題。這樣為學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的發(fā)展提供了“拐杖”，發(fā)展了學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)生持續(xù)發(fā)展奠定扎實(shí)基礎(chǔ)。endprint

四、利用幾何直觀，發(fā)展思維能力

幾何直觀與邏輯、推理是不可分的。它需要依靠邏輯的支撐。幾何直觀不僅僅只是看到了什么？更重要的是通過(guò)看到的圖形思考到了什么？想象到了什么？這是數(shù)學(xué)非常重要而有價(jià)值的思維方式。它會(huì)把現(xiàn)在看到的與以前學(xué)到的結(jié)合起來(lái)，通過(guò)思考、想象、猜想出一些可能的結(jié)論和論證思路，這就是合情推理，它為嚴(yán)格證明結(jié)論奠定了基礎(chǔ)。

如《三角形的內(nèi)角和》一課，我根據(jù)“觀察——猜想——驗(yàn)證”環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了以下教學(xué)過(guò)程。

1.課件動(dòng)態(tài)演示引導(dǎo)學(xué)生觀察

（1）課件出示一個(gè)銳角，接著連接銳角邊上的兩點(diǎn)形成一個(gè)銳角三角形。

（2）課件第二次出示這個(gè)銳角，旋轉(zhuǎn)它的一條邊把它變成一個(gè)直角，連接直角邊上的兩點(diǎn)形成一個(gè)直角三角形。

（3）課件第三次出示這個(gè)銳角，旋轉(zhuǎn)它的一條邊把它變成鈍角，連接鈍角邊上的兩點(diǎn)形成一個(gè)鈍角三角形。（最后如下圖）

2.觀察、猜想

（1）仔細(xì)觀察這三個(gè)三角形，你認(rèn)為哪個(gè)三角形的內(nèi)角和最大？說(shuō)說(shuō)你的想法。有的學(xué)生認(rèn)為鈍角三角形的內(nèi)角和最大，因?yàn)殁g角最大。有的學(xué)生認(rèn)為是一樣大的，雖然鈍角三角形中鈍角最大，但是它的其他兩個(gè)角都比較小。

（2）繼續(xù)觀察，現(xiàn)在繼續(xù)旋轉(zhuǎn)鈍角三角形的一條邊，使這個(gè)鈍角不斷的變大、變大、再變大……你看到了什么？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：鈍角三角形中鈍角越變?cè)酱?，而另外兩個(gè)銳角越來(lái)越小。

（3）想象一下，如果這個(gè)鈍角繼續(xù)變大，它就越來(lái)越接近…（平角、180度），而另外兩個(gè)角的大小會(huì)怎樣？

（4）由此想來(lái)，三角形的內(nèi)角和可能是多少度？

學(xué)生猜想：三角形的內(nèi)角和可能是180度。

師：這是我們的猜想，那么三角形的內(nèi)角和到底是不是180°呢？你有什么辦法來(lái)驗(yàn)證？

我們知道猜想要有一定依據(jù)，不能憑空猜想。本環(huán)節(jié)教師創(chuàng)設(shè)了動(dòng)態(tài)的直觀圖，讓學(xué)生觀察、體會(huì)三角形三個(gè)內(nèi)角的變化有此消彼長(zhǎng)的現(xiàn)象，但變化有一定的極限：就是不大于180度。這一教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷了觀察、猜想的過(guò)程，一方面有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和空間想象能力，形成良好的空間知覺(jué)；另一方面為形成猜想，探索三角形的內(nèi)角和奠定基礎(chǔ)。

“觀察——猜想——驗(yàn)證”這本身就是一個(gè)幾何直觀的過(guò)程。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中一些公式、運(yùn)算定律、探究規(guī)律等知識(shí)，均可以遵循這樣的教學(xué)過(guò)程，創(chuàng)設(shè)合理情境讓學(xué)生從觀察和猜想開(kāi)始，通過(guò)自主探索、體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，發(fā)展思維能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。endprint