甘肅省蘭州新區(qū)舟曲中學(730087) 李守明

從不等式鏈的角度看一道高考解析幾何試題的命制*

甘肅省蘭州新區(qū)舟曲中學(730087) 李守明

題目 (2017年全國卷II理科第10題)已知F為拋物線C∶y2=4x的焦點,過F做兩條互相垂直的直線l1和l2,直線l1與C交于A,B兩點,直線l2與C交于D,E兩點,則|AB|+|DE|的最小值為().

A.16 B.14 C.12 D.10

1.試題的兩種解法

解法1 依題意,直線l1和l2的斜率存在,且斜率不為0,設A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),又設直線l1的方程為y=k(x?1),代入拋物線方程y2=4x,消去y得,

則

所以

同理可得

則

解法2 如圖1所示,設AB傾斜角為θ,作AK1垂直準線,AK2垂直x軸,垂足分別為

所以|AF|cosθ+p=|AF|,

圖1

同理可得

則

同理

所以

評注 直線與圓錐曲線相交形成的弦中,焦點弦是較為特殊的,焦點弦長的計算也比較獨特,較少運用弦長公式,而主要采用圓錐曲線的定義,解法1借助拋物線的定義,得到焦點在橫坐標軸正半軸上的弦長公式|AB|=x1+x2+p,解法2同樣是借助拋物線的定義,結合幾何圖形,得到焦點在橫坐標軸正半軸上的弦長公式后續(xù)解答變得簡單,解法1運用基本不等式,解法2運用三角函數(shù)的有關知識得到本題的解.

2.試題的產(chǎn)生思路

此題命題的思路是什么?又會有怎樣的變式呢?聯(lián)想到不等式鏈

既然本題|AB|+|DE|有最小值,那么或者|AB|·|DE|就有可能為定值.筆者帶著這種猜想進行了探索和證明.

變式1 已知F為拋物線C∶y2=4x的焦點,過F做兩條互相垂直的直線l1和l2,直線l1與C交于A,B兩點,直線l2與C交于D,E,則為定值.

證明 依題意,直線l1和l2的斜率存在,且斜率不為0,設A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),又設直線l1的方程為y=k(x?1),代入拋物線方程y2=4x,消去y得,

則

所以

同理可得

所以

解法3

所以|AB|+|DE|≥16,當|AB|=|DE|時取等號.

3.結論的推廣

在一般情形下的拋物線y2=2px(p＞0),AB和CD為過焦點且互相垂直的弦,那么是否也為定值呢?

推廣1 已知F為拋物線y2=2px(p＞0)的焦點,過F做兩條互相垂直的直線l1和l2,直線l1與C交于A,B兩點,直線l2與C交于D,E,則為定值.

證明 以拋物線的焦點F為極點,x為極軸建立極坐標系,設點A(ρ,θ),則

其中p表示焦點到準線的距離,所以

同理可得

所以

那么對于圓錐曲線中的橢圓和雙曲線來說是不是也有相類似的結論呢?

證明 不妨設F為橢圓的左焦點,以F為極點,x為極軸建立極坐標系,設點A(ρ,θ),則

其中p表示焦點到準線的距離,所以

同理可得

當A,B在雙曲線同一支,而C,D不在雙曲線的同一支時,

當A,B不在雙曲線同一支,而C,D也不在雙曲線的同一支時,

證明 不妨設F為雙曲線的右焦點,以F為極點,x為極軸建立極坐標系,設點A(ρ,θ),當A,B,C,D在雙曲線的同一支上時,則

其中p表示焦點到準線的距離,所以

同理可得

所以

當A,B在雙曲線同一支,而C,D不在雙曲線的同一支時,

當A,B不在雙曲線同一支,而C,D也不在雙曲線的同一支時,則有

4.高考鏈接

例 (2007年高考全國卷I文第22題理21題)已知橢圓的左右焦點分別為F1,F2過F1的直線交橢圓于B,D兩點,過F2的直線交橢圓于A,C兩點,且AC⊥BD,垂足為P.

(I)P點的坐標為,證明

(II)求四邊形ABCD的面積的最小值.

解 (I)略;(II)因為

則

當且僅當|AC|=|BD|取等號.

5.追本溯源

從不等式鏈的角度命制試題,在人教版選修課本習題中有所體現(xiàn),原題如下:

(人教A版選修4-4第15頁)已知橢圓中心為O,長軸、短軸的長分別為2a,2b(a＞b＞c),分別為橢圓上的兩點,且OA⊥OB.

(2)求△OAB面積的最大值最小值.

(2)因為

|OA|=|OB|取等號.則

所以

故求得△OAB面積的最大值為本題可用橢圓的參數(shù)方程求得的求△OAB面積的最大值為.

6.變式練習

以拋物線為例,明白了焦點弦AB和CD互相垂直時,具有性質為定值,那么就可以理解試題命制者命題的初衷,借助不等式鏈,改編形成不同的試題.

例 (2017四川資陽市模擬試題)過拋物線C∶y2=4x的焦點F做互相垂直的弦AC和BD,則點A,B,C,D構成四邊形的面積的最小值為( )

A.16 B.32 C.48 D.64

(當且僅當|AC|=|BD|取“=”),

所以

當且僅當|AC|=|BD|取等號.

解 因為

所以

當|AB|=|CD|時取等號.所以或a=(舍),則故答案為D.

[1]普通高中課程標準實驗教科書選修4-4[M],北京:高等教育出版社,2007.

蘭州市“十三五”教育科學規(guī)劃課題《運用“一題一課”培養(yǎng)高中學生數(shù)學解題能力的研究》