廣東省佛山市順德區(qū)樂從中學(xué) (528315) 林國紅

一題五法 各顯神通—一道2017年高考選擇題的解法探究

廣東省佛山市順德區(qū)樂從中學(xué) (528315) 林國紅

題目再現(xiàn):(2017年全國高考數(shù)學(xué)(理科I卷)第11題)設(shè)x,y,z為正數(shù),且2x=3y=5z,則()

A.2x＜3y＜5zB.5z＜2x＜3y

C.3y＜5z＜2xD.3y＜2x＜5z

試題結(jié)構(gòu)非常簡單,題干也短,構(gòu)思獨特.主要考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)性質(zhì)及其相關(guān)運算,指數(shù)形式與對數(shù)形式的互化,還對于不等式的證明方法有較高的要求;考察學(xué)生邏輯思維能力、推理論證能力、運算及數(shù)據(jù)處理等能力.本文將給出此題的多種解法,拋磚引玉.

解法一(直接法)由2x=3y,兩邊平方可得,

所以2x＞3y;由2x=5z,兩邊平方可得,

所以2x＜5z;綜上可得,3y＜2x＜5z.

評注 本解法通過兩邊平方后,利用冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來證明,解法簡單明了.

解法二(賦值法) 令x=1,則有2=3y,2=5z,可得

所以

綜上可得,3y＜2x＜5z.

評注 賦值法所體現(xiàn)的是從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想,在高考題中屢見不鮮,賦值應(yīng)以賦簡單值為主.本解法之所以賦值,是想減少變量,達(dá)到簡化目的;賦值后,再進行指對互化,利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來證明.

解法三(作差法) 因為x,y,z為正數(shù),設(shè)2x=3y=5z=t(t＞1),兩邊取自然對數(shù),有

即

則有

因為

所以2x?3y＞0,即2x＞3y;同理可證2x＜5z.綜上可得,3y＜2x＜5z.

評注 作差法也是比較大小的常用方法,屬于比較法的一種,是證明不等式的最基本方法.其步驟為:作差→變形→判斷差的符號.變形是比較大小的關(guān)鍵,變形的目的在于判斷差的符號,變形常用方法有通分、因式分解、配方等.本題的變形后還利用到對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

解法四(作商法)因為x,y,z為正數(shù),設(shè)2x=3y=5z=t(t＞1),兩邊取自然對數(shù),有

即

則有

ln9＞ln8,所以即2x＞3y;同理可證2x＜5z.綜上可得,3y＜2x＜5z.

評注 作商法是比較大小的常用方法,屬于比較法的一種.其步驟為:作商→變形→判斷商與1的大小.一般來說:當(dāng)要證的式子兩端是乘積的形式或冪、指數(shù)時可考慮此法.

解法五(構(gòu)造函數(shù)法) 因為x,y,z為正數(shù),設(shè)2x=3y=5z=t(t＞1),兩邊取自然對數(shù),有

即

所以

考慮到2x,3y,5z式子的結(jié)構(gòu)相同,可構(gòu)造函數(shù)

又因為lnt是大于0的常數(shù),所以只須考慮函數(shù)即可.由可得g(x)在(1,e)單調(diào)遞減,在(e,+∞)單調(diào)遞增,所以f(x)在(1,e)單調(diào)遞減,在(e,+∞)單調(diào)遞增.又因為e＜3＜4＜5,所以f(3)＜f(4)＜f(5),故有

且有

即得

所以3y＜2x＜5z.

評注 構(gòu)造函數(shù)法是證明不等式一個重要方法,其思路是發(fā)掘待證不等式的結(jié)構(gòu)特征,合理變形,構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性使不等式得以證明.

以上的幾種解法,從不同的角度出發(fā)思考問題,各顯神通,這充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)高考題的不拘一格,一道試題往往考查多種能力、多種思想方法;同時,高考試題在命制時充分考慮到考生數(shù)學(xué)能力的個體差異,大多數(shù)試題的解答方法、思維方式不是唯一,一題多解,給考生提供了較大的發(fā)揮空間.這樣通過方法的選擇、解題時間的長短,甄別出考生能力的差異,達(dá)到精確區(qū)分考生的目的.另外也說明高考要突出考查知識主干,貼切教學(xué)實際,扎實基礎(chǔ),重視數(shù)學(xué)的計算能力與思想方法,所以我們要在平時的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練中重視知識的儲備和方法的積累,才有可能縮短思維的長度,達(dá)到事半功倍的效果.

[1]人民教育出版社課程教材研究所.數(shù)學(xué)必修1[M].人民教育出版社A版,2007.

[2]人民教育出版社課程教材研究所.數(shù)學(xué)選修4-5[M].人民教育出版社A版,2007.

[3]周來友.一道課本習(xí)題的十種證法[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2017(5)23-25.