何俊 麻惠州 王之琢 葉強 于令達 隨艷峰 岳軍會 曹建社

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BEPCII束流位置探測器的CST計算

何俊 麻惠州 王之琢 葉強 于令達 隨艷峰 岳軍會 曹建社

（中國科學院高能物理研究所粒子加速物理與技術重點實驗室 北京 100049）

束流位置探測器是最重要的束流測量部件之一，在北京正負電子對撞機二期(Beijing Electron Positron Collider II, BEPCII)的直線段、傳輸段和儲存環(huán)上分布著包括紐扣型、條帶型在內的多個束流位置探測器(Beam Position Monitor, BPM)。本文利用CST (Computer Simulation Technology)軟件的微波工作室和粒子工作室對BEPCII上的BPM相關參數(shù)進行了計算，其中包括BPM的信號強度、水平方向和垂直方向的靈敏度、縱向轉移阻抗以及電極間的耦合參數(shù)等，比較了理論計算結果與實驗測量結果之間的差別，計算了直線段條帶型BPM的信號與頻譜。這些工作是對現(xiàn)有BPM性質的深入了解，而相關計算方法對新機器如高能光源和環(huán)形正負電子對撞機上BPM的設計具有重要指導意義，為分析新建加速器的BPM相關問題提供了理論依據(jù)。

位置探測器，紐扣型，條帶型，轉移阻抗，粒子工作室

束流位置探測器(Beam Position Monitor, BPM)是各種不同加速器（包括直線、回旋、同步加速器）中使用最頻繁的束流測量元件，它能在不影響束流的情況下（忽略尾場的影響）測量出束團質心橫向位置和縱向分布[1?3]。它由與地隔絕的金屬電極組成，通過測量束流經(jīng)過時，在電極上產(chǎn)生感應電荷來得到束團的位置。有時該裝置也用于測量束團的縱向長度，稱為“電磁拾取電極(Electromagnetic pick-up)”更加準確。

常見的BPM有紐扣型、條帶型、斜切型和腔式型等，在北京正負電子對撞機二期(Beijing Electron Positron Collider II, BEPCII)的直線加速器上有20套BPM，其中2套為紐扣型、18套為條帶型；而在儲存環(huán)上有138套紐扣型BPM，其中88套安裝在前室結構管道上、42套安裝在跑道型管道上、其他的安裝在一些特殊位置[4]，用于橫向束流反饋系統(tǒng)[5]、工作點測量系統(tǒng)、束團流強檢測系 統(tǒng)[6]、丟束診斷系統(tǒng)[7]等。單次通過的地方，如直線段和傳輸線，BPM主要用于測量束流的位置以及利用電極和信號反應的流強測傳輸效率。儲存環(huán)上的BPM主要用于測量束流的閉軌和逐圈位置[8]，能在逐圈、快軌道10 kHz和慢軌道10 Hz等多個模式下提供充足的物理信息。正因為束流位置探測器能提供多維的束流信息，國內外實驗室一直在進行相關的研究，比如合肥光源正在進行自由電子激光的紐扣型[9]和條帶型[10?11]BPM的研究，上海光源也在進行適用于自由電極激光的、位置分辨率較高的腔式[12?13]BPM研究。

本文主要分析探頭產(chǎn)生信號以及在探頭中傳播的過程。目前BEPCII所用的電子學器件主要是Bergoz和I-tech的商業(yè)產(chǎn)品，關于電子學處理方法和相關電子學的介紹可參考文獻[14?15]，文獻[16]中也有關于BPM探頭設計的描述，其中部分結果是用MAFIA程序計算得到，本文主要使用的是CST (Computer Simulation Technology)的微波工作室和粒子工作室。

1 CST機械參數(shù)與轉移阻抗

BEPCII儲存環(huán)大部分真空管道為前室型，部分地方為八邊形，極少數(shù)地方為圓形（直徑為100 mm左右），以八邊形為例，水平與垂直方向最大孔徑為108 mm×52 mm，其結構如圖1(a)所示，前室型管道與八邊形管道相比，在左邊多出來一段扁平的管道，計算結果顯示兩者差別不大。采用的電極為直徑為15 mm紐扣型電極，其建模尺寸如圖1(b)所示，其中為保證傳輸線的特征阻抗為50W，建模時的內外導體半徑比設計為2.3，填充材料為真空。

圖1 BEPCII紐扣型BPM結構 (a) 八邊形束流管道，(b) 紐扣型電極機械尺寸

如圖2(a)所示，電容性拾取電極由真空管道內的不同形狀的金屬電極組成，產(chǎn)生的感應電荷通過穿墻子以及匹配電路耦合出來，經(jīng)過電子學處理得到束流位置。假設拾取電極與管道中心距離為，面積為，縱向長度為，則鏡像電荷im驅動產(chǎn)生的鏡像電流im為：

對于運動速度為的束流有：

式中：beam()=0?e?為束流在頻域表達式。時域函數(shù)（為變量）到頻域（為變量）函數(shù)的轉換可由傅里葉變換完成，電阻上的電壓為：

圖2 BPM工作原理示意圖 (a) 拾取電極示意圖以及其等效電路圖，(b) 轉移阻抗的高通特性、電極的轉移阻抗與相位圖

用來描述BPM的參數(shù)較多，比如紐扣尺寸的大小、靈敏度和分辨率等，其中一個最重要的參數(shù)為轉移阻抗（分為橫向和縱向，這里主要討論縱向轉移阻抗），它被用來描述BPM對束流的響應。t(,)是根據(jù)歐姆定律定義的頻域下的阻抗，是表征BPM最基本的參數(shù)，它描述了電極上電壓信號的幅度與束流流強的關系，與頻率、粒子速度和電極的幾何形狀有關，縱向轉移阻抗越大表示在相同的束流強度下信號幅度越大。

如圖2(a)所示，電容性電極通常有一定的對地電容，它由電極與管道之間的距離以及電極與放大器輸入之間電纜的電容決定。放大器的輸入阻抗為，束流可看作電流源，與耦合電容、輸入電阻并聯(lián)，其等效電路如圖2(a)所示，它們之間滿足：

將式(1)、(4)代入式(3)可得：

式(5)描述了轉移阻抗的一階高通特性，其cut=cut/2π=(2π)?1。圖2(b)分別給出了放大器輸入阻抗為50 Ω、5 kΩ、1 MΩ時轉移阻抗的絕對值和相位隨頻率的變化情況，其中=100 pF，=10 cm，=50%。從轉移阻抗的絕對值曲線中可以看到明顯的高通特性，在低頻區(qū)其阻抗值較小，信號較弱。虛、實線顯示了高阻和低阻的差異。其中電子機器大多為50 Ω阻抗。圖2(b)中轉移阻抗的絕對值和相位解析表達式分別為：

束流的頻譜由束團長度決定，時域為高斯分布的束流經(jīng)過傅里葉變換，在頻域分布?beam(ω)同樣是高斯分布，其中心在f=0處，寬度σf=1/(2πσt)，其中σt為時域寬度，圖3(b)中實線為束流頻譜。對BEPCII而言，標準差σf=1/(2πσt)=3.18 GHz。虛線為轉移阻抗大小隨頻率變化，描述了BPM的高通特性。如果束流頻譜遠大于fcut，則?beam(ω)與轉移阻抗Zt(ω)相乘后，?im(ω)與束流?beam(ω)形狀相同，反傅氏變換得到的時域信號則與束流流強信號隨時間變化的曲線相同，稱之為正比型信號，電極上的電壓信號和束流的流強信號一樣是一個單峰。對于束流頻譜遠小于fcut的情況，?beam(ω)與轉移阻抗Zt(ω)相乘后，?im(ω)形狀發(fā)生了較大的變化。反傅氏變換得到的時域信號Uim(t)∝dI/dt，故此稱為導數(shù)型信號，得到的電壓信號是一正一負的雙峰，中間過零點為高斯分布的中心。第三種情況則是介于這兩者之間，比如BEPCII上紐扣型BPM就是這種情況。其信號頻譜和fcut在同一個量級。計算轉移阻抗需要先計算BPM電極的電容。當在其中一個電極上加上一定電壓時，其電勢分布如圖3(a)所示，從中可知紐扣型的BPM電極之間的耦合較小，圖3(c)顯示了一個電極到其它三個電極間的S參數(shù)計算結果，在1 GHz以下的頻域內，另外三個端口S21、S31、S41均在?50 dB以下。在某一個電極上施加1V電壓，根據(jù)其所帶電荷Q=CU可得到電容C，計算得到的電容值為C=2.14 pF。則fcut=ωcut/2π= (2πRC)?1=1.49 GHz，計算得到轉移阻抗最大值Z=1.46 W。具體的轉移阻抗隨頻率如圖3(b)虛線所示。假設束流峰值流強為1 A，電極上得到的峰值電壓為U=IR=1.46 V。

2 BPM的靈敏度

在水平和垂直方向分別放置4個獨立的BPM電極，根據(jù)電極間的信號差異就能得到束流的位置。當束流離電極越近產(chǎn)生的信號越強，這個叫做“近鄰效應(Proximity effect)”，水平位置和垂直位置可分別表示為：

電極感應電壓信號的差和比（電壓差除以電壓和）與束流位置之間的比例系數(shù)S、S叫做位置靈敏度，單位是%?mm?1，反映的是設計的BPM對束流位置變化的靈敏度。通常靈敏度與束流位置有關，在偏移量較大、遠離管道中心時，信號的非線性效應會變得明顯，此時靈敏度會下降，實際工程中最后得到靈敏度還與信號處理的頻率以及電子學信號處理的方法等有關。此處計算的靈敏度是管道中心處、信號處理中心頻率為500 MHz時的靈敏度，就是用電極信號的頻譜上在500 MHz處的分量進行式(7)和(8)的計算。

在不同的紐扣間距下，對應的靈敏度如表1所示，其中第一組值來自于文獻[16]，第二組值來自于用CST計算。調整兩個電極在水平方向的距離可以改變兩個方向的靈敏度，當增大兩電極的水平距離Δ時，S增大，S減小，這樣就可以保證兩個方向靈敏度相等。從表1可知，當兩電極之間的距離在31?33 mm之間時，兩個方向靈敏度大致相等。圖4是和差比信號隨束流位置改變的情況，掃描的范圍為28 mm×20 mm，從圖4(a)可知，當=0、在?28?28 mm之間變化時，方向和差比信號線性區(qū)較大，靈敏度較小，當=20、在?28?28 mm之間變化時，方向的線性度區(qū)較小，靈敏度較大。從圖4(b)可知，當=0、在?20?20 mm之間變化時，和差比信號幾乎都是線性的，而隨著的增大，方向的靈敏度先增大后減小，靈敏度最大的地方在=17 mm附近。中心區(qū)的水平和垂直方向的靈敏度分別為S=[4.34 %?mm?1] 和S=[4.08 %?mm?1]。水平垂直兩個方向的線性區(qū)一般為管道與電極距離的1/3左右。

表1 不同的電極結構（電極間水平距離）下的靈敏度

在束團電荷量為1 nC時，CST計算的電壓信號的時域與頻域結果如圖5所示，其中時域信號介于正比型與導數(shù)型信號之間，兩個峰之間的時間間隔為?=0.118 ns，如果電極上的信號是導數(shù)型，則應該在±t處有極大值和極小值，峰峰值之間間隔應該為2t=0.1 ns。頻譜信號的最大分量位于2 GHz附近，這是由束流頻譜與BPM電極轉移阻抗性質決定，即圖3(b)中虛、實線相乘的結果，大致在兩線交點附近。圖5(c)顯示了CST計算的BPM信號經(jīng)過50 m的LMR-400線纜衰減前后的情況，為便于比較，將經(jīng)過衰減前的信號幅度乘以0.1，十字交叉線是束測本地站示波器的測量結果，目前計算結果約為實測結果的兩倍，可能是CST的BPM模型與實際情況的差別引起的，也可能是線纜的衰減系數(shù)經(jīng)過輻射后引起的變化，目前正準備在下個檢修期對線纜進行重新標定。

圖4 位置掃描時和差比隨束流位置的變化 (a) x方向，(b) y方向

圖5 電荷量為1 nC、束團長度為50 ps時BPM信號 (a) 時域信號，(b) 頻域信號，(c) 信號實測值與CST計算比較

3 Mapping圖和差和比信號擬合

為了更好地了解束流位置與電極和差比信號之間的關系，需要對BPM做校準，得到所謂的Mapping圖，在式(7)和(8)中，假設兩者是線性關系，更加精確的做法是利用多項式擬合的辦法。假設水平和垂直方向的和差比分別為和，、與、之間的擬合關系可用矩陣表達：

= []?[(,)] (9)

= []?[(,)] (10)

式中：、是由多項式系數(shù)構成的行向量；(,)為由對應的各階多項式構成的列向量。可見，只要在所要求的計算精度下，求出多項式系數(shù)行向量，即可以得到BPM的靈敏度。通?？梢允褂米钚《朔ㄓ嬎闶?9)和(10)中的多項式系數(shù)行向量[11]。

令為進行多項式擬合時的擬合方差，有：

式中：表示對所有數(shù)據(jù)點求和；a、b分別為其中的第個元素；f(,)為其中的第個元素。當多項式系數(shù)a或b均滿足式(11)時，多項式擬合方差最小，相應的式(11)的解即為相應的多項式擬合系數(shù)，即多項式系數(shù)a或b均滿足方程：

代入式(9)和(10)得到：

對所有的多項式系數(shù)分別求導后，令方程組左邊求和符號后的列向量分別為方陣、中的列向量C、D；令方程右邊求和符號后的值為行向量、中相應的元素E、F。則各系數(shù)方程聯(lián)立可得：

此時，不難求得多項式系數(shù)、。用此多項式系數(shù)對模擬計算得到的歸一化束流位置信息、進行擬合，再與理想束流位置0、0對比，可以得到相應階數(shù)的多項式擬合精度。不斷調整擬合階數(shù)，即可達到所需擬合精度。

用CST對20 mm×10 mm的區(qū)域進行步長為1mm的掃描，計算時的網(wǎng)格數(shù)為2.1×105，總時間為6 h左右，得到的通過不同階數(shù)多項式擬合圖6所示，圓圈為束流實際位置，星號為擬合結果：從左到右分別為一階、三階、五階擬合得到的水平和垂直位置，從中可知，越高階的擬合在遠離中心的非線性區(qū)符合得越好，而一階近似僅在束流管道中心處符合較好。

圖6 不同階數(shù)擬合UV得到的束流位置 (a) 一階，(b) 三階，(c) 五階

4 BPM設計與優(yōu)化

BPM探頭上信號的計算分為以下幾步：將流強的時域表達式beam()進行傅氏變換得到beam()。根據(jù)轉移阻抗得到電壓信號的頻域表達式im()=t()?beam()。最后對im()進行反傅氏變換得到電壓信號在時域表達式im()。BPM的設計與優(yōu)化主要分為兩個部分：一是對機械尺寸的優(yōu)化即轉移阻抗t()的優(yōu)化；二是對信號傳輸線上的特征阻抗優(yōu)化。關于轉移阻抗的優(yōu)化，由式(6)可知，當電極與束流管道中心的距離變小時，即電極與束流距離越近，轉移阻抗越大，信號越強。增大紐扣型電極的面積也可以增大信號，而增大電極與管道之間的gap會減小電極的電容，從而增大轉移阻抗增大信號。第二部分是對信號傳輸路徑上特征阻抗的優(yōu)化，式(6)并未考慮信號在傳播路徑上的傳輸問題，這一點對條帶型BPM尤為重要。與紐扣型BPM相連的一般為穿墻子和同軸線纜，設計時通過陶瓷絕緣材料和機械尺寸的調配，保證其特征阻抗在50W左右。有時需要優(yōu)化的是從紐扣型電極的端面到穿墻子之間這一段距離的結構，減少阻抗的跳變而設計平滑的過渡則有利于減小信號的反射。通常用電壓反射系數(shù)來衡量阻抗匹配。

為了保證信號在從起始端傳到末端再反射回來的過程中不發(fā)生信號的畸變，通常會保證都是50W的匹配，而在末端一般是短路，條形電極的信號與紐扣型電極的區(qū)別在于會有一正一負兩個脈沖，而兩個脈沖之間的時間間隔則為信號在條形電極上一個來回所需時間，即2/。其上游輸出端口1的信號可以表示為：

代入高斯分布束流的beam()=0?exp(?2/2t2)，則有：

通過傅氏變換條形電極的轉移阻抗t為：

所以條形電極的轉移阻抗有一系列最大值，位于max=(/4)?(2?1)處，其中=1,2,3,……，對于給定的頻率，條形電極的長度的選擇應盡量使其具有更大的轉移阻抗，第一個最大值=/(4acc)=/4，所以有時也稱條帶型BPM為1/4波長耦合器。500MHz對應的波長為600 mm，所以BEPCII的條形電極的長度為150 mm，具體的機械參數(shù)為：管道內徑37 mm，電極外徑28.2 mm，電極厚1 mm，電極張角60°。根據(jù)式(16)計算所得的特征阻抗為53.1W，CST計算結果為56.8W。條形電極的信號頻譜與CST建模的模型如圖7所示，正負脈沖的信號相差1 ns左右，而頻譜上第一個峰值剛好位于500 MHz附近，而相較于紐扣型BPM來說，其頻譜和信號也更為復雜。條形電極的設計不光需要考慮特征阻抗、檢測頻率處分量等，還需要考慮靈敏度與電極之間耦合的問題，增大電極張角可以提高靈敏度，但會引起相鄰電極的耦合，但是根據(jù)CST的計算，其耦合比預計中小，因為水平和垂直方向是獨立的計算位置，在較大電極張角下，電極對相鄰電極耦合較大，對相對電極影響較小。圖7(d)中是不同的電極張角時的差和比變化情況，從圖7中可知，靈敏度（曲線斜率）隨張角而增大，從30°?75°的靈敏度分別為6.43 %?mm?1、6.74 %?mm?1、7.11 %?mm?1、7.27 %?mm?1，雖然增大張角引起了電極間耦合，但對線性區(qū)的影響較小。

圖7 條帶型BPM的CST 模擬結果 (a) 條帶型BPM模型，(b) 時域信號，(c) 頻域信號，(d) 不同電極張角下的差和比

5 結語

BPM是BEPCII上最重要的束測元件，在機器運行的各個時期都發(fā)揮著重要作用，本文主要用CST軟件對BPM探頭所涉及到的信號強度、靈敏度、轉移阻抗以及電極間的耦合進行計算，并針對所用到兩種不同類型的BPM進行驗證，計算結果表明與實際測量結果符合良好。對于非圓形管道上安裝的紐扣型BPM，可以通過調整兩個電極之間的水平距離來得到所需的水平、垂直靈敏度。紐扣型BPM的線性區(qū)相較小，約為管道中心與電極距離的1/3，通過Mapping圖的標定得到更精確的位置信息，擬合時用到的階數(shù)越高，精度越高。條帶型BPM的信號比紐扣型更為復雜，其靈敏度比紐扣型大得多，增大電極張角可提高靈敏度，增加的電極間耦合對線性區(qū)大小影響不太大。目前的BEPCII的BPM系統(tǒng)運轉良好，但是對BPM系統(tǒng)進行深入研究依然有著重要的意義，隨著高能光源等項目的開展，更高精度和分辨率的BPM是必不可少的重要一環(huán)，利用CST可以幫助設計出性能更加優(yōu)異的、符合未來加速器需求的BPM。

致謝 感謝德國重離子研究所Peter Forck和上海光源袁仁賢的幫助。

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4 張闖, 馬力. 北京正負電子對撞機重大改造工程加速器的設計與研制[D]. 上海: 上?？茖W技術出版社, 2013. ZHANG Chuang, MA Li. BEPC reconstruction project: the design and development of the accelerator[D]. Shanghai: Shanghai Science and Technology Press, 2013.

5 岳軍會. BEPCII橫向束流反饋系統(tǒng)的研制[D]. 北京: 中國科學院研究生院, 2005. YUE Junhui. Transverse bunch by bunch feedback system for BEPCII[D]. Beijing: Graduate University of Chinese Academy of Sciences, 2005.

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10 Wu F F, Zhou Z R, Sun B G,Design and calulation of the stripline beam position monitor for HLSII storage ring[C]. International Particle Accelerator Conference, 2013: 562?564.

11 Xu J, Yang Y L, Sun B G,Stripline beam position monitor for THz source based FEL[C]. International Particle Accelerator Conference, 2014: 3590?3592.

12 Wang B P, Leng Y B, Yu L Y,Design of RF front end for cavity beam position monitor based on ICS[C]. International Beam Instrumentation Conference, 2012: 383?385.

13 Chen J, Leng Y B, Yu L Y,Beam experiment of low Q CBPM prototype for SXFEL[C]. International Particle Accelerator Conference, 2016: 202?204.

14 Libera brilliance + electron beam position processor[EB/OL]. 2010. http://www.i-tech.si/.

15 Peter F. Lecture notes on beam instrumentation and diagnostics[R]. CERN Accelerator School Beam Diagnostics, 2016.

16 袁任賢. 束流位置測量的研究以及在BEPCII中的應用[D]. 北京: 中國科學院研究生院, 2004. YUAN Renxian. Development of beam diagnostics system based on digital BPM processor Libera[D]. Beijing: Graduate University of Chinese Academy of Sciences, 2004.

Simulation of BEPCII beam position monitor with CST

HE Jun MA Huizhou WANG Zhizhuo YE Qiang YU Lingda SUI Yanfeng YUE Junhui CAO Jianshe

(Key Laboratory of Particle Acceleration Physics and Technology, Institute of High Energy Physics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

Beam position monitor (BPM) is one of the most important and most commonly used beam instruments. There are more than 150 kinds of BPM components in Beijing electron positron collider II (BEPCII) including the button- and stripline- types.This study aims to analyze the signal generated by the beam’s electromagnetic field and calculate the transfer impedance and sensitivity map.Microwave- and particle- studios of the computer simulation technology (CST) software were used to study the quality of the BPM. The simulation results such as the amplitude of button signal, the sensitivity of horizontal and vertical direction, transfer impedance, coupling coefficient of electrodes, were compared with analytical formula. Further computation of signal for stripline BPM in time and frequency domain were also obtained.It showed that the calculation results accorded quite well with the experimental results.CST is a useful tool to study the character of the BPMs and the simulation results can be used to optimize the geometry of the position monitor.

BPM, Button, Stripline, Transfer impedance, Particle studio

HE Jun, male, born in 1983, graduated from Wuhan University with a doctoral degree in 2011, focusing on beam diagnostics

2017-01-23, accepted date: 2017-03-21

O571，TL99

10.11889/j.0253-3219.2017.hjs.40.100401

何俊，男，1983年出生，2011年于武漢大學獲博士學位，從事束流測量研究

2017-01-23，

2017-03-21

Supported by National Natural Science Foundation of China (No.11305186)

國家自然科學基金(No.11305186)資助