李海燕

（陽泉師范高等?？茖W(xué)校 山西·陽泉 045200）

關(guān)于函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性的研究

李海燕

（陽泉師范高等專科學(xué)校 山西·陽泉 045200）

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)是對初等函數(shù)進(jìn)行表達(dá)的一種工具，級數(shù)的和也就是該函數(shù)的核心問題，被稱為收斂性，包含收斂與一致收斂。本文以函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性預(yù)備知識入手，探究其判別方法，并著手于其推廣定義的研究。并利用MATLAB軟件,結(jié)合當(dāng)代應(yīng)用實(shí)例對函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性進(jìn)行實(shí)驗(yàn)與編程，對函數(shù)序列收斂性的動(dòng)態(tài)過程進(jìn)行探討，表明出一致收斂性的實(shí)質(zhì)。

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)；一致收斂性；MATLAB軟件；研究

初等函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中主要討論內(nèi)容之一，且初等函數(shù)可針對眾多自然現(xiàn)象以及相關(guān)技術(shù)的規(guī)律進(jìn)行解答。但初等函數(shù)并不能滿足客觀規(guī)律所需求的定義與本質(zhì)，因此只有初等函數(shù)知識無法廣泛應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)以及相關(guān)理論之中，而級數(shù)是表示初等函數(shù)本質(zhì)的一種重要工具。為了有效解決這一問題，眾多學(xué)者利用微分、極限、積分等科學(xué)知識表達(dá)初等函數(shù)之外的內(nèi)容，本文針對函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性的研究，為使函數(shù)的運(yùn)用能夠更加方便，從而得到更為廣泛的應(yīng)用。

一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性預(yù)備知識

為了保障函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性判定的順利進(jìn)行，同時(shí)得到MATLAB軟件編程應(yīng)用的方法與程序，對其預(yù)備知識的探討與制定是十分必要的。

理論5：如果函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在區(qū)間中與理論4中所提到的公共函數(shù)不符合或不存在，那么收斂性則為非一致收斂性，相反則為一致收斂性。當(dāng)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂時(shí)，在區(qū)間I中將滿足、、對于時(shí)，函數(shù)。而當(dāng)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)為非一致收斂性時(shí)，符合條件為，此時(shí)對，，此時(shí)，函數(shù)需要滿足大于等于的條件。

此外，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的概念需要更加明確，通常情況下，對于同一個(gè)數(shù)集N來說，當(dāng)x0不同時(shí)，N通常也不同，不僅與有著明確的關(guān)系，還與x0有著緊密的聯(lián)系。因此，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的原則與數(shù)集D中內(nèi)容適應(yīng)的N。與連續(xù)函數(shù)樹立一致收斂性與收斂的概念有著緊密的聯(lián)系。以此可通過函數(shù)一致收斂的相關(guān)定理，可推算出函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的相關(guān)定理。此外，還可以根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的特征進(jìn)行辨別。

二、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性的判別方法

（一）比式判別法

根據(jù)比式判別法的證明內(nèi)容，我們可知比式判別法重點(diǎn)在于比較，利用兩個(gè)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)通項(xiàng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較，較適用于函數(shù)正項(xiàng)級數(shù)收斂性的判斷。此外，比式判別法為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性提供了較為簡單的判別方法，只需將所要判斷的函數(shù)與已知收斂性函數(shù)進(jìn)行比較便可證明函數(shù)項(xiàng)級數(shù)是否一致收斂。通常將等比級數(shù)、調(diào)和級數(shù)等相關(guān)級數(shù)作為比較，因此比式判別法的關(guān)鍵在于選取比較的對象，以此對通項(xiàng)進(jìn)行調(diào)整。

（二）根值判別法

（三）對數(shù)判別法

三、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性推廣定義

（一）函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂定義推廣

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中的函數(shù)列如果在所設(shè)數(shù)集上出現(xiàn)收斂性函數(shù)，則稱函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在數(shù)集上一直收斂。且由于函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性取決于其內(nèi)部部分及相關(guān)數(shù)列，因此可根據(jù)函數(shù)一致收斂性的相關(guān)定義得到等價(jià)函數(shù)定義。此外，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中的部分以及函數(shù)列處于同一數(shù)集之中，如果對于任意正數(shù)總存在著正整數(shù)，則稱函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在數(shù)集中一致收斂。根據(jù)上述內(nèi)容可知，如果要證明函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在數(shù)集中一直收斂，找尋正整數(shù)是關(guān)鍵點(diǎn)，與數(shù)列極限中找尋正整數(shù)的問題較為相似，由此可針對此定理進(jìn)行深入推廣，并得到實(shí)用性較強(qiáng)的方法。

（二）判別法的推廣

根據(jù)上述內(nèi)容，可知對函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性的判定主要有比式、對數(shù)、根值三種判別法，而三種方法在判別的過程中需要分類進(jìn)行，探尋其中注意事項(xiàng)，例如比式判別法的實(shí)質(zhì)在于比較兩個(gè)函數(shù)之間項(xiàng)級數(shù)一致收斂歸零的速度快慢，并通過快慢的差別判斷出較快的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂。此外，根據(jù)對數(shù)判別法法可知函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂與該項(xiàng)級數(shù)中涵蓋的前有限項(xiàng)無關(guān)，在證明過后，亦需利用反證法驗(yàn)證證明結(jié)果，如果函數(shù)在數(shù)集區(qū)間中一致收斂，則對數(shù)判別法中函數(shù)亦呈現(xiàn)出一致收斂，最終查看所得結(jié)果與已知是否矛盾。

四、MATLAB編程應(yīng)用與實(shí)現(xiàn)

（一）編程實(shí)現(xiàn)必要條件

利用MATLAB實(shí)驗(yàn)程序進(jìn)行分析，易了解函數(shù)序列在無窮區(qū)間中收斂于函數(shù)，如果函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在無窮區(qū)間中不一致收斂，根據(jù)比式判定法，只需對函數(shù)序列在無窮區(qū)間中不一致收斂進(jìn)行檢驗(yàn)。

（二）編程實(shí)現(xiàn)界限原理

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)具有一個(gè)充分必要條件，為此利用MATLAB編程驗(yàn)證函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性及非一致收斂性具體需要五個(gè)步驟。首先利用MATLAB軟件對任意函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中s(x)與sn(x)進(jìn)行計(jì)算，然后選取充分小的正數(shù)，畫出相關(guān)函數(shù)的圖像。隨即對n值進(jìn)行不斷提高，并根據(jù)n值的變化畫出相應(yīng)圖像。當(dāng)n提升到足夠大的數(shù)值時(shí)，如果sn(x)的圖像皆落在曲線形成的帶狀區(qū)域中，則可對函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性進(jìn)行猜測。

結(jié)語函數(shù)項(xiàng)級數(shù)是高等數(shù)學(xué)中十分重要的教學(xué)模塊，針對函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性研究在課本上介紹了很多方法，因此如果要判定函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性可以先考慮所給函數(shù)是否可應(yīng)用上述方法探尋到優(yōu)級數(shù)，并將問題逐步轉(zhuǎn)化為函數(shù)正項(xiàng)級數(shù)的收斂性研究，研究方法將會(huì)更加便捷。

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A

1009-8534（2017）05-0120-02

李海燕，陽泉師范高等?？茖W(xué)校講師，碩士。

責(zé)任編輯：徐向陽

審 稿 人：程家超