福建省寧德市第十中學(xué) 彭光清

善用數(shù)學(xué)思想，巧解中考小壓軸題

福建省寧德市第十中學(xué) 彭光清

為了有效地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，近年來(lái)，各地中考試卷在填空選擇題中設(shè)置了一些集幾何、代數(shù)為一體的難度較大的小壓軸題，這些試題將數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含其中，著重對(duì)方程、分類、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般等重要數(shù)學(xué)思想進(jìn)行了內(nèi)斂、平和的考查，盡顯數(shù)學(xué)思想在初中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的核心地位。

中考；小壓軸題；數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的“精髓”與“靈魂”，它不僅蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，而且也滲透在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過(guò)程中。各地中考數(shù)學(xué)試題關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升，著重對(duì)分類、方程、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般等重要數(shù)學(xué)思想進(jìn)行了內(nèi)斂、平和的考查。試題在為學(xué)生提供廣闊的思維空間的同時(shí)，盡顯數(shù)學(xué)思想的和諧、自然、普適的潛力。為考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)而設(shè)計(jì)的選擇題和填空題型最后一題（老師們稱為小壓軸題），往往都具有較強(qiáng)的選拔功能，因其思維難度較高，要完整解答此類問(wèn)題，必須善用數(shù)學(xué)思想。

一、善用方程思想,巧解線段長(zhǎng)問(wèn)題

方程思想是將所求的量設(shè)成未知數(shù)，用它表示問(wèn)題中的其他各量，根據(jù)題中隱含的等量關(guān)系（初中數(shù)學(xué)主要是直角三角形的勾股定理、圖形面積公式、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例、三角形內(nèi)角和定理以及線段間關(guān)系等）列方程（組），通過(guò)解方程（組）或?qū)Ψ匠蹋ńM）進(jìn)行研究，以求得問(wèn)題的解決。

例1 （2017·淄博）如圖，在Rt△ABC中，∠ ABC=90 °，AB=6，BC=8， ∠ BAC，∠ACB的平分線相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F，則EF的長(zhǎng)為（ ）

【分析】延長(zhǎng)FE交AB于點(diǎn)D，作EG⊥BC、作EH⊥AC，先證四邊形BDEG是正方形，接著證△DAE≌△HAE、△ CGE≌ △ CHE， 得 AD=AH、CG=CH， 設(shè) BD=BG=x， 則AD=AH=6-x、CG=CH=8-x，由AC=10可得 x=2，即BG=HE=2、CH=6；再證EF=FC，設(shè)EF=y，HF= 6-y，在Rt△EFH中，根據(jù)勾股定理，可得22+（6-y）2＝y(tǒng)2，解得

【解答】如圖，延長(zhǎng)FE交AB于點(diǎn)D，作EG⊥BC于點(diǎn)G，作EH⊥AC于點(diǎn)H，

故應(yīng)選C。

【數(shù)學(xué)思想解讀】本題解題的關(guān)鍵是通過(guò)線段間的等量關(guān)系和勾股定理建立方程，進(jìn)而求得對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度?？疾榱酥苯侨切蔚男再|(zhì)、角平分線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)。

二、善用分類思想,巧解周長(zhǎng)問(wèn)題

在解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，當(dāng)一些量不確定或圖形位置、形狀不確定，引起問(wèn)題結(jié)果有多種可能時(shí)，就需要對(duì)各種情況進(jìn)行分類解決。分類討論思想在填空、選擇題最后一題中較常見(jiàn)。要注意分類的標(biāo)準(zhǔn)，做到不重復(fù)、不遺漏。

例2 （2017·安徽）在三角形紙片ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AC=30cm，將該紙片沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在斜邊BC上的一點(diǎn)E處，折痕記為BD（如圖1），剪去△CDE后得到雙層三角形BDE（如圖2），再沿著過(guò)△BDE某頂點(diǎn)的直線將雙層三角形剪開(kāi)，使得展開(kāi)后的平面圖形中有平行四邊形，則所得平行四邊形的周長(zhǎng)為cm。

如解題圖2，平行四邊形的邊是DE、EG，且DF=BF=10，

∴平行四邊形的周長(zhǎng)=40。

【數(shù)學(xué)思想解讀】本題以直角三角形剪紙問(wèn)題為背景，考查學(xué)生空間觀念和思維的嚴(yán)密性。解決本題要根據(jù)裁剪方法的不確定性分類討論。

三、善用特殊與一般思想，巧解點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題

由特殊到一般，再由一般到特殊反復(fù)認(rèn)識(shí)的過(guò)程，就是人們認(rèn)識(shí)世界的基本過(guò)程之一。數(shù)學(xué)上這種由特殊到一般，再由一般到特殊的研究數(shù)學(xué)問(wèn)題基本認(rèn)識(shí)過(guò)程，就是數(shù)學(xué)研究中的特殊與一般思想。中考數(shù)學(xué)試題主要通過(guò)探索規(guī)律的形式考查學(xué)生對(duì)特殊與一般思想的領(lǐng)悟。

例3 （2016·濰坊）在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=x-1與x軸交于點(diǎn)A1，如圖所示，依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn-1，使得點(diǎn)A1、A2、A3、…在直線l上，點(diǎn)C1、C2、C3、…在y軸正半軸上，則點(diǎn)Bn的坐標(biāo)是。

【分析】先求出B1、B2、B3的坐標(biāo)，探究規(guī)律后即可解決問(wèn)題。

【解答】∵直線y=x-1與x軸交于點(diǎn)A1，

∴A1點(diǎn)坐標(biāo)（1，0）。

∵四邊形A1B1C1O是正方形，

∴B1點(diǎn)坐標(biāo)（1，1）。

∵C1A2∥x軸，

∴A2點(diǎn)坐標(biāo)（2，1）。

∵四邊形A2B2C2C1是正方形，

∴B2點(diǎn)坐標(biāo)（2，3）。

∵C2A3∥x軸，

∴A3點(diǎn)坐標(biāo)（4，3）。

∵四邊形A3B3C3C2是正方形，

∴B3點(diǎn)坐標(biāo)（4，7）。

發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)依次為 B1（20，21-1），B2（21，22-1），B3（22，23-1），…，

∴Bn坐標(biāo)為（2n-1，2n-1）。

故答案為（2n-1，2n-1）。

【數(shù)學(xué)思想解讀】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是通過(guò)正方形頂點(diǎn)C與A分別落在y軸和直線y=x-1上，先求出前幾個(gè)正方形的頂點(diǎn)B1，B2，B3…，從中探索出一般規(guī)律Bn（2n-1，2n-1）。

四、善用數(shù)形結(jié)合思想,巧解函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題

“數(shù)無(wú)形時(shí)不直觀，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微”道出了數(shù)形結(jié)合的辯證關(guān)系?！耙孕沃鷶?shù)”是借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的?！耙詳?shù)輔形”是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)為手段，形作為目的。在解題過(guò)程中，就是見(jiàn)到數(shù)量就應(yīng)想到它的幾何意義，見(jiàn)到圖形就應(yīng)想到它的數(shù)量關(guān)系。

例4 （2014·臨沂）在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=x2-2x（x≥0）的圖象為C1，C1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象為C2，則直線y=a（a為常數(shù)）與C1、C2的交點(diǎn)共有（ ）

A.1個(gè) B.1個(gè)，或2個(gè)

C.1個(gè)，或2個(gè)，或3個(gè) D.1個(gè)，或2個(gè)，或3個(gè)，或4個(gè)

【分析】畫出C1的圖象，根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的關(guān)系可得C2，根據(jù)直線y=a（a為常數(shù)）與C1、C2的交點(diǎn)，可得答案。

【解答】如圖，函數(shù)y=x2-2x（x≥0）的圖象為C1，C1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象為C2，C2的圖象是y=-x2-2x（x≤0）。

直線y=a（a為常數(shù)）從下往上移動(dòng)時(shí)，

直線y=a與C1沒(méi)有交點(diǎn)，與C2有一個(gè)交點(diǎn)，共有一個(gè)交點(diǎn)；

直線y=a經(jīng)過(guò)C1的頂點(diǎn)時(shí)，與C2有一個(gè)交點(diǎn)，共有兩個(gè)交點(diǎn)；

直線y=a（a為常數(shù)）與C1有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，與C2有一個(gè)交點(diǎn)，共有3個(gè)交點(diǎn)…

所以，直線y=a（a為常數(shù)）與C1、C2的交點(diǎn)共有1個(gè)，或2個(gè)，或3個(gè)。

故應(yīng)選擇C。

【數(shù)學(xué)思想解讀】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，先畫出C2的圖象，借助圖象的直觀性，將很快求得交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

【參考資料】

[1]福建省教育廳．2017年福建省中考初中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)與考試指導(dǎo)意見(jiàn)[M]．福州：海峽出版發(fā)行集團(tuán)，2017．

[2]馬小為．中學(xué)數(shù)學(xué)解題思想方法技巧[M]．陜西：陜西師范大學(xué)出版社，2006．