龔景煊

摘要：對于高三學(xué)生來說，每天都要做大量的數(shù)學(xué)題，是一件非常常見的事。但我們要思考的如何在有限的時(shí)間里，要做到高效，效果顯著等問題。所以，我個(gè)人認(rèn)為，要對每一個(gè)問題搞清來龍去脈，弄清問題的本質(zhì)，這樣有利于提高效率，起到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：效果效率本質(zhì)

問題起源：在一次高三數(shù)學(xué)模擬卷測試中，原題為：如圖，已知三棱錐 的所有棱長均相等，點(diǎn) 滿足 ，點(diǎn) 在棱 上運(yùn)動，設(shè) 與平面 所成角為 ，則 的最大值為__________.

考試結(jié)束后，我對這個(gè)題目進(jìn)一步的思考和研究，我當(dāng)時(shí)的做法：

解法1：（用建系的方法）設(shè) ，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。

則

設(shè) ，

所以 ，取平面 的一個(gè)法向量為 ，

所以， .

當(dāng) 時(shí)，取到等號。

解法2：（用綜合的方法）如圖，過點(diǎn) 作 ，交點(diǎn) 必在 上，因?yàn)?，所以 .所以 為直線 與面 所成的角。設(shè) ， ，所以，

由 得， .

所以， .

當(dāng) 時(shí)，取到等號。

我用兩種方法做完這個(gè)題目后，當(dāng) 取到最大值時(shí)，我發(fā)現(xiàn)點(diǎn) 的位置剛好在 的中點(diǎn)，而點(diǎn) 是恰好是 的四等分點(diǎn)處。取 的中點(diǎn) 時(shí)，則我們可以發(fā)現(xiàn) ，所以 ，當(dāng) 取得最大值時(shí)，角 剛好就是二面角的平面角 。

于是我對這個(gè)問題進(jìn)一步的思考，當(dāng)點(diǎn) 在邊 上運(yùn)動時(shí)，此問題本質(zhì)就相當(dāng)于 是面內(nèi)的一條動直線，這樣問題就相當(dāng)于：在一個(gè)二面角內(nèi)，一個(gè)半平面的動直線與另一個(gè)半平面所成的最大角，那就是二面角的平面角。

下面證明一個(gè)平面內(nèi)的動直線與另一個(gè)半平面所成角的最大角就是二面角的平面角。

證明：如右圖所示， 是二面角的平面角， 是直線 與平面所成的角。 ， ，因?yàn)?所以 ，所以， ，所以問題得證。

類似題：（2014年浙江高考理科第17題）.如圖，某人在垂直于水平地面 的墻面前的點(diǎn) 處進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知點(diǎn) 到墻面的距離為 ，某目標(biāo)點(diǎn) 沿墻面上的射線 移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn) ，需計(jì)算由點(diǎn) 觀察點(diǎn) 的仰角 的大?。ㄑ鼋?為直線 與平面 所成的角），若 ， ， ，則 的最大值是_______.

分析：有了上一題解題方法的總結(jié)此題我就可以秒殺了。動直線 與平面 所成的最大角就是平面 與平面 所成的二面角的平面角。馬上可以得到問題的答案 。

解題后記，我們高三一年需要做大量的數(shù)學(xué)題目，為了把自己從大量的題海戰(zhàn)術(shù)中解放出來，提高自己的解題速度、解題能力，提高復(fù)習(xí)效率。作為我們高三學(xué)生在解題過程中更多地要思考問題的本質(zhì)，對一類問題從多角度，多層次的不斷嘗試，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)和解題方法，特別要總結(jié)出某一類的數(shù)學(xué)本質(zhì)，做到觸類旁通，這樣才有利于節(jié)約我們的時(shí)間，提高復(fù)習(xí)的有效性。

參考文獻(xiàn)：

1.2014年浙江省高考真題；

2.必修2《人教A版》教科書endprint