鄧貴蘭

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課程，這門課程學(xué)習(xí)的好壞，直接影響到其它后續(xù)課程的學(xué)習(xí)。而檢查這門課程掌握的程度主要是對概念的理解、對定理的應(yīng)用，其中重要的手段之一就是研究命題的證明。

證明命題的方法很多，通過構(gòu)造輔助函數(shù)使某些命題得到簡捷而明了的證明，就是一個很好的方法。在數(shù)學(xué)分析中，拉格朗日中值定理、柯西中值定理、不等式與恒等式的證明、拉格朗日條件極值、線性微分方程求解公式等，都是通過構(gòu)造一個輔助函數(shù)來完成推證的。同樣柯西中值定理的證明也是通過構(gòu)造輔助函數(shù)而得證的。

輔助函數(shù)方法是數(shù)學(xué)分析中解決問題的一種重要方法，在證明和計算過程中，有些問題直接去做往往很困難，而構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)去進(jìn)行證明和計算往往可以化難為易，使問題迎刃而解。

一、輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)分析中的重要性

（一）輔助函數(shù)的基本特點

第一，輔助函數(shù)題設(shè)中沒有，結(jié)論中也不存在，構(gòu)造輔助函數(shù)僅是解題的一個中間過程，類似于平面幾何中的輔助線，起輔助解題的作用，如我們熟悉的拉格朗日中值定理、柯西中值定理的證明。

第二，同一個命題可構(gòu)造不同的輔助函數(shù)用于解題。

第三，表面上看構(gòu)造輔助函數(shù)的思路較寬廣，實質(zhì)上，不同的輔助函數(shù)直接關(guān)系到解題的難易。

因此，構(gòu)造最恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)是解題的關(guān)鍵。

（二）輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)分析中的重要性

數(shù)學(xué)分析中許多理論問題的解決都涉及到構(gòu)造輔助函數(shù)的方法。某些很復(fù)雜的問題構(gòu)造了一個適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，能使問題變得非常簡單。具體體現(xiàn)在：

（1） 微分中值定理的證明引入了輔助函數(shù)，通過明確的函數(shù)關(guān)系式，使其證明得到了完美的解決。

由此可見，輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)分析中的證明和計算中發(fā)揮著十分重大的作用。

二、輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

（一）輔助函數(shù)在微分中值定理中的應(yīng)用

微分中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，而其證明往往需要構(gòu)造輔助函數(shù)，是微積分教學(xué)活動的重點之一，也是教學(xué)中的難點。因此，研究輔助函數(shù)的構(gòu)造方法對于我們學(xué)習(xí)和掌握微分中值定理來說是十分必要的。

（二）輔助函數(shù)在判別方程根的存在性中的應(yīng)用

解方程 ，實質(zhì)上就是求函數(shù) 的零點。有關(guān)于函數(shù)零點的問題，許多都是通過構(gòu)造輔助函數(shù)作為橋梁，再應(yīng)用相應(yīng)的定理得以使問題解決。

1.應(yīng)用零點存在定理判別方程根的情況

應(yīng)用零點存在定理判別方程根的情況時，將方程一端化為零，令另一端為某一函數(shù)，構(gòu)造出輔助函數(shù).

2.應(yīng)用羅爾定理判別方程根的情況

應(yīng)用羅爾定理判別方程根的情況時，將方程一端化為零，選取另一端的原函數(shù)為輔助函數(shù).

（三）輔助函數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用

用輔助函數(shù)證明不等式，常用的方法有：利用函數(shù)的單調(diào)性、利用拉格朗日中值定理、利用函數(shù)的凸凹性。

利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式：

2.3.2利用拉格朗日中值定理證明不等式

2.3.3利用函數(shù)的凸凹性證明不等式

（四）輔助函數(shù)在證明恒等式中的應(yīng)用

（五）輔助函數(shù)在求函數(shù)極限中的應(yīng)用

在求離散型變量的極限時往往通過構(gòu)造輔助函數(shù)使離散變量連續(xù)化，然后（六）輔助函數(shù)在計算積分及求導(dǎo)函數(shù)值中的應(yīng)用

有時確定被積函數(shù)的原函數(shù)是十分困難的，若能引入適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，困難就解決了.

（七）輔助函數(shù)在近似計算中的應(yīng)用

輔助函數(shù)可以很簡便地解決一些證明問題，用好輔助函數(shù)能起到事半功倍的效果。構(gòu)造輔助函數(shù)的內(nèi)涵十分豐富，沒有固定的模式和方法。在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)過程中，有意識地培養(yǎng)學(xué)生掌握構(gòu)造輔助函數(shù)法且能用來解決問題，有助于學(xué)生加深和概括所學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生良好的邏輯思維能力。