文︳潘小明

數(shù)學(xué)解題反思：層次性及其案例（上）

文︳潘小明

潘小明，北京大學(xué)教育學(xué)院博士，教授，碩士生導(dǎo)師，兼任泰州市陶研會副會長、數(shù)學(xué)學(xué)會理事，中國高職院校學(xué)術(shù)委員會委員。主持省級以上課題5項，擔(dān)任省數(shù)學(xué)重點(diǎn)學(xué)科方向帶頭人、省數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論精品課程負(fù)責(zé)人和校數(shù)學(xué)教育教學(xué)團(tuán)隊負(fù)責(zé)人。出版學(xué)術(shù)專著、教材多部，發(fā)表論文120余篇。先后獲市人民政府獎8項，省教學(xué)成果獎1項、省教育研究成果獎2項、省教育管理成果獎1項。先后被評為省教科研先進(jìn)個人、省“青藍(lán)工程”學(xué)術(shù)帶頭人和省“333工程”培養(yǎng)對象。

早在上世紀(jì)80年代，Zeichner&Liston就曾根據(jù)Van Manen的研究提出了關(guān)于學(xué)習(xí)者反思具有低、中、高等不同層次的觀點(diǎn)[1][2]。國內(nèi)也有學(xué)者把反思劃分為“前反思”“準(zhǔn)反思”和“反思”三種不同水平的反思層次[3]。那么，就中學(xué)生數(shù)學(xué)解題這一特定的實(shí)踐而言，實(shí)踐者的實(shí)踐反思在層次上有怎樣的特點(diǎn)？針對這一現(xiàn)實(shí)而基本的問題，研究者于2015年3月開始對江蘇省中部地區(qū)某農(nóng)村初中學(xué)生數(shù)學(xué)解題反思的行為進(jìn)行了跟蹤研究，初步概括了初中生數(shù)學(xué)解題反思的常識性、知識性、技術(shù)性和思想性特點(diǎn)，本文擬結(jié)合具體案例對這4種不同層次的反思進(jìn)行簡要的描述與分析。

1.解題反思的常識性層次

這種層面的反思表現(xiàn)對當(dāng)下數(shù)學(xué)解題活動瞬間的常識化思維，本質(zhì)上是一種對數(shù)學(xué)解題活動沒有深層思考的準(zhǔn)反思。研究者在調(diào)研時發(fā)現(xiàn)，成績較差的學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中如果遇到了自己熟悉的數(shù)學(xué)刺激或問題情境，就容易表現(xiàn)出常規(guī)式、習(xí)慣性“想一想”“推一推”的數(shù)學(xué)活動方式。他們的數(shù)學(xué)解題行為更多地表現(xiàn)出一種自動化、半自動化的特性。個別訪談時發(fā)現(xiàn)，一些學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中之所以出現(xiàn)數(shù)學(xué)錯誤，是因?yàn)樗麄兊姆此际冀K處于一種即時化、意識流式的常識狀態(tài)，在數(shù)學(xué)思維上沒有或很少涉及下一步該如何行動以及為什么這樣行動。從本質(zhì)上看，與其說這些學(xué)生處于數(shù)學(xué)解題反思狀態(tài)中，還不如說他們僅僅是處于數(shù)學(xué)解題活動的準(zhǔn)反思狀態(tài)中。

案例1 求4m的倒數(shù)。

案例描述與分析 在一個有45名學(xué)生的班級中，有6名學(xué)生的答案都是

研究者就該題解答的思維過程對錯解學(xué)生進(jìn)行了訪談，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，他們之所以得出錯誤的答案，是因?yàn)樗麄儗Φ箶?shù)這一概念有著自以為是式的“過于熟悉”。針對做這個題目“你是怎樣想的”，有學(xué)生回答：“求數(shù)x的倒數(shù)，就是求一個與其相乘的積為1的數(shù)。4m就相當(dāng)于x，答案肯定是”“求一個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)只要把這個數(shù)的分子和分母交換位置，4m的分子是4m，分母為1，交換分子與分母的位置，答案當(dāng)然是”顯然，學(xué)生的解答是在一種自動化、半自動化思維狀態(tài)下獲得的，是基于“求一個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要把這個數(shù)的分子和分母交換位置”這一常識求解一個分式的倒數(shù)，而沒有就所求數(shù)學(xué)對象4m的取值范圍進(jìn)行分析，沒有意識到當(dāng)m等于0時，4m的倒數(shù)并不存在。

由于學(xué)生的解題反思水平僅僅處于常識性的層次，他們在解題過程中就容易被一些看起來合情合理的常識所迷惑。比如，正數(shù)是表示大于0的數(shù)，對應(yīng)的符號用+表示，負(fù)數(shù)是表示小于0的數(shù)，對應(yīng)的符號用-表示，這是一種常識。在特定的數(shù)學(xué)情境下，這種所謂的常識會掩蓋數(shù)學(xué)整體的意義，稍有不慎，就有可能犯實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)錯誤。一個典型的例子是，在對學(xué)生進(jìn)行“比較4m與-4m大小”這一類題的測試中，有學(xué)生就因?yàn)樗^的常識而不加分析地斷定4m是正數(shù)、-4m是負(fù)數(shù)，并由此得到4m＞-4m的唯一答案，而沒有認(rèn)識到字母m除了可取正值，還可取負(fù)值或0，4m與-4m的大小比較要根據(jù)m的取值進(jìn)行討論?？偟膩碚f，僅僅處于常識性反思層面的學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中并非沒有“想一想”“推一推”，只是他們的“想一想”“推一推”更多地停留于非常淺顯的數(shù)學(xué)思維層次。

2.解題反思的知識性層次

解題的第一要務(wù)是把題目解出來，基于這種基本使命，學(xué)生對題目“究竟怎么解決”“究竟怎么做”往往有較高的關(guān)注度，由此也使他們的解題反思表現(xiàn)出知識性層次的特點(diǎn)。這種特點(diǎn)表現(xiàn)為學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)題目中相關(guān)概念、命題、法則“所知”的反思，并因此產(chǎn)生對問題中相關(guān)要素界定的思維。比如，有學(xué)生在討論中會問：“這句話是什么意思？”“這個式子是什么含義？”“條件或結(jié)論在說什么？”知識性層次解題反思也會表現(xiàn)為學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)題目中相關(guān)概念、命題、法則“所識”的反思。這是學(xué)生基于個人經(jīng)驗(yàn)、見識對當(dāng)下數(shù)學(xué)問題及其解答過程中相關(guān)刺激、相關(guān)要素進(jìn)行必要的辨認(rèn)、識別、判斷，并據(jù)此產(chǎn)生進(jìn)一步問題表征、方法匹配、解題決策的解題行為?？梢姡谥R性層次的解題反思中，學(xué)生不僅結(jié)合個人的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)對當(dāng)下的事實(shí)性、命題性和程序性三類數(shù)學(xué)知識進(jìn)行必要的提取，而且據(jù)此進(jìn)一步揭示待解數(shù)學(xué)題目的一些特征，初步分析問題所屬的類型，基于“所知”“所識”進(jìn)行解題思路、模式和經(jīng)驗(yàn)的匹配與對接。

案例2 在一節(jié)習(xí)題課上，數(shù)學(xué)教師要求學(xué)生解答如下的一道選擇題：

A．第一、二象限 B．第一、三象限

C．第二、四象限 D．第三、四象限

案例描述與分析 研究者對迅速給出正確答案的一些學(xué)生進(jìn)行了訪談，發(fā)現(xiàn)他們在解此題時主要涉及如下的一些反思：“這個函數(shù)的自變量應(yīng)當(dāng)是x吧？這個函數(shù)是什么函數(shù)呢？”“a2-a+2在這里是什么意思？有什么特性？”“這個函數(shù)是一個反比例函數(shù)嗎？題目中的a2-a+2是對應(yīng)于反比例函數(shù)y=（k≠0）中的k嗎？”“對于反比例函數(shù)y=（k≠0），當(dāng) k＞0 時，圖像在第一、三象限；當(dāng) k＜0時，圖像在第二、四象限，對嗎？”“先判斷a2-a+2的正負(fù)情況才能判斷這個反比例函數(shù)的圖像特性，如何判斷a2-a+2的正負(fù)呢？”“我是不是要把a(bǔ)2-a+2進(jìn)行配方，看能不能利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷它是否是一個恒大于0或恒小于0的代數(shù)式呢？”

“思維始于困惑、困難或混亂的情境”[4]。在數(shù)學(xué)解題中，引發(fā)學(xué)生思維的情境并非總是通常意義上的“后思”情境，而是一種“前思”情境。數(shù)學(xué)解題反思更多地是一種“后思”，即學(xué)生在解完一道題之后對自己的解題過程和所獲得的結(jié)論進(jìn)行反復(fù)思考。在著手解題之前，對相應(yīng)的知識進(jìn)行反思既可以看成對以往解題經(jīng)驗(yàn)的“后思”，也可以看成當(dāng)前解題活動的“前思”。在本案例中，學(xué)生為了判斷函數(shù)圖像兩個分支所在的象限，需要對a2-a+2的正負(fù)情況進(jìn)行判斷，本質(zhì)上是對反函數(shù)圖像性質(zhì)和特殊代數(shù)式非負(fù)性等數(shù)學(xué)知識進(jìn)行必要的檢視，是通過知識層面的解題反思使自己進(jìn)一步明晰題意、確立更加合理的解題方向。

案例3 下午4點(diǎn)到5點(diǎn)，電視里播出一部動畫片，開始時分針與時針正好成一條直線，結(jié)束時兩針正好重合，試求解這部動畫片播了多少時間？

案例描述與分析 在這一測試中，研究者要求3名學(xué)生就本題的解答進(jìn)行出聲思維。為了說明出聲思維的含義，研究者本人結(jié)合其他數(shù)學(xué)題目的思考過程進(jìn)行了必要的示范。

研究者發(fā)現(xiàn)，被試學(xué)生拿到題目后，先是讀了兩遍題目，然后準(zhǔn)備在作業(yè)紙上書寫。不過，他們很快放下了筆，因?yàn)樗麄儾恢缹懯裁础Ｑ芯空邌l(fā)他們：“動筆之前，好好想一想喲！”但后來發(fā)現(xiàn)有2位學(xué)生開始自言自語：“這好像是小學(xué)里的算術(shù)問題！”“什么類型的呢？”“我想想！”“行程問題？噢，不，不是的。”“有點(diǎn)像追及問題。”“我如果把分針和時針分別看成2個人，不就是分針這個人追趕時針這個人，追趕的時間不就是動畫片播放的時間嗎？”“嗯，解答有了。只要假設(shè)時針行走的速度為每小時1格，則分針行走的速度就是每小時12格，如果這部動畫片播了x小時，那么分針行走到與時針重合時也需要x小時，根據(jù)題目的信息，因?yàn)榉轴槺葧r針多走6格，所以可以列出方程：12x＝1·x+6，嗯，搞定！”在該案例中，類似的問題通常被稱為鐘面問題。開始時，分針與時針成一條直線，所以相差180°；結(jié)束時兩針重合，所以相差0°。有學(xué)生在表征問題階段，聯(lián)想到小學(xué)階段應(yīng)用題中的追及問題，本身體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)模式的識別。據(jù)此，這些學(xué)生不僅重新理解了待求解的數(shù)學(xué)題目，而且解題時的思路顯得十分清晰。

中學(xué)生在數(shù)學(xué)解題反思中的“所識”直接影響著其“所知”的狀態(tài)。的值這道計算題中，有學(xué)生感覺分式中的分子、分母幾乎是不能直接計算的，但當(dāng)他們一旦識別到題目的數(shù)學(xué)模式：

很快地求出待解分式中分子與分母其實(shí)是相同的，因而所求結(jié)果為1。學(xué)生解題中的“所識”一方面來源于平時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，另一方面來源于解題實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。

（待續(xù)）