江蘇省鹽城市亭湖高級(jí)中學(xué) 孫 東

平面向量在解析幾何中的應(yīng)用

江蘇省鹽城市亭湖高級(jí)中學(xué) 孫 東

平面向量與解析幾何是高中數(shù)學(xué)課程至關(guān)重要的組成內(nèi)容，也是高考考查的熱點(diǎn)和重難點(diǎn)之一。從平面向量角度研究解析幾何問(wèn)題，往往可以使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，使解題更加快速、簡(jiǎn)便、高效，同時(shí)也有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、深刻性、靈活性以及創(chuàng)造性，提高學(xué)生的解題能力。

一、向量數(shù)量積在解析幾何中的應(yīng)用

向量數(shù)量積是解答解析幾何問(wèn)題中較為常見(jiàn)的方法之一，近年來(lái)，向量數(shù)量積與圓錐曲線(xiàn)的交匯和綜合應(yīng)用是高考命題的一大熱點(diǎn)。

例1 如圖1，過(guò)拋物線(xiàn)x2=4y的對(duì)稱(chēng)軸上任一點(diǎn)P（0，m）(m＞0)，作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，若設(shè)點(diǎn)P分有向線(xiàn)段所成的比為λ，求證：

證明：由題意可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+m，將其代入x2=4y中，可得x2-4kx-4m=0 ①，

設(shè)A（x1，y1）、B(x2，y2)，則由①可知：

x1+x2=4k， x1.x2=-4m。

圖1

【點(diǎn)評(píng)】平面向量的數(shù)量積在求解解析幾何有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直等問(wèn)題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用，它可以使幾何問(wèn)題坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化，達(dá)到化難為易的目的。

二、向量夾角公式在解析幾何中的應(yīng)用

設(shè)θ是 與 的夾角（0＜θ＜180°），由向量數(shù)量積的定義可知cosθ=當(dāng)時(shí)，則②當(dāng)時(shí)，③當(dāng) .＞0時(shí)，

解：由題意可知，A（-2，0），B（2，0），設(shè) M（x0，y0），

圖2

又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，所以-2＜x0＜2。

∵-2＜x0＜2，∴2-x0＞0，∴則∠MBP為銳角，從而可知∠MBN為鈍角，所以點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。

【點(diǎn)評(píng)】在運(yùn)用向量夾角公式求解解析幾何問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先用向量將坐標(biāo)表示出來(lái)，然后再使用向量夾角公式使問(wèn)題迎刃而解。

三、共線(xiàn)向量定理在解析幾何中的應(yīng)用

共線(xiàn)向量又被稱(chēng)之為平行向量。在平面內(nèi)，若兩個(gè)向量 和 （≠0），存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得則向量共線(xiàn)，即共線(xiàn)向量定理。在解析幾何中，巧用共線(xiàn)向量定理解題可以化繁為簡(jiǎn)，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，提高解題效率。

圖3

【點(diǎn)評(píng)】?jī)上蛄抗簿€(xiàn)的充要條件是a=λb(b≠0)，在求解有關(guān)共線(xiàn)向量的解析幾何問(wèn)題時(shí)，其關(guān)鍵在于正確理解共線(xiàn)向量與解析幾何中平行線(xiàn)、三點(diǎn)共線(xiàn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，先設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用共線(xiàn)向量的充要條件和坐標(biāo)運(yùn)算使問(wèn)題有效獲解。

總之，平面向量融數(shù)與形于一體，與解析幾何有著十分密切的聯(lián)系。在平時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)重視平面向量與解析幾何的交匯與應(yīng)用，有效滲透平面向量解題方法，巧妙引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)去思考、探索、領(lǐng)悟平面向量公式、定理和相關(guān)知識(shí)，體會(huì)平面向量解題的優(yōu)越性，形成自覺(jué)應(yīng)用平面向量的意識(shí)，從而不斷拓寬學(xué)生思路，發(fā)散學(xué)生思維，強(qiáng)化學(xué)生推理運(yùn)算和解題能力。