湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)盤龍校區(qū) 李紅春 (郵編:430312)

一類以“拐點”為背景的函數(shù)試題解法及思考

湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)盤龍校區(qū) 李紅春 (郵編:430312)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,以高等數(shù)學(xué)知識為背景的函數(shù)題,因其背景公平,能考查學(xué)生臨場應(yīng)變能力,和后繼學(xué)習(xí)的能力,倍受命題者的青睞．通過研究發(fā)現(xiàn),以高等數(shù)學(xué)中的“拐點”知識為背景的試題正悄然升溫,值得關(guān)注．

1 “拐點”的概念

拐點,又稱“反曲點”,是函數(shù)圖象凸凹的分界點,是函數(shù)的一階導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性發(fā)生改變的點,直觀地說,就是使切線穿越曲線的點．對于可導(dǎo)的函數(shù)f(x)而言,若其在拐點處有二階導(dǎo)數(shù),則二階導(dǎo)數(shù)為零,且二階導(dǎo)數(shù)在拐點附近兩側(cè)異號．比如:順著x軸的正方向看,在x＝0附近,f(x)＝x3圖象從上凸變?yōu)橄峦?函數(shù)f(x)＝sinx的圖象從下凸變?yōu)樯贤?所以零是它們的拐點．有些函數(shù)可能沒有拐點,如二次函數(shù),有些函數(shù)只有一個拐點如f(x)＝x3,而有些可能有多個,如f(x)＝sinx．

2 應(yīng)用

考點1拐點處的切線“穿越”曲線

例1已知函數(shù)f(x)的圖象在點(x0,f(x0))處的切線的方程為l:y＝g(x),若函數(shù)f(x)滿足?x∈I(其中I為函數(shù)f(x)的定義域),當(dāng)x≠x0時,(f(x)－g(x))(x－x0)＜0恒成立,則稱x0為函數(shù)f(x)的“分界點”,已知函數(shù)f(x)滿足則函數(shù)f(x)分界點的個數(shù)為______．

解法1,故可設(shè)f(x)＝6x－x2－4lnx－c,由f(1)＝5,得c＝0,即f(x)＝6x－x2－4lnx,(f(x)－g(x))(x－x0)＜0?當(dāng)x∈(0,x0)時,f(x)－g(x)＞0;當(dāng)x∈(x0,＋∞)時,f(x)－g(x)＜0;依題意得,

故h(x)＝f(x)－g(x)＝6x－x2－4lnx－,則令得．故當(dāng)x0＝2時,對?x∈(0,＋∞),都有h′(x)＜0,函數(shù)h(x)為減函數(shù),而h(x0)＝0,則對任意x∈(0,x0),h(x)＞h(x0)＝0,即f(x)－g(x)＞0;當(dāng)x∈ (x0,＋∞)時,h(x)＜h(x0)＝0,即f(x)－g(x)＜0;所以x0＝ 2是“分界點”．當(dāng)x0＞ 2時,對任意x∈),h′(x)＜0,h(x)為減函數(shù),當(dāng)x∈時,h′(x)＞0,h(x)遞增,則存在m使得h(m)＜h(x0)＝0,這與“分界點”的要求矛盾．同理,當(dāng)0＜x0＜ 2時,也不符合題意．

故“分界點”的個數(shù)只有一個．

解法2f′(x)＝6－故可設(shè)f(x)＝6x－x2－4lnx－c,由f(1)＝5,得c＝0,即f(x)＝6x－x2－4lnx,x∈ (0,＋∞),于是f″(x),令f″(x)＝0,得又f″(x)在兩側(cè)異號,故是圖象的拐點,亦即是題目中的“分界”點．

圖1

點評本題是一個新定義型試題,本質(zhì)上是高等數(shù)學(xué)中的“拐點”用簡單明了的初等數(shù)學(xué)式子進行包裝,相對于解法1的繁瑣,解法2從本質(zhì)出發(fā),即切線在切點處“穿越”了曲線,且切點兩側(cè)不再有交點．如圖1所示,當(dāng)時,f″(x)＞0,f′(x)遞增,即曲線的切線斜率由小變大;當(dāng)時,f″(x)＜0,f′(x)遞減,即曲線的切線斜率由大變小．可見曲線的切線在橫坐標(biāo)x＝2的切點處“穿越”了曲線,且除了切點再無其他交點,2就是函數(shù)f(x)的拐點．

考點2拐點與對稱中心

例2(湖北省2016屆八校聯(lián)考題)已知直線x－9y－8＝0與曲線C:y＝x3－px2＋3x相交于A、B,且曲線在A、B處的切線平行,則實數(shù)p的值為( )

A．4 B．4或－3

C．－3或－1 D．－3

解法1由y＝x3－px2＋3x,得:y′＝3x2－2px＋3,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則曲線C在點A、B處的切線斜率分別為,令＋3＝m,則x1、x2是方程3x2－2px＋3－m＝0的兩個根,則,一方面

當(dāng)p＝－1時,曲線C:y＝x3＋x2＋3x,y′,曲線C與直線x－9y－8＝0只有一個交點,舍去．

故p＝4或－3．

解法2y′＝3x2－2px＋3x,y″＝6x－2p,由y″＝0得則,于是曲線C的對稱中心為

將對稱中心代入直線x－9y－8＝0,得p3－13p－12＝0,解之得:p＝－1,－3或4,后略．

點評作為一道選擇題,解法1計算量大,變形較為復(fù)雜,是典型的“小題大做”;解法2由題意出發(fā),分析出直線必過三次函數(shù)的對稱中心后,先借助二階導(dǎo)數(shù),求出函數(shù)f(x)的對稱中心,再代入直線方程求解,解答簡潔明了,應(yīng)該是命題者的初衷．事實上,三次函數(shù)的拐點就是其對稱中心的橫坐標(biāo)．

2．3考點3拐點偏移

一般地,對于可導(dǎo)函數(shù)f(x),若x＝n是其拐點,那么:①當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象在點(n ,f(n))兩側(cè)(兩側(cè)附近)的圖象具有中心對稱性時,拐點即是函數(shù)圖象(或局部圖象)的對稱中心,這時若f(x1)＋f(x2)＝2f(n),則x1＋x2＝2n;②若函數(shù)f(x)的圖象在點(n ,f(n))兩側(cè)(兩側(cè)附近)的圖象不具有中心對稱性時,我們形象的稱之為拐點發(fā)生了“偏移”,這時若f(x1)＋f(x2)＝2f(n),則x1＋x2≠2n,具體說,當(dāng)x1＋x2＞2n,則拐點左偏;當(dāng)x1＋x2＜2n,則拐點右偏．

例3(武鋼三中2017屆高三訓(xùn)練題)已知函數(shù)f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),設(shè)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函數(shù)f(x)圖象上不同的兩點,且滿足f(x1)＋f(x2)＝0,求證

證明≥0,即f(x)在(0,＋∞)內(nèi)遞增,不妨設(shè)x1＜x2,注意到結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性知:,要證而f(x1)＋f(x2)＝0,即只需證

例4(黃陂一中2017屆高三周練題)已知函數(shù)f(x)＝2lnx＋x2＋x,若正實數(shù)x1、x2滿足f(x1)＋f(x2)＝4,求證:x1＋x2≥2．

證明,故f(x)在(0,＋∞)內(nèi)遞增,不妨設(shè)x1≤x2,由f(1)＝2知,x1≤1,x2≥1,要證x1＋x2≥2?x1≥2－x2?f(x1)≥f(2－x2)?4－f(x2)≥f(2－x2)?f(x2)＋f(2－x2)≤4．設(shè)F(x)＝f(x)＋f(2－x),x≥1,則

即F′(x)≤0,故F(x)在 [1 ,＋∞)內(nèi)遞減,于是F(x)≤F(1)＝2f(1)＝2×2＝4．

點評以上兩道試題都是已知f(x1)與f(x2)的關(guān)系,證明與x1、x2有關(guān)的不等式,若從條件中的雙變量函數(shù)方程出發(fā),要用x1、x2中的一個量表示另一個量很難,于是從結(jié)論著手,采用分析法,借助函數(shù)f(x)的單調(diào)性,將待證的不等式不斷等價轉(zhuǎn)化,最終歸結(jié)為只含有x1或x2的不等式,最后通過構(gòu)造函數(shù),借助單調(diào)性解決問題．

本質(zhì)上講,極值點偏移刻畫的是函數(shù)圖象的“軸對稱”形態(tài),而拐點偏移刻畫的是函數(shù)圖象的“中心對稱”形態(tài)．從近年來,“極值點偏移”問題已經(jīng)連續(xù)多次出現(xiàn)在高考試卷中,如2010年天津卷、2011年遼寧卷、2013年遼寧卷、2016年全國乙卷等,高考命題講究傳承與創(chuàng)新,所以筆者認(rèn)為:“拐點偏移”問題極有可能成為下一輪高考命題的新熱點,值得關(guān)注!

2017-07-05)