☉湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院 張素婷

引入多樣情境，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象
——基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“數(shù)列概念”教學(xué)設(shè)計

☉湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院 張素婷

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會需要的必備品格與關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn).高中數(shù)學(xué)課標(biāo)修訂組指出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析.其中數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程.主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號或數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征［1］.

如何在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)是教學(xué)實施者關(guān)心的問題，凡是概念學(xué)習(xí)均能培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).本文僅從數(shù)學(xué)情境這一環(huán)節(jié)以“數(shù)列概念”為例，探討如何在課堂教學(xué)中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象，落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，旨在拋磚引玉.

一、基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)要求

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》對數(shù)列概念教學(xué)的要求是通過日常生活中的實例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)［2］.所謂了解，就是對所學(xué)知識有初步的感性認識，知道這一知識內(nèi)容是什么，會按照一定的程序和步驟操作，并會模仿地利用所學(xué)知識解決簡單問題.對于數(shù)列的概念而言，能由一些具體事例分析出數(shù)列的共同屬性，歸納出本質(zhì)屬性，能用數(shù)學(xué)符號給予表征，能通過觀察感知實際情境表示出數(shù)列，從而領(lǐng)悟數(shù)列與函數(shù)的關(guān)聯(lián)與區(qū)別，能識別哪些是數(shù)列，這是一個具體-抽象-具體的過程，是形象思維到抽象思維的過渡，滲透了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，故而數(shù)列概念可作為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)良好的培養(yǎng)基.

二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)理論基礎(chǔ)

眾所周知，概念教學(xué)是課堂教學(xué)的重中之重，而數(shù)學(xué)概念形成的過程實則數(shù)學(xué)抽象的過程.認知心理學(xué)的觀點認為，數(shù)學(xué)概念的抽象依靠抽象思維，是在對事物的數(shù)形屬性進行分析、綜合、比較的基礎(chǔ)上，抽取出本質(zhì)屬性，舍棄其非本質(zhì)屬性，使認識從感性的具體進入抽象的規(guī)定，形成數(shù)學(xué)概念［1］.

以上述理論為依據(jù)來看數(shù)列概念教學(xué)，數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)，是數(shù)學(xué)重要的研究對象，是研究其他函數(shù)的基本工具，在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用.因此，著眼于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，可以學(xué)生熟悉的客觀世界中的特殊函數(shù)模型為載體，構(gòu)建多樣化的問題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷如下幾個問題的抽象思維過程：

（1）每個問題中所涉及的量與量之間有何數(shù)量關(guān)系？

（2）能用數(shù)學(xué)的方式來表示嗎？如表格、圖像、通項公式（含遞推公式）.

（3）能抽象出上述問題的共性嗎？

（4）能概括出上述問題的本質(zhì)屬性，并用符號化表達嗎？

在觀察、分析、比較、概括的過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，在這個過程中設(shè)計合適的問題情境顯得尤為重要.數(shù)列概念雖然簡單，許多教師采用“天上掉下個林妹妹”式的方法直接給出數(shù)列的概念，省去了學(xué)生抽象概括的思維過程，這無疑是剝奪了學(xué)生進行數(shù)學(xué)化思考和表達的機會.由于數(shù)列這一概念是建立在函數(shù)概念的基礎(chǔ)之上，可從特殊函數(shù)出發(fā)，同化出數(shù)列的概念；另一方面，數(shù)列概念與數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化密切相關(guān)，可從畢達哥拉斯學(xué)派提出的“形數(shù)”講起，甚至還可以從生活中的數(shù)列創(chuàng)設(shè)情境.總之，引入多樣化的情境能為數(shù)列的概念教學(xué)提供豐富的教學(xué)資源，為發(fā)展學(xué)生的抽象素養(yǎng)提供感性的材料.

三、多樣化的情境引入

1.數(shù)學(xué)史情境

數(shù)列的概念可從畢達哥拉斯學(xué)派的“形數(shù)”講起：畢達哥拉斯學(xué)派有一個基本的信條——萬物皆數(shù)，他們認為世界萬物都包含數(shù)，都能用數(shù)來解釋.傳說，他們經(jīng)常在沙灘上用小石子擺成各種形狀來研究數(shù).

觀察圖1：

圖1

問題1：圖1是畢達哥拉斯學(xué)派用小石頭擺出來的圖形，你能猜一猜他們想表示哪些數(shù)嗎？

問題2：你能不能嘗試著再接著往后畫出幾個圖形呢？它們分別表示哪些數(shù)？

填表：

表1 三角形數(shù)

由于1，3，6，10，15，…這些數(shù)都能夠表示成三角形，他們就將其稱為三角形數(shù).類似地，他們還研究了正方形數(shù).

活動：請大家嘗試畫一畫正方形數(shù)的圖形.看看你畫的和畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家畫的是一樣的嗎？

多媒體展示：

圖2

問題3：圖2中的小石頭表示了哪些數(shù)？你能接著再往后寫幾個數(shù)嗎？

填表：

表2 正方形數(shù)

問題4：請觀察表1、表2中的數(shù)，這兩列數(shù)有什么共同特征？

小結(jié)：像這樣，按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.

問題5：數(shù)列中不同的項能調(diào)換順序嗎？由此你認為數(shù)列中的每一項與什么有關(guān)？

小結(jié)：數(shù)列中的每一項都與它所在的順序（序號）有關(guān)，排在首位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第一項（也稱首項），排在第二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第二項，排在第n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第n項.為了研究方便，數(shù)列可以用符號表示成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為｛an｝.

可見，數(shù)列｛an｝中的每一項ak與其序號k（k=1，2，...，n，...）之間有著下列對應(yīng)關(guān)系：

問題6：從上述對應(yīng)關(guān)系來看，你對數(shù)列有何更深的理解？

問題7：｛an｝和an所表示的含義一樣嗎？

……

設(shè)計意圖：本節(jié)課是數(shù)列章節(jié)的第一節(jié)課，也是概念課，需要學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的抽象思維過程，而抽象化、符號化的數(shù)學(xué)語言難免枯燥，于是選擇了融入數(shù)學(xué)史的方式作為情境引入，意在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氣氛.引導(dǎo)學(xué)生跟隨哲人的步伐，回到古希臘與古人對話，以“形數(shù)”為載體，在畫圖填表等活動中，逐步從具體走向抽象，用數(shù)形結(jié)合的思想方法助推建立起數(shù)學(xué)抽象，通過數(shù)列的符號化表達，進一步理解數(shù)列的本質(zhì)就是函數(shù)，旨在提升數(shù)學(xué)的符號意識，進而發(fā)展數(shù)學(xué)抽象，從而獲得數(shù)列概念.

2.生活情境

等差數(shù)列可從生活中隨處可見的例子講起：

你知道“麥田怪圈”嗎？麥田怪圈是在麥田或其他農(nóng)田上，通過這種力量把農(nóng)作物壓平而產(chǎn)生的幾何圖案（如圖3），這個麥田圈是由一組同心圓構(gòu)成，最里面的圓半徑為1m，其他的圓半徑

依次增加1m.那么，同心圓半徑由內(nèi)向外依次排成的數(shù)列是什么數(shù)列？由小到大的同心圓周長依次排成的數(shù)列是什么數(shù)列？

圖3

生活中還有許多這樣的數(shù)列，你能舉出這樣的例子嗎？

①下面小張雙十一在淘寶上買鞋時的尺碼（單位：cm）：

22，22.5，23，23.5，24，24.5，25，25.5.

②在過去的三百多年里，人們分別在下列時間里觀測到了哈雷慧星：

1682，1758，1834，1910，1986.

③武漢劇院的雙號座位號：

38，40，42，44，46，…

④第一屆奧運會始于1896年，此后每四年舉行一次：

1896，1900，1904，1908，1912，1916，…

問題1：請觀察上述數(shù)列，它們有什么共同特征？

小結(jié)：像這樣，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前面一項的差都等于同一個常數(shù)，則稱這個數(shù)列為等差數(shù)列，這個常數(shù)稱為公差，通常用d來表示.

問題2：怎樣用數(shù)學(xué)符號表示等差數(shù)列的特征？

問題3：你能概括出什么是等差數(shù)列嗎？

問題4：分別作出它們的圖像，說說圖像有什么共同特征？

設(shè)計意圖：能通過對日常生活中的實際問題的分析對比，觀察歸納，建立等差數(shù)列模型，讓學(xué)生繼續(xù)感受數(shù)列的函數(shù)特征，并進一步理解數(shù)列作為函數(shù)的特殊性，將等差數(shù)列與一次函數(shù)進行類比.

3.故事情境

等比數(shù)列的概念可從一個流傳已久的故事說起：

在古代，有一個聰明的大臣發(fā)明了國際象棋，國王想要獎勵他，然而大臣卻只想要一些麥子，他說：請陛下在棋盤的第一個方格放1粒麥子，第二個方格放2粒麥子，第三個方格放4粒麥子，…以此類推，直到第64個方格.

問題1：麥子數(shù)形成的數(shù)列1，2，4，8，16，…有何特點？

然而，數(shù)學(xué)概念的形成需要大量的實例反復(fù)感知，僅有這一個數(shù)列無法發(fā)現(xiàn)出等比數(shù)列的本質(zhì)屬性.因此，筆者對這個故事情境進行了續(xù)集改編，從而得到另一個常見的等比數(shù)列：

棋盤事件讓國王顏面盡失，但國王非常好學(xué)，通過學(xué)習(xí)，他對這種數(shù)列有了新的認識，于是他又召見了大臣，說：“我很遺憾國庫里沒有這么多麥子，但我這里有一根1米長的金手杖，我決定在10天之后把它賞賜給你，但從今天起，我每天要拿走金手杖的一半.”［3］

問題3：這兩個數(shù)列有什么共同特征？

問題4：通過觀察，比較，你能歸納出等比數(shù)列的特征嗎？

問題5：你能類比等差數(shù)列的定義，概括出等比數(shù)列的概念嗎？

設(shè)計意圖：通過這個喜聞樂見的故事，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓學(xué)生在“新、奇、趣”的情境中感知等比數(shù)列的本質(zhì)特征，進而引導(dǎo)學(xué)生用抽象化、符號化的語言概括出了等比數(shù)列的概念.此前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，因此這里概念的形成完全可以類比等差數(shù)列，可進一步理解概念與概念之間的聯(lián)系，在學(xué)習(xí)中化繁為簡，形成一般性的思考問題的習(xí)慣，這也是數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目的之一.

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，它能幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待問題，用數(shù)學(xué)的思維分析問題，用數(shù)學(xué)的語言表達問題［4］.數(shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級的系統(tǒng).本文試圖從情境引入環(huán)節(jié)精心設(shè)計教學(xué)來尋求發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的途徑，如何更有效地發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)是可繼續(xù)研究的方向.

1.章建躍.樹立課程意識，落實核心素養(yǎng)［J］.數(shù)學(xué)通報，2016（5）.

2.中華人民共和國教育部：普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗），人民教育出版社2003年版.

3.楊玉東，王兄.運用關(guān)鍵性教學(xué)事件分析支撐中國式數(shù)學(xué)課例研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2015，24（3）.

4.彭翕成.例說數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［J］.教育研究與評論，2016（5）.