☉浙江省平湖中學(xué) 毛良忠

由一道行程問題談問題解決中邏輯思維的形成

☉浙江省平湖中學(xué) 毛良忠

用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，這是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種體現(xiàn).學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問題并解決問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一，課堂教學(xué)中應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓問題解決更具邏輯性.

在平時(shí)教學(xué)中，我們總會(huì)遇到一些好問的學(xué)生，他們提出的問題有些往往不是我們教師十分熟悉的，教師在解答中也經(jīng)?？?在幫助指導(dǎo)學(xué)生解題的過程中，我們應(yīng)該更多地向?qū)W生傳授自己是如何走出困境，如何優(yōu)化解題過程，多引導(dǎo)好念頭，良好的邏輯思維是怎樣形成的，也就是要教會(huì)如何思考問題的.下面的教學(xué)案例就是一次高一學(xué)生課外活動(dòng)交流時(shí)的解題思維形成的呈現(xiàn).

情境問題：若湖岸MN為一直線，現(xiàn)有一小船自岸邊的A點(diǎn)沿與湖岸成α=15°角方向勻速向湖中駛?cè)?有一個(gè)人自A點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，他先沿岸走一段再入水中游泳去追船.已知人在岸上走的速度為v1=4m/s，在水中游泳的速度為v2=2m/s，試求船速至多為多大時(shí)此人才能追上小船.

這是源于生活的一道應(yīng)用題，它很好地考查了學(xué)生的思維能力及數(shù)學(xué)運(yùn)用意識(shí).學(xué)生最初的感覺就是可以借助剛學(xué)過的解三角形知識(shí)來求解.

初探：設(shè)船速為vm/s，小船出發(fā)后t時(shí)被人追上，則船的行程為s=vt=AB.又設(shè)人在岸上走用時(shí)為t1，則人在岸上的行程為s1=v1·t1=4t1=AC，設(shè)人在湖中游泳用時(shí)為t2，則人在湖中的行程為s2=v2t2=2t2=BC，其中t1+t2=t.如圖1，在△ABC中，由余弦定理知，|BC|2=|AC|2+|AB|2-2|AC·||AB|cosα，代入得8cos15°tt1v.接下來如何運(yùn)算呢？幾位同學(xué)都在這里卡住了，有同學(xué)將t1+t2=t代入消去t或t1，因運(yùn)算量大且看不出問題的突破口而敗下陣來.一段時(shí)間后有同學(xué)想到了方程兩邊同除以t2，得到，令=k，則方程整理得4（1-k）2=16k2+v2-8cos15°kv.再將它整理成關(guān)于k的二次方程12k2+8（1-cos15°v）k+v2-4=0，要使k存在，則Δ=［8（1-cos15°v）］2-4×12（v2-4）≥0，即，解得或v≥（舍），于是小船的最大速度為

圖1

上面的成功求解在于發(fā)現(xiàn)了原方程恰是含t的齊次式，靈巧的換元使問題走向成功.能不能將上面的過程進(jìn)一步優(yōu)化呢？上面一波三折的處理促使我們思考有沒有更好的方法引領(lǐng)思維走向更成熟.

優(yōu)化：設(shè)船速為vm/s，船出發(fā)后經(jīng)時(shí)間t被人追上，則船的行程為s=vt=AB.又設(shè)人在岸上走用時(shí)為kt，則人在岸上的行程為s1=v1·kt=AC，人在湖中游泳用時(shí)為（1-k）t（0＜k＜1），則人在湖中的行程為s2=v2·（1-k）t=BC.考慮到v1=2v2，在△ABC中，由余弦定理知，|BC|2=|AC|2+|AB|2-2|AC|·|AB|cosα，代入得［v2（1-k）］2=（2v2k）2+v2-4v2vkcos15°，令，化簡得到關(guān)于k的二次方程3k2+（2-4cos15°x）k+（x2-1）=0，由題知k存在，故Δ=（2-4cos15°x）2-4×3（x2-1）≥0，即（4cos215°-3）x2-4cos15°x+4≥0，即，解得或（舍）.所以

上面的求解讓我們看到了從不同的角度設(shè)元能簡化運(yùn)算，同時(shí)利用速度間的倍數(shù)關(guān)系化多元為少元，簡化后的表達(dá)式讓我們更清楚地看到了量之間的內(nèi)在關(guān)系.

仔細(xì)觀察上面的三個(gè)量s=vt=AB，s1=2v2·kt=AC，s2=v2·（1-k）t=BC之間的聯(lián)系，我們也可將此問題適當(dāng)轉(zhuǎn)化并抽象成一個(gè)更簡潔的數(shù)學(xué)問題：已知△ABC中，AB=x，AC=2k，BC=1-k，∠BAC=15°，求x的最大值.

對(duì)于這樣一個(gè)問題的提出，學(xué)生都感覺非常親切.模仿上面的過程可直接求解.有沒有其他的求解方法呢？能不能從“形”的角度進(jìn)一步思考呢？已知條件中的AC=2k，BC=1-k，給了我們更多的思維想象空間.

在MN的異側(cè)過A作射線AH，使∠CAH=30°，過C作CH垂直于AH，垂足為H.則有，由于BC+CH=1（定值），易得B，C，H共線時(shí)AB最大（如圖2，當(dāng)H1C1+C1B1=BH=1時(shí)，AB1＜AB），此時(shí)∠ACH=∠BCN=60°，顯然此時(shí)△ABH為等腰直角三角形.如果我們將AB還原到實(shí)際問題中，即，于是

圖2

巧解2：考慮到AC+2BC=2（定值），于是在直線MN上構(gòu)造CP=2BC，則AP=AC+CP=2.于是問題轉(zhuǎn)化為定線段AP上確定一個(gè)點(diǎn)C，使得射線AQ上的點(diǎn)B滿足且|AB|達(dá)到最大值.

圖3

由上面的探究過程我們可以進(jìn)一步地通過簡潔的幾何作圖尋得人在岸上入水游的最佳點(diǎn)C及船速最大時(shí)的相遇點(diǎn)B.

幾何做法：在定線段AP上，過點(diǎn)P作直線BP使得∠APB=30°，交射線AQ與點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BC⊥BP，交AP于點(diǎn)C.則C就是入水點(diǎn)，B就是船速最大時(shí)的相遇點(diǎn).

下面我們計(jì)算此時(shí)AB的數(shù)值.如圖4，在△ABP中，易得AP=2，∠APB=30°，∠ABP=135°.由正弦定理得計(jì)算得.同時(shí)由AB量的實(shí)際意義知，于是

圖4

上面兩種方法我們充分享受了數(shù)學(xué)模型的強(qiáng)大力量，感受了巧解并不是“帽子里掏出來的兔子”，而是對(duì)問題本質(zhì)理解后的思維再創(chuàng)造.觀察上面的兩種解法我們欣喜地發(fā)現(xiàn)問題，求解中都出現(xiàn)了一個(gè)關(guān)鍵的量∠BCN=60°，它又有怎樣的內(nèi)涵呢？

思維的深化：如圖5，設(shè)人在C點(diǎn)入水并在B點(diǎn)剛好能追上小船.這表示此時(shí)人追上小船所用時(shí)間最少，對(duì)應(yīng)的小船速度最大，現(xiàn)設(shè)D，E是C點(diǎn)兩側(cè)附近無限靠近C點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn)，并設(shè)從D，E點(diǎn)入水追小船所用的總時(shí)間相等.現(xiàn)在BD上截取BF=BE，當(dāng)BD，BE無限接近于BC時(shí)∠BFE接近于90°.由于從D，E點(diǎn)入水追小船的所用的總時(shí)間相等，所以人在走DE段與在水中游DF段所用時(shí)間相等.于是，所以，所以∠FDE=60°.因?yàn)镈，E無限靠近C，所以∠BCP=60°.作BP⊥BC交MN于點(diǎn)P，于是CP=2BC，也就是人游BC段與走CP段所用的時(shí)間相等.所以人自出發(fā)點(diǎn)A經(jīng)C點(diǎn)再到B點(diǎn)與人在岸上走AP所用的時(shí)間相等，并都等于小船從A到B所用的時(shí)間，即.在△ABP中，由，故

圖5

由此我們用逼近思想（微元法）破譯了巧解中的一個(gè)關(guān)鍵角∠BCN=60°.

回顧上面的問題探究過程，我們從最初的生活實(shí)際問題出發(fā)，在充分理解了問題的要義后，通過代數(shù)運(yùn)算我們找到了小船的最大速度值，同時(shí)在求簡優(yōu)化思想的引領(lǐng)下，我們將實(shí)際問題抽象提煉成了一個(gè)易于理解的幾何最值問題（它其實(shí)就是用數(shù)學(xué)語言描述實(shí)際問題的一個(gè)過程）.同時(shí)幾何作圖讓我們清楚地發(fā)現(xiàn)了一個(gè)特殊的角∠BCN=60°，微元法的探求讓形更具“理性”（這些過程也就是用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題，用數(shù)學(xué)的思維分析問題的過程）.在問題的探究過程中更多地呈現(xiàn)了怎樣想問題，好的解題思維是怎樣形成的.

更一般地：若人在岸上走的速度為v0，在水中游泳速度為mv0（0＜m＜1），試求船速為多少時(shí)此人才能追上船.

如圖6，在MN上任取兩點(diǎn)P、C，作以C為圓心，m|CP|為半徑的圓，再過P作圓C的切線交射線AQ于點(diǎn)B，則點(diǎn)B就是船速最大時(shí)人入水后與小船的相遇點(diǎn).其中sin∠BPC=m，由正弦定理知.故船速至多為

圖6

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)學(xué)知識(shí)本身的規(guī)律性以及知識(shí)之間的邏輯關(guān)系是客觀存在的.在教學(xué)中我們要營造學(xué)習(xí)探究的氛圍，挖掘數(shù)學(xué)信息，從不同的觀點(diǎn)、不同的角度去審視問題，去揭示問題蘊(yùn)含的本質(zhì).課堂教學(xué)要明確教學(xué)的著眼點(diǎn)在哪里，不能就是為了解題而解題，要關(guān)注學(xué)生的思維活動(dòng)，要教學(xué)生如何看問題，如何開展思維活動(dòng).要用聯(lián)系的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)學(xué)科知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系，缺乏教學(xué)邏輯的教學(xué)常常表現(xiàn)在所研究的問題是孤立的，不能揭示出問題之間的邏輯關(guān)系.在教學(xué)中我們希望通過典型問題的研究幫助學(xué)生在理解數(shù)學(xué)問題和研究數(shù)學(xué)問題的過程中，感悟到數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在的邏輯性，關(guān)注思維邏輯的形成過程，讓學(xué)生體味“好念頭”“好解法”，自己也可以這樣發(fā)現(xiàn).

只有教給學(xué)生的東西是賦有邏輯的、本質(zhì)的，學(xué)生才能受益.只有教師從邏輯上明白了自己所教授的數(shù)學(xué)知識(shí)，才能教給學(xué)生真正的有意義的數(shù)學(xué)，才能讓學(xué)生體味數(shù)學(xué)是有用的，是自己能親身體驗(yàn)習(xí)得的.

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