葛梅梅，余曉美

（滁州學院 數學與金融學院，安徽 滁州239000）

“實物演示法”在概率論與數理統(tǒng)計教學中的應用

葛梅梅，余曉美

（滁州學院 數學與金融學院，安徽 滁州239000）

《概率論與數理統(tǒng)計》是一門應用性很強的課程[1]，課程中的基本概念和基本模型比較復雜、抽象，為了讓學生更好地理解基本概念和基本模型，采用"實物演示法"進行教學，以典型的教學問題-盒子模型為例，最后將其推廣到抽簽模型和最大似然估計.

概率論與數理統(tǒng)計；實物演示法；盒子模型

1 引言

《概率論與數理統(tǒng)計》是研究隨機現象的統(tǒng)計規(guī)律性的一門學科，它在自然科學、社會科學、工程技術、工農業(yè)生產等領域中得到了越來越廣泛的應用.這門課程的特征具有豐富的背景、巧妙的思維和有趣的結論，學生可以在濃厚的興趣中學習和掌握《概率論與數理統(tǒng)計》的知識.因此，在我國高等學校的絕大多數專業(yè)的教學中，《概率論與數理統(tǒng)計》均列為必修課程或限定選修課程，尤其是應用型本科院校，更加要重視這門課程的教學.

長期的教學實踐，我們發(fā)現，在這門課程的教學中，存在著幾個棘手的問題，首先，目前非數學專業(yè)的概率論與數理統(tǒng)計教材中，普遍存在著“理論較多，理解困難”的問題.這些問題導致學生興趣不足，不能學以致用.其次，《概率論與數理統(tǒng)計》課程通常在大二第一學期開設，課程內容在涉及到二重積分的二維隨機變量、期望、方差等部分時，要用到學生在大一時學習的高等數學知識，但此時大部分學生已經遺忘得差不多了，最后，學校有很多文科類，文科生在高中時是沒有學過排列組合的知識或對此只是略有了解，但是在講授排列組合內容（如古典概型、二項分布、全概率公式等）的知識時，需要學生具備基礎的排列組合的知識，尤其是文理兼收的班級在講授這部分知識時教學就顯得格外困難.這些問題導致學生學習這門課程時出現畏難情緒，課堂學習的參與度低，這就要求教師探索新的教學方法，力圖將知識用最簡單直觀的方式講授出來，在這其中，“實物演示法”功不可沒，起到了積極的作用.

2 實物演示法及其特點

實物演示法是一種直觀形象的教學方法，它的特點是教師通過展示實物、教具和示范性的試驗來驗證某一事物和現象.演示所使用的工具可分為以下四大類：實物、標本、模型、圖片的演示；圖表、示意圖、地圖的演示；實驗演示；幻燈片、電影、錄像的演示.

在《概率論與數理統(tǒng)計》這門課程的教學過程中，我們借助實物演示引導學生集中注意力，運用多種感官去感知，鼓勵學生自己去探索和思考，使得各種概念和定理不再枯燥無味，而是鮮活地呈現在學生眼前.

3 盒子模型的“實物演示法”的教學設計

3.1 提出問題

古典概型中，有一類模型是盒子模型，盒子模型即是涉及將球放入盒子的一類模型.學生對于這類模型的困惑在于，這個模型中既有盒子又有球，學生容易混淆這兩個對象，當盒子與球變動時，學生很難找到球放入盒子方法數計算的突破口.所以此時就要求教師必須探索新的教學方法“實物演示法”，將盒子模型的本質用最簡單直觀的方式講授出來.下面就來討論“實物演示法”在盒子模型中的具體應用.

3.1.1 盒子模型問題

有3個球、4個盒子，球與盒子都是可以區(qū)分的，每個球都等可能地被放到4個盒子中的每一個，試求：

（1）指定的3個盒子中各有一球的概率；（2）恰有3個盒子各有一球的概率.

3.2 實物演示法的教學設計

課前讓學生每人準備4個一次性紙杯（當作盒子），3個小塑料球，接下來就是和同學們一起進行扔球游戲，題目中指出球與盒子都是可以區(qū)分的，讓學生用黑筆在紙杯上標上序號1、2、3、4，

（1）問中指定的3個盒子，向學生強調盒子是指定的，讓學生拿出3個紙杯放在書桌上，三個紙杯就已經確定好了，然后扔球，學生手中3個小塑料球，第一個紙杯有3種放法，第二個紙杯有2種放法，還剩一個小塑料球只能放到最后一個紙杯里（每個小塑料球都等可能地被放到4個盒子中的每一個），故所求概率為

（2）記“恰有3個盒子中各有一球”，與（1）問不同的是紙杯從“指定”變成“恰有”，恰有3個紙杯，紙杯沒有選出來，首先要從4個紙杯任選3個紙杯準備放球，共有C43種取法，選完紙杯之后，然后同學們又開始扔球游戲，學生手中有3個小塑料球，第一個紙杯有3種放法，第二個紙杯有2種放法，還剩一個小塑料球只能放到最后一個紙杯里（每個小塑料球都等可能地被放到4個紙杯中的每一個），故所求概率為

立即可以得到一般情況，如下

設有n個球，N個盒子，球與盒子都是可以區(qū)分的，每個球都等可能地被放到N個盒子中的每一個，試求：

（1）指定的n個盒子中各有一球的概率；

（2）恰有n個盒子各有一球的概率.

分析：由盒子模型問題一同理推得

（1）記p1=“指定的n個盒子中各有一球”，則有

（2）記p2=“恰有n個盒子各有一球”，則有

3.3 推廣及引申

“實物演示法”也可推廣到抽簽模型和最大似然估計，利用實物演示向學生講解知識.

3.3.1 抽簽模型

上課前準備10根簽，其中有7根白簽、3根紅簽，現在請十名學生隨機地一根一根抽簽，抽后不放回，誰抽得紅簽獎勵一個小禮物，同學們在底下嘀咕著是不是先抽抽得的紅簽概率大呢，接下來討論的問題是讓誰先抽才公平呢？

分析：問題轉化為第k（k=1,2,3…10）次抽得紅簽的概率是否相等.把簽標上編號，按抽簽次序把簽排成一排，直到10根簽都抽完，將每一個排列作為一個樣本點，總數為10根簽的全排列數10！，事件Ak=10“第k次抽得紅簽”相當于在第k位放紅簽，共有3種放法，每種放法又對應其余9根簽的9！種放法，故Ak包含的樣本點數為3×9!，因此所求概率為

本題的結果與k（k=1,2,3…10）無關，即不論是第幾次，抽得紅簽的概率都一樣，均為紅簽所占的比例數.可見，抽簽不論先后，中簽的機會都一樣！學生得知這個結論，不再爭先恐后地去抽簽，而是不慌不忙地去抽簽.

3.3.2 最大似然估計

在講授在參數的點估計中的最大似然估計一節(jié)時，學生往往學完之后，只會機械地按步驟求解，對于什么含義，大部分學生是模糊不清的.使用實物就可以幫助學生理解什么是最大似然，上課之前給學生每人發(fā)一個刮刮卡，學生刮開之前，問學生刮開之后是什么，學生會回答幾乎全是謝謝惠顧，這時候及時問學生為什么你們第一反應是謝謝惠顧而不是中獎呢，因為平時最可能刮到的就是謝謝惠顧，我們就認為謝謝惠顧出現的概率就是最大的，這就是最大似然估計在生活中最簡單的體現，同學們在不知不覺中就用到了.這也讓學生對最大似然估計原理有直觀的印象，即是設一個隨機現象有幾種可能結果：A,B,C,…,若在一次試驗中結果A出現，則一般認為A出現的概率最大.簡言之，“在一次試驗中發(fā)生了的事件概率最大”，下面再來看一個具體的例子.

一袋中裝有黑球和白球，其數目之比為1:9，但不知道是黑球多還是白球多.若以p表示從袋中任取一球為黑球的概率，則p可能是0.1，也可能是0.9.現從袋中有放回地取2只球，結果全是黑球，問p的估計值應取0.1還是0.9？

分析：以X表示從袋中任取一球為黑球的只數，即

則XB（1，p），即

由題設知，在對總體X進行的一次抽樣中，取到了樣本值(x1,x2)=(1,1),故該樣本值出現的概率為

記為L(p)，其中p是未知參數，即

由此一來，學生一下子就會覺得最大似然估計不是那么高深的概念了.

4 “實物演示法”的教學效果

這種讓學生親自體驗的實物演示教學方法，既可以激發(fā)學生學習的興趣，又可以讓學生更容易接受教學內容.學以致用是教學的最高境界，學生從實物演示中親自獲得的知識，更容易在頭腦中留下印象，也更容易學以致用.此在教學過程中要從學生的實際情況出發(fā)，通過實物演示教學有效地和學生互動、活躍課堂氣氛，消除學生學習這門課的畏難情緒，提高學習的積極性與參與度．其次，合適的實物演示法可提高學生對概念的快速理解與應用.同時該課程本身的特點也是貼近實際應用，這樣一來，實物演示法更能發(fā)揮它的優(yōu)越性，通過實物讓學生感知知識，有效地降低了其枯燥性、抽象度.

總而言之，課堂教學不是要抽象化、數學化，而是要實物化、具體化.實物演示法就是運用多種感官去感知，鼓勵學生自己去探索和思考，使得各種概念和定理不再枯燥無味，極大提高了學生的學習興趣.

〔1〕馬陽明,朱方霞,陳佩樹.應用概率與數理統(tǒng)計[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2013.

〔2〕王利超,呂丹,劉婷.“案例教學法”在概率論與數理統(tǒng)計教學中的應用[J].統(tǒng)計教研，2009（1）:42-43.

〔3〕茆詩松,程依明,濮曉龍.概率論與數理統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

〔4〕秦玉芳,丁艷鳳,鄭曉琪.淺談情景教學法在概率論與數理統(tǒng)計中的應用[J].高教學刊，2016(15)：113-114.

〔5〕李曉彬.案例教學在《概率論與數理統(tǒng)計》中的應用及思考[J].蘭州文理學院學報（自然科學版），2014,28(5).

O211.1

A

1673-260X（2017）09-0005-02

2017-06-17

滁州學院多元統(tǒng)計分析課程綜合改革項目（2016kcgg008）;滁州學院統(tǒng)計學課程綜合改革項目（2016kcgg007）;滁州學院科學研究項目-混合序列的強收斂性及在半參數回歸模型中的相合估計（2015GH35）;滁州學院科學研究項目:時間序列長記憶性和波動聚集性研究——基于ARFIMA-GARCH模型研究（2014GH34）