吳潔瑩+劉逸晴+徐章韜

【摘要】將重構(gòu)法運(yùn)用于“求曲邊梯形的面積”這一節(jié)的教學(xué)，通過重構(gòu)法重現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).該課例表明，通過對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)問題產(chǎn)生原因的分析，能從數(shù)學(xué)史的角度提出解決這些問題的方法.

【關(guān)鍵詞】教學(xué)設(shè)計(jì)；數(shù)學(xué)史；重構(gòu)法

1引言

目前數(shù)學(xué)教學(xué)中最主要的問題就是教師缺少好方法，教學(xué)方式缺乏新觀念，以致學(xué)生沒興趣.產(chǎn)生這些問題的原因主要有兩個(gè)方面：教師因素和學(xué)情因素.應(yīng)試教育在我國數(shù)學(xué)教育中根深蒂固，雖然新課改以來，教師的觀念有所改變，但是多數(shù)的教學(xué)還是采取題海戰(zhàn)術(shù)；其次，教師對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)心理掌握的不夠好，即沒有進(jìn)行學(xué)情分析，這就導(dǎo)致在教學(xué)中難以實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).另外，雖然教材凝固了教材編寫者的心血，數(shù)學(xué)知識(shí)的精華，思想方法的精粹，但是從學(xué)生的角度來看數(shù)學(xué)教材，教材上的知識(shí)過于精簡(jiǎn)；其次，學(xué)生覺得數(shù)學(xué)是枯燥無味的，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)是充滿困難和挫折的，數(shù)學(xué)只是用來解題的，在生活中用處不大.下面，將從數(shù)學(xué)史的角度探索如何解決這些問題.

2方法

杜威說“教育就是經(jīng)驗(yàn)的改組或者改造”，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是建立在已有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的一個(gè)自我再創(chuàng)造的過程.從數(shù)學(xué)史中尋找智慧，即是從數(shù)學(xué)史尋找學(xué)生需要的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以此幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí).數(shù)學(xué)史揭示了數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)術(shù)語的起源與發(fā)展歷史，數(shù)學(xué)公式、定理的發(fā)現(xiàn)過程，數(shù)學(xué)史還告訴我們數(shù)學(xué)是一種文化，數(shù)學(xué)與人類的其他領(lǐng)域有著密切的關(guān)系[1]，因此將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、指導(dǎo)教師設(shè)計(jì)好的教學(xué)過程，補(bǔ)充精簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)教材，改進(jìn)當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展現(xiàn)狀有著一定的作用.將數(shù)學(xué)史中的智慧具體為學(xué)生需要的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的處理方法有以下三種：借鑒法、拓展法和重構(gòu)法.

2.1借鑒法

借鑒不僅僅是指套用他人的成果，更多的是指借鑒他人的研究思路，實(shí)驗(yàn)方法.運(yùn)用借鑒法并不需要多大的創(chuàng)新，只需要參考?xì)v史上數(shù)學(xué)家們的研究思路去教學(xué).有研究表明數(shù)學(xué)家們的研究思路是符合學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的，因此借鑒前人的研究思路和實(shí)驗(yàn)方法，更容易發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生所存在的一些知識(shí)上的問題.

2.2拓展法

拓展法是指從數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展過程中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)思想方法、概念、定理、公式中提煉出能夠豐富學(xué)生的精神境界，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的各種養(yǎng)份，如個(gè)人吃苦耐勞、刻苦鉆研的精神，愛國主義精神，辯證唯物主義世界觀等等，并適時(shí)地滲透在課堂之中.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)是人類的一種文化活動(dòng)，是人創(chuàng)造了數(shù)學(xué)，因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)碰到挫折困難是正常的，不必灰心喪氣，勇敢地面對(duì)困難才是正解.

2.3重構(gòu)法

重構(gòu)式是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的一種常用方法.重構(gòu)源于計(jì)算機(jī)中程序代碼優(yōu)化的需要，將重構(gòu)式運(yùn)用于數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的融合中，就是重現(xiàn)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)在數(shù)學(xué)史上發(fā)生、發(fā)展過程，以此獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并運(yùn)用發(fā)生教學(xué)法進(jìn)行教學(xué)[1].教師不是將現(xiàn)成的知識(shí)教給學(xué)生，而是借助于歷史發(fā)展進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的再創(chuàng)造，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)史中數(shù)學(xué)概念、思想、方法發(fā)生發(fā)展的路徑，讓學(xué)生在過程中獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).重構(gòu)式利用數(shù)學(xué)史能夠讓學(xué)生在知其然的基礎(chǔ)上知其所以然，以此了解知識(shí)的發(fā)生發(fā)展歷程，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)概念的理解.重構(gòu)式是指借鑒或重構(gòu)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展歷史，采用發(fā)生教學(xué)法進(jìn)行教學(xué).

3應(yīng)用

在“曲邊梯形的面積”中，課本上是直接給出曲邊梯形的概念，然后給出思考題讓學(xué)生思考：如何將曲邊圖形轉(zhuǎn)化為直邊圖形？這一過程有些直接且容易使學(xué)生一頭霧水，但若重構(gòu)割圓術(shù)的歷史，將其運(yùn)用在求曲邊梯形的面積上，在教學(xué)中將能取得比書本上更好的結(jié)果.下文將以“曲邊梯形的面積”這一節(jié)為例，詳述如何重構(gòu)割圓術(shù)知識(shí)，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，從數(shù)學(xué)史中獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

3.1知識(shí)特點(diǎn)類比

曲邊梯形面積是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材教學(xué)（人教A版）《選修22》第一章“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”中的第五節(jié)“定積分的概念”的第一課時(shí)，在學(xué)習(xí)曲邊梯形的面積之前，學(xué)生在必修3已經(jīng)簡(jiǎn)單學(xué)習(xí)過割圓術(shù)，“曲邊梯形的面積”這節(jié)課是學(xué)習(xí)定積分的導(dǎo)入課，教學(xué)的重點(diǎn)就是怎樣求曲邊梯形的面積.在劉徽用割圓術(shù)求圓的面積這種方法出現(xiàn)之前，人們只知道如何求直邊圖形的面積，如矩形、三角形的面積公式，而對(duì)怎樣求曲邊圖形的面積一無所知.把割圓術(shù)的方法運(yùn)用到求曲邊梯形的面積上，就要考慮圓和曲邊梯形的相似點(diǎn)，經(jīng)比較可得兩者具有的相似點(diǎn)有四個(gè)：一，都是幾何圖形；二，都是曲邊圖形；三，都可以進(jìn)行分割；四，都沒有固定的、已知的求面積公式.

因此，劉徽能夠用割圓術(shù)的方法求出圓的面積，我們也可以重構(gòu)割圓術(shù)知識(shí)求出曲邊梯形的面積.從割圓術(shù)中獲得分割、替代，求和，取極限的方法就是課程標(biāo)準(zhǔn)中要求學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，重構(gòu)割圓術(shù)知識(shí)就是提供求曲邊梯形的面積需要的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

3.2思想方法類比

割圓術(shù)中采用的方法是用圓內(nèi)切正多邊形的面積，無限逼近圓的面積.與圓周合體的這個(gè)正多邊形，就是不可再割的這個(gè)正多邊形，將其進(jìn)行無窮小分割，再分割成無窮多個(gè)以圓心為頂點(diǎn)，以多邊形每邊為底的無窮多個(gè)小等腰三角形，這個(gè)底乘半徑為小三角形面積的兩倍，把所有這些底乘半徑加起來之和就是圓面積的兩倍，這其中就蘊(yùn)含了以直代曲，無限逼近的思想.通常的“曲邊梯形的面積”這一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)是這樣的：創(chuàng)設(shè)情境-提出概念-引導(dǎo)探究-應(yīng)用新知-歸納總結(jié)-布置作業(yè).在以教師為教學(xué)主導(dǎo)的情況下，考慮到教學(xué)時(shí)間等因素，運(yùn)用這種教學(xué)模式，教師往往會(huì)提醒學(xué)生用矩形分割曲邊梯形，分割時(shí)要等距的分割，分割后要先求和再取極限.但是為什么用矩形進(jìn)行分割？為什么等距分割？為什么可以取極限等緣由并沒有給學(xué)生講清楚，學(xué)生會(huì)的也僅僅是運(yùn)用四大步驟求曲邊梯形的面積，數(shù)學(xué)思想方法并不能滲透給學(xué)生.若能夠在“曲邊梯形的面積”這一節(jié)的教學(xué)時(shí)，從重構(gòu)割圓術(shù)知識(shí)的角度進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)將能取得更好的結(jié)果.endprint

以求一塊曲邊形的面積為例引出曲邊梯形的概念，回顧思考曲邊梯形與曾學(xué)過的哪些圖形相類似，引導(dǎo)學(xué)生回憶起圓也是曲邊圖形，再引出求圓面積的方法——割圓術(shù)，利用幾何畫板將割圓術(shù)的四大步驟（分割，近似替代，求和，取極限）逐步呈現(xiàn)，每呈現(xiàn)一個(gè)步驟就類比地讓學(xué)生思考如何去求曲邊梯形的面積，以此激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究求曲邊梯形的面積的興趣，最后歸納出求曲邊梯形的面積的步驟，布置作業(yè).這樣的教學(xué)模式有利于學(xué)生掌握分割替代的方法，求和取極限的思想.

3.3活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)類比

利用重構(gòu)法從割圓術(shù)中獲取智慧，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，其關(guān)鍵在于能夠從割圓術(shù)中獲得分割曲邊梯形的工具與方法.割圓術(shù)中分割圓的工具是三角形，所以重構(gòu)割圓術(shù)歷史時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)分割曲邊梯形的工具也可以用直邊圖形，具體的直邊圖形是什么？可以是矩形，是梯形，最后用矩形進(jìn)行分割，是為了計(jì)算時(shí)更簡(jiǎn)單方便；割圓術(shù)分割圓的具體方法是用圓的內(nèi)切正多邊形面積無限逼近圓的面積，用若干個(gè)全等三角形分割內(nèi)切正多邊形，取極限就是為了使內(nèi)切正多邊形的面積等于圓的面積，所以重構(gòu)割圓術(shù)歷史時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)分割曲邊梯形的方法也應(yīng)該是用多邊形面積無限逼近曲邊梯形的面積，割圓術(shù)是用若干個(gè)全等的三角形去分割圓，但對(duì)于曲邊梯形來說不可能用若干個(gè)全等的直邊圖形分割，故只能對(duì)曲邊梯形的底進(jìn)行等距分割，分割后得到各小矩形的面積，小矩形的面積之和就無限逼近曲邊梯形的面積.

總之，教師在教學(xué)中要適時(shí)地貫徹“曲邊梯形的面積中”的幾大思想與幾對(duì)矛盾：以直代曲，無限逼近的數(shù)學(xué)思想，有限與無限，近似與精確，直與曲的矛盾關(guān)系，幫助學(xué)生辯證地思考數(shù)學(xué)知識(shí)概念.

4升華

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得已經(jīng)成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)關(guān)注的主要目標(biāo)之一，運(yùn)用數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，以數(shù)學(xué)史為知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的生長點(diǎn)，再根據(jù)歷史相似性原理設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，將能夠較好地培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的基本認(rèn)知以及個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力.其理據(jù)很簡(jiǎn)單：數(shù)學(xué)史可以幫助教師理解數(shù)學(xué)，提升個(gè)人對(duì)數(shù)學(xué)的洞察力和思考能力；教師將能夠自覺地從數(shù)學(xué)史中尋找教學(xué)智慧，更新教學(xué)方式、教學(xué)觀念，更好地教學(xué)；數(shù)學(xué)史還可以幫助教師理解學(xué)生，通過對(duì)數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，教師將能夠預(yù)測(cè)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的問題，診斷學(xué)生認(rèn)知錯(cuò)誤的根源，并把其化為教學(xué)智慧，從而設(shè)計(jì)出能夠培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)活動(dòng)[2].

參考文獻(xiàn)

[1]汪曉勤.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[J].教育研究與評(píng)論·中學(xué)教育數(shù)學(xué)，2014（1）：8-14.

[2]徐章韜，汪曉勤.HPM教育價(jià)值剖析及應(yīng)用取向的深度挖掘[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016（6）：10-14.endprint