文︳鄧友祥

高級數(shù)學思維及其培養(yǎng)策略（下）

文︳鄧友祥

4高級數(shù)學思維的培養(yǎng)策略

實踐表明，數(shù)學思維由低級向高級發(fā)展，既不能采用拔苗助長的辦法，也不能消極等待。數(shù)學教學要借鑒數(shù)學家獲得數(shù)學概念、原理時的思維活動過程，分析學生的數(shù)學思維過程，并據(jù)此設計教學情境，這樣才能符合學生的思維活動規(guī)律[17]。這也就是指，數(shù)學教學要不斷促進學生的數(shù)學思維由低級向高級發(fā)展，關(guān)鍵在于如何針對高級數(shù)學思維的基本內(nèi)涵、核心要素和主要特征，采取有效的教學對策，不斷引發(fā)學生進行有效的深度數(shù)學思考。

4.1 發(fā)展學生的邏輯結(jié)構(gòu)

數(shù)學知識有其內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，是一個有機的整體?！爸饾u形成和發(fā)展學生的作為數(shù)學活動基礎的那些邏輯結(jié)構(gòu)是數(shù)學教學最重要的手段”[6]。同時，這也是促進學生數(shù)學思維水平上層次的重要前提。這就要求數(shù)學教學要關(guān)注學生對數(shù)學知識本質(zhì)的認識與理解，最大限度地以推理的邏輯結(jié)構(gòu)駕馭其內(nèi)容，對任何數(shù)學知識內(nèi)容的教學，不僅要使學生了解其本身的規(guī)定和含義，而且要將其與其他知識作縱橫比較，使之納入學生已有的知識結(jié)構(gòu)。在橫向方面，要引導學生比較知識之間的區(qū)別和聯(lián)系，以有助于學生把頭腦里的知識形成合理的邏輯結(jié)構(gòu)；在縱向方面，要致力于揭示知識間的上下從屬關(guān)系，弄清知識的序與流，從而有助于學生深刻理解和掌握所學數(shù)學知識。

比如，教函數(shù)的單調(diào)性時，如果學生從具體實例出發(fā)，通過思考，僅能概括得出增（減）函數(shù)的定義，則學生對函數(shù)單調(diào)性的認識還沒有上升到邏輯層面，其數(shù)學思維表現(xiàn)為低級。此時，教師有必要將學生的思維引向深入，得到如下更加概括化的知識：對屬于所研究區(qū)間內(nèi)的任意兩個變量x1，x2，若（x1-x2）（f（x1）-f（x2））＞0（＜0），則f（x）為增（減）函數(shù)。這樣教學，能使學生的數(shù)學思維處于較高的概括化程度，有助于學生逐步形成整體聯(lián)系觀，發(fā)展其邏輯結(jié)構(gòu)，促使其數(shù)學思維向高層次發(fā)展。

4.2 提高學生的問題表征水平

研究表明，問題的適當表征與問題的成功解決之間存在正相關(guān)[18]；不當表征與解題成績成負相關(guān)[19]。由此看來，數(shù)學問題表征是數(shù)學問題解決的核心和關(guān)鍵。這是學生數(shù)學思維水平上層次的重要基礎。就數(shù)學學習而言，數(shù)學問題表征是指根據(jù)數(shù)學問題所提供的信息和自身已有的知識經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)構(gòu)，構(gòu)建自己的問題空間的過程，也是把外部的物理刺激轉(zhuǎn)化為內(nèi)部心理符號的過程。要促進學生的數(shù)學思維水平上層次，就必須不斷提高學生的數(shù)學問題表征水平。

學生能適當表征所給的數(shù)學問題，其前提是要理解數(shù)學。因此，提高學生的數(shù)學問題表征水平，重在加強學生數(shù)學語言（文字、符號、圖形、表格等）表達能力的培養(yǎng)，進行文字與符號、符號與圖形等之間的互譯，加強定理證明、問題解決思路等說題訓練，促進學生數(shù)學思維層次不斷提升，加深對所學數(shù)學知識的理解。

有必要指出的是，數(shù)學問題表征水平與學習者的個體差異密切相關(guān)。同一數(shù)學問題對不同的學習主體來說，會有不同的表征，因而也就會呈現(xiàn)出不同的學習結(jié)果和數(shù)學思維水平。但不等于說，學生的年級越高、知識掌握越多，其數(shù)學問題表征水平就越高，數(shù)學思維就肯定是高級的。比如，關(guān)于“求|x+2|+|x-5|的最小值”問題，對具有豐富數(shù)學知識的高中學生來說，無論采用代數(shù)表征還是幾何表征來解，其數(shù)學思維都算不上高級；但對初中學生而言，若能采用如下幾何表征來解，即依據(jù)絕對值概念的幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為“在數(shù)軸上尋求一點，使其到A、B（分別對應數(shù)-2、5）兩點的距離之和最小”的簡單問題，則反映其能超越常規(guī)思維，合理調(diào)配和有機重組已有知識等信息資源，并能選擇合理的問題解決策略，此時學生的數(shù)學思維表現(xiàn)就是高級的。

4.3 培養(yǎng)學生的數(shù)學“再創(chuàng)造”能力

弗賴登塔爾提出：“數(shù)學教學的核心是學生的‘再創(chuàng)造’，這就是說，數(shù)學學習事實上就是這樣的‘再創(chuàng)造’過程，我們在此并非是要機械地去重復歷史中的‘原始創(chuàng)造’，而應根據(jù)自己的體驗并用自己的思維方式重新創(chuàng)造出有關(guān)的數(shù)學知識?！保?0］學生實現(xiàn)“再創(chuàng)造”的過程，實質(zhì)就是數(shù)學思維由低級向高級發(fā)展的過程?！皵?shù)學教師在設計數(shù)學活動教學時，所選擇的問題及安排的數(shù)學活動不但要適合于學生現(xiàn)有的數(shù)學思維水平，更應該考慮到促進學生的數(shù)學思維向下一個數(shù)學思維階段發(fā)展。換而言之，就是既要考慮到學生數(shù)學思維能力水平的限制，又要考慮到數(shù)學思維發(fā)展的潛力。”［17］因此，要實現(xiàn)學生數(shù)學學習的“再創(chuàng)造”，應適當加大數(shù)學知識難度和滲透科學認識的教學，重視學生對科學方法的掌握及對科學價值的理解，加強學生整理知識和重組知識能力的培養(yǎng)，使學生能從知識材料間的問題和矛盾中不斷探索、發(fā)現(xiàn)并解決問題，實現(xiàn)認識的深化和發(fā)展。

為了避免教學中的低級思維，促進學生的數(shù)學思維由低級向高級發(fā)展，根據(jù)維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論，數(shù)學問題的設計不能僅憑教師的想象，而應是學生“最近發(fā)展區(qū)”中的問題，使學生有進一步推廣和思考的余地，以有利于其實現(xiàn)數(shù)學的“再創(chuàng)造”。比如，教數(shù)列的通項公式時，在學生完成練習“已知數(shù)列的通項公式，寫出這個數(shù)列的前四項”后，筆者曾讓學生逆向思考如下問題：根據(jù)數(shù)列的前四項0，1，0，1寫出該數(shù)列的一個通項公式。結(jié)果學生得到如下幾個答案：（1）抓住數(shù)列的奇偶項特征得到聯(lián)想指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)得依據(jù)三角函數(shù)的周期性等知識得綜合運用上述知識得。上述結(jié)果中，僅得出（1）的學生，其數(shù)學思維表現(xiàn)是低級的；能得出（2）（3）（4）結(jié)果者，反映其合理調(diào)配并整合已有數(shù)學知識的能力較強，數(shù)學思維有一定的創(chuàng)造性并表現(xiàn)為高級。這說明，只要給學生提供合適的問題空間，便能有效激發(fā)學生的創(chuàng)造潛能。

4.4 加強學生數(shù)學思維自我監(jiān)控能力的培養(yǎng)

研究表明，優(yōu)等生和中等生在問題解決上所表現(xiàn)出來的差異主要來源于思維策略上的差異，優(yōu)等生在問題空間的搜索中，更善于捕捉啟發(fā)信息，能更快地從試誤策略轉(zhuǎn)化為啟發(fā)式搜索策略。進行思維策略訓練的重要任務，就是要加強學生元認知控制能力的培養(yǎng)。元認知控制是對認知行為的管理和控制，是主體在進行認知活動的過程中，將自己正在進行的認知活動作為意識對象，不斷地對其進行積極、自覺的監(jiān)視、控制和調(diào)節(jié)[21]。加強學生元認知控制能力培養(yǎng)的關(guān)鍵，就是要加強學生數(shù)學思維自我監(jiān)控能力的培養(yǎng)。這就要求平時的數(shù)學教學，教師應有目的、有計劃、有意識地引導和指導學生在有效完成數(shù)學學習任務時，清醒地認識到自己應該做什么、何時做、如何做，學生則在不斷進行思維自我監(jiān)控和調(diào)節(jié)的過程中，促使自身的數(shù)學思維逐步由低級向高級發(fā)展。

4.5 加強學生數(shù)學反思能力的培養(yǎng)

做數(shù)學是目前數(shù)學教育的一個重要觀點，它強調(diào)學生學習數(shù)學是一個現(xiàn)實的經(jīng)驗、理解和反思的過程[22]。這里的做數(shù)學，不能簡單地理解為解數(shù)學題，它指的是學生在數(shù)學活動中所經(jīng)歷的一系列數(shù)學過程，具體包括觀察、分類、比較、分析、綜合、抽象、概括、猜想、論證、反思、評判等數(shù)學活動。因此，數(shù)學教學應從數(shù)學學科特點出發(fā)，對學生的數(shù)學認知活動進行深入研究，重視引導學生進行批判性回顧，促進學生的數(shù)學思維由低級向高級發(fā)展。

引導學生進行批判性回顧，應鼓勵學生大膽質(zhì)疑，培養(yǎng)學生的反思習慣和反思能力?，F(xiàn)在我們培養(yǎng)的學生往往只會做“學答”，即學會回答別人已經(jīng)解決了的問題，而不會做“學問”，即不會問問題、不知怎樣問問題。書本知識是一定條件下的經(jīng)驗總結(jié)，有一定的適應范圍，但人們的認識會隨著社會實踐的發(fā)展而不斷深化。因此，教師要提倡學生敢于懷疑課本中每道例題的解答、定理證明的簡捷性（甚至正確性），注意培養(yǎng)學生的學習自信心，乃至科學自信心。

比如，人教版高中數(shù)學第二冊（上）有如下一道例題：已知x、y都是正數(shù)，求證：（1）如果xy是定值P，那么當x=y時，和x+y有最小值2P；（2）如果和x+y是定值S，那么當x=y時，積xy有最大值。實際教學中，我們發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)學生不會去反思這樣的問題：教材中為什么不考慮x+y的最大值和xy的最小值？對此，教師可以引導學生進行反思、交流。學生認識到，兩個正數(shù)的積一定，其中一個可以任意大，因而它們的和的最大值就不存在；兩個正數(shù)的和一定，其中一個可以任意小，另一個是有限數(shù)，因而它們的積的最小值就不存在。這樣的教學既滲透了函數(shù)思想、極限思想，又能促使學生的數(shù)學思維向較高層次發(fā)展，有助于學生形成獨立思考的良好習慣和勇于質(zhì)疑的科學思維。

同時，教師應引導學生反思問題解決過程中所運用的數(shù)學概念、數(shù)學規(guī)則的正確性，反思所采用的解題策略是否合理或最優(yōu)，反思數(shù)學問題本身有無可利用的隱含條件，反思解題表達是否規(guī)范等，從而不斷提高學生的批判性思維水平，促進高級數(shù)學思維的發(fā)展和數(shù)學學習水平的提升。

例如，教圓的方程時，我們讓學生思考如下的問題：有一圓與直線x-y+3=0相切于點（2，5），且經(jīng)過點（2，3），求此圓的方程。結(jié)果幾乎所有學生都是通過數(shù)形結(jié)合的方法列出方程組，再解這個方程組，得出所要求的圓的方程。顯然，就本題而言，僅采用此種解法的學生，其數(shù)學思維表現(xiàn)就是低級的。實際教學中，當教師要求學生反思問題解決策略是否最優(yōu)時，有學生想到了將切點視為點圓，可采用共點曲線系方法解之。即視切點（2，5）為點圓（x-2）2+（y-5）2=0，設所要求的圓的方程為（x-2）2+（y-5）2+λ（x-y+3）=0，將點（2，3）的坐標代入此方程得λ=-2，從而得到所求的圓的方程為x2+y2-6x-8y+23=0。采用此法，解題過程簡單明了，說明學生表現(xiàn)出了較高層次的數(shù)學思維。

最后有必要指出的是，培養(yǎng)學生的高級數(shù)學思維始終是數(shù)學課程最重要的核心任務和長久任務，這是學生數(shù)學學習能力發(fā)展和數(shù)學學習水平提高的根。平時的數(shù)學教學應有目的、有計劃、有針對性地將高級數(shù)學思維的訓練有機貫穿人才培養(yǎng)全過程，改善學生的數(shù)學學習方式，以切實提高學生的數(shù)學學習效率。否則，片面追求高級數(shù)學思維培養(yǎng)的任何數(shù)學教學都是沒有意義的，因而也就失去了其應有的教學價值。

【本文系江蘇省重點建設一級學科——數(shù)學（JSXK201301）；江蘇省高等教育教改研究重點立項課題“MPCK（MPCA）視閾下數(shù)學本科專業(yè)教師教育課程設置研究”（2015JSJG059）成果】

（作者單位：江蘇省泰州學院）

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