李 艷 紅

(遼東學院師范學院數(shù)學系，遼寧 丹東 118000)

K-擬加測度空間上Borel-Cantelli引理的局部推廣

李 艷 紅

(遼東學院師范學院數(shù)學系，遼寧 丹東 118000)

基于K-擬加運算證明了集函數(shù)關(guān)于一般集合列滿足次可數(shù)可加性，進而給出了K-擬加級數(shù)收斂的一個必要條件.其次，在K-擬加測度空間上獲得了概率論中Borel-Cantelli引理的第一個結(jié)論，并通過構(gòu)造子集合列方法對Borel-Cantelli引理進行了局部推廣.

誘導算子；擬加法；K-擬可加測度；K-擬加級數(shù)；Borel-Cantelli引理

0 引言

眾所周知，概率與測度之間主要區(qū)別在于概率引入了條件概率和事件的獨立性概念，并且概率是特殊的測度.Borel-Cantelli引理是概率論中一個重要結(jié)論，它闡述的主要思想是：若無窮多個事件的概率和為有限值，則這無窮多個事件同時發(fā)生的概率為零.近年來該結(jié)論在證明概率論中的一些重要結(jié)論時起到舉足輕重的作用，眾多學者對該引理自身條件的推廣及應(yīng)用進行了大量研究.[1-4]然而，由于Borel-Cantelli引理本身要求的條件比較苛刻，致使其應(yīng)用范圍還主要集中在概率論中.在國內(nèi)，雖然早期就有文獻[5]將Borel-Cantelli引理模糊化并給出類似結(jié)論及證明，但至今在超出概率空間以外的某些測度空間上的應(yīng)用及推廣研究十分少見.

1989年，日本學者Sugeno等[6]通過引入擬加算子首次提出擬加測度概念，并建立了擬加積分理論框架.1993年，文獻[7]在擬加測度空間上定義并研究了Kt積分和tK積分，獲得了一些類似于傳統(tǒng)Lebesgue積分的結(jié)果.1998年，文獻[8]通過統(tǒng)一兩類算子建立了K-擬加測度空間和K-擬加積分模型.文獻[9]討論了K-擬加積分的收斂性及其自連續(xù)等問題.近些年來，李艷紅[10-11]在上述工作基礎(chǔ)上進一步討論了K-擬加模糊積分和廣義Sugeno模糊積分的若干擴展性質(zhì)及收斂性.這些結(jié)果對傳統(tǒng)積分或模糊積分理論來說是一種有效推廣.

本文在K-擬可加測度空間上通過誘導算子和擬加運算的性質(zhì)給出了K-擬加級數(shù)收斂的必要條件，并推廣了Borel-Cantelli引理中的第一個結(jié)果.

1 K-擬可加測度空間

給定經(jīng)典集合X，設(shè)R+是非負實數(shù)集，R表示X上若干子集構(gòu)成的σ-代數(shù).

定義1.1 設(shè)K：R+→R+為嚴格遞增的凸函數(shù)，且在(0，+∞)上可導，并滿足K(0)=0，K(1)=1，則稱K為R+上一個誘導算子.

顯然，K(x)=x2，K(x)=2x-1均為誘導算子，且K和K-1在[0，+∞)上都連續(xù).

定義1.2 設(shè)K是給定的誘導算子.?a，b∈R+，由K誘導a與b的擬加運算?定義為a?b=K-1(K(a)+K(b))，稱此運算?為K-擬加運算或K-擬加算子.

按上述定義，?a，b，c∈[0，+∞)，易得以下運算性質(zhì)：

(1) (a?b)?c=a?(b?c)；

(2)a?b=b?a，a?0=a；

(3) 若a≤b，c≤d，則a?c≤b?d；

(4)K(a?b)=K(a)+K(b)；

(5)K-1(a+b)=K-1(a)?K-1(b).

命題1.1 設(shè)K是誘導算子，則?a，b∈R+，必有K(a)+K(b)≤K(a+b)，且a?b≤a+b.

證明采用數(shù)學分析中Lagrange微分中值定理給予證明.

事實上，?a，b∈R+，不妨設(shè)0

K(a)=K(a)-K(0)=K′(ξ1)a，K(a+b)-K(b)=K′(ξ2)a，

其中0<ξ1

又因K是可導的凸函數(shù)，當且僅當K′(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，故有K′(ξ1)≤K′(ξ2)，從而

K(a)+K(b)≤K(a+b).

此時明顯有K(a)+K(b)≤K(a+b)?a?b=K-1(K(a)+K(b))≤a+b，亦即K-擬加運算 “?”是比普通加法“+”更小的運算.

Study on the Yellow River Tourism in Shanxi Oriented by the All-For-One Tourism_____________________SANG Ziyu,HU Weixia 1

則：

(1)

結(jié)論得證.

(2)

2 Borel-Cantelli引理的局部推廣

經(jīng)典概率論中Borel-Cantelli引理有兩個主要結(jié)果：在由事件概率值構(gòu)成的數(shù)項級數(shù)收斂的條件下，任意隨機事件序列的上極限概率為0；在事件概率值構(gòu)成的數(shù)項級數(shù)發(fā)散的條件下，相互獨立的隨機事件序列的上極限概率為1.其在概率空間中結(jié)果如下：

下面針對Borel-Cantelli引理的結(jié)論(1)在K-擬加測度空間上加以推廣.

(3)

因此，對一切j∈N，

(4)

ε/2?ε/22?…?ε/2k≤ε/2+ε/22+…+ε/2k.

對上式令k→∞有

[1] PETROV V V.A note on the Borel-Cantelli lemma [J].Statistics Probability Letters，2002，58(3)：283-286.

[2] PETROV V V.A generalization of the Borel-Cantelli lemma [J].Statistics Probability Letters，2004，67(3)：233-239.

[3] 蔣興妮，趙聯(lián)文.Borel-Cantelli引理的推廣[J].西南師范大學學報(自然科學版)，2013，38(7)：20-23.

[4] 劉繼成，張立丹.條件Borel-Cantelli引理與條件大數(shù)定律[J].應(yīng)用數(shù)學學報，2014，37(3)：537-546.

[5] 孫群.FUZZY Borel-Cantelli引理[J].青海師專學報，1985(2)：80-84.

[6] SUGENO M，MUROFUSHI T.Pseudo-additive measures and integrals [J].J Math Anal Appl，1987，122(1)：197-222.

[7] 蔣興忠.tK-積分和Kt-積分[J].四川師范大學學報(自然科學版)，1993，16(2)：31-39.

[8] 王貴君，李曉萍.K-擬可加模糊積分的絕對連續(xù)性[J].四川師范大學學報(自然科學版)，1998，21 (3)：251-255.

[9] 王貴君，李曉萍.關(guān)于K-擬可加模糊積分連續(xù)性的繼續(xù)探討：自連續(xù)性[J].四川師范大學學報(自然科學版)，1999，22 (1)：43-47.

[10] 李艷紅.K-擬可加集值模糊積分的擴展性質(zhì)[J].東北師大學報(自然科學版)，2008，40(4)：7-11.

[11] 李艷紅.K-擬可加模糊測度空間上的廣義Sugeno模糊積分[J].浙江大學學報(理學版)，2010，37(4)：376-380.

[12] 張廣全.模糊測度論[M].貴陽：貴州科技出版社，1994：14-15.

(責任編輯：李亞軍)

AlocalgeneralizationofBorel-CantellilemmaonK-quasi-additivemeasurespace

LI Yan-hong

(Department of Mathematics，Teacher’s College，Easten Liaoning University，Dandong 118000，China)

The weak countable additivity of the set function is proved by means ofK-quasi-additive operation for a general set sequence.A necessary condition of convergence forK-quasi-additive series is given.Meanwhile，the first conclusion of Borel-Cantelli lemma is obtained onK-quasi-additive measure space and Borel-Cantelli lemma is locally generalized by constructing a subsequence of set.

inductive operator；quasi-addition；K-quasi-additive measure；K-quasi-additive series；Borel-Cantelli lemma

1000-1832(2017)03-0029-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.03.007

2015-12-18

國家自然科學基金資助項目(61374009).

李艷紅(1965—)，女，教授，主要從事模糊測度與模糊積分研究.

O 211.1 [學科代碼] 110·64

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