【摘要】動態(tài)規(guī)劃（dynamic programming）是運籌學(xué)的一個分支，是求解決策過程最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法，在經(jīng)濟金融領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在我們傳統(tǒng)研究投資組合問題所使用的馬科維茨模型中，通常假設(shè)收益率和風(fēng)險是固定不變的，并且只構(gòu)造一次投資組合決策，然而在現(xiàn)實世界中，這顯然是不夠的，由于市場具有不確定性，資產(chǎn)的收益率和風(fēng)險隨時間而改變，并且我們可以在不同的投資階段采取不同的投資決策，投資決策是動態(tài)的。因此，本文將基于傳統(tǒng)的馬克維茨均值-方差模型，運用動態(tài)規(guī)劃的相關(guān)知識，構(gòu)建一個不超過投資者風(fēng)險承受能力情況下，以最終的總收益最大為目標(biāo)的動態(tài)規(guī)劃模型，實現(xiàn)多階段投資的最優(yōu)決策。

【關(guān)鍵詞】動態(tài)規(guī)劃 多階段資產(chǎn)投資 馬科維茨模型

一、基本假設(shè)

假設(shè)某資產(chǎn)市場中共有n種資產(chǎn)可供投資者進(jìn)行選擇，投資可以分為m個階段，在每一階段中該投資者都可在這n中資產(chǎn)中進(jìn)行投資。假設(shè)投資者可以根據(jù)市場合理預(yù)期未來進(jìn)行投資的m個階段中每個階段每種資產(chǎn)的平均收益率。設(shè)在第j（j=1，…，m）個階段初購買第i（i=1，…，n）種資產(chǎn)，到該階段末時的平均收益率為rij；并且，投資者在j階段期初可對j-1階段期末所持有的資產(chǎn)進(jìn)行決策，決定這些資產(chǎn)是繼續(xù)持有還是出售，而出售資產(chǎn)所得的資金可繼續(xù)投入用于j階段資產(chǎn)的購買。

為了簡化問題的考慮，我們有以下假設(shè)：首先，投資者只在投資開始時（即第一階段初）向資產(chǎn)市場投入一定數(shù)額的自有資金此后不再投入其它自有資金；同時，每一階段投資所獲收益不會抽出而是繼續(xù)用于剩余階段的投資或留作自有資金，也就是說，整個投資環(huán)境相對封閉，即投資者最終持有的資產(chǎn)和資金只是由最初的自有資金進(jìn)行了m個階段的投資后獲得的，；其次，在資產(chǎn)投資中，不允許賣空行為，即投資者只允許出售手中所持有的資產(chǎn)；最后，假設(shè)投資是持續(xù)的，即j-1階段期末與j階段期初是同一時刻，投資者此時所持有的資產(chǎn)及自有資金的數(shù)額是相同的。

二、定義數(shù)學(xué)符號

接下來，我們引入一些數(shù)學(xué)符號：

xij——第j階段初，投資者擁有的第i種資產(chǎn)數(shù)量（j=1，…，m；i=1，…，n）；

tj——第j階段初，投資者擁有的自由資金數(shù)額（j=1，…，m）；

則（xij，tj）表示第j階段初投資者持有的資產(chǎn)數(shù)量和自由資金數(shù)額的狀態(tài)，也就是動態(tài)規(guī)劃模型中所討論的第j階段初的投資狀態(tài)變量，記為Xj（j=1，…，m）；

uij——第j階段初，投資者對第i種資產(chǎn)的交易金額（j=1，…，m；i=1，…，n）；

（其中：uij<0表示投資者出售第i種資產(chǎn)，uij>0表示投資者購買第i種資產(chǎn)），

則（uij）表示第j階段投資者的資產(chǎn)投資交易的情況，也就是動態(tài)規(guī)劃模型中所討論的第j階段的投資決策變量，記為Uj（j=1，…，m）；

M——投資開始時，投資者向資產(chǎn)市場投入的自由資金數(shù)額；

σij——第j階段，第i種資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差；

covabj——第j階段，任意兩種資產(chǎn)之間的協(xié)方差；

R——投資者最高風(fēng)險承受能力。

三、模型建立

接下來，根據(jù)假設(shè)和定義，我們可以得到如下關(guān)系：

，根據(jù)定義，可知，投資者要求在每一階段所承擔(dān)的風(fēng)險都不能超過風(fēng)險上限，即

（7）

以上就是根據(jù)假設(shè)和定義得到的資金和風(fēng)險約束條件，接下來構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)用階段末持有的資金總量與階段初持有的資金總量的差值來衡量投資收益，即目標(biāo)函數(shù)

通過求解上述動態(tài)規(guī)劃模型，可得到投資者m階段投資的最有決策。

四、總結(jié)

通過求解上述模型，設(shè)解得U*=（U1*，…，Um*）為最優(yōu)解，U*是投資者進(jìn)行m個階段投資的整體最優(yōu)策略，即在全部投資階段結(jié)束之后，投資者可以在投資自有資金一定且不超過自身所能承受風(fēng)險的情況下獲得醉倒的投資收益。其中，Uj*是在該整體最優(yōu)策略中第j個階段的投資決策，其中包含對每種資產(chǎn)的投資決策Uij，其數(shù)值的正負(fù)代表購買還是出售該資產(chǎn)，數(shù)值的大小代表具體購買或者出售資產(chǎn)的數(shù)量；而且，模型中的每一個可行解都代表實際投資中出售及購買資產(chǎn)的可行方案。

同時，由動態(tài)規(guī)劃的性質(zhì)可知，U*滿足最優(yōu)化原理：無論初始狀態(tài)及其初始決策如何，其以后諸決策對以第一個決策所形成的狀態(tài)作為初始狀態(tài)而言，都構(gòu)成最優(yōu)策略。因此，不論初始狀態(tài)如何，投資者都可以在現(xiàn)有階段做出最優(yōu)決策。此基于馬科維茨均值-方差模型的動態(tài)規(guī)劃模型具有很強的現(xiàn)實意義。

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作者簡介：王素素（1993-），女，漢族，山東東營人，就讀于山東科技大學(xué)，研究方向：保險精算。endprint