湖北宜昌市長陽賀家坪中心校 向興河

培養(yǎng)思維活動方法 提高問題解決能力

湖北宜昌市長陽賀家坪中心校 向興河

一談到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，師生們首先想到的就是“會解題”。確實，解決數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方面，新課標(biāo)也要求 “學(xué)生在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識和掌握基本技能的同時，不斷積累解決數(shù)學(xué)問題的活動經(jīng)驗，獲取分析問題和解決問題的能力”。那么，如何才能提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力呢？當(dāng)然，基礎(chǔ)知識與基本方法的掌握是萬能的法寶，同時，培養(yǎng)學(xué)生有效的思維活動方法，也是促進學(xué)生有效、高效解決數(shù)學(xué)問題的重要環(huán)節(jié)。

一、圖形拆分法，問題單元化

有許多幾何題，圖形復(fù)雜，學(xué)生望而卻步，如果我們能對圖形進行有效的拆分，使復(fù)雜圖形變成一個個基本圖形，就會達到使“問題層次清楚，知識點明顯”的效果，自然問題也就迎刃而解。

例1 如圖1，OC是半圓M的直徑，點D在半圓上運動（點D與O，C不重合），∠OCD的平分線與半圓M交于點E，連接OE，交CD的延長線于點B，點A在直徑OC上，且OA=OD。

（1）△OCB是什么特殊的三角形？為什么？

（3）過E作CO的平行線交CB于點N，當(dāng)NA⊥OC時，求tan∠EOC的值。

圖1

圖2

圖3

圖4

拆分解析：圖1是把圓、四邊形、三角形等圖形綜合在一起，圖形復(fù)雜，難度大，如果將原圖進行合理的拆分，就可化繁為簡，化難為易。

拆出圖2，即可簡單判斷△OCB是什么特殊的三角形。

對于（2）問，我們從原圖中拆出圖3，易證△OEF～△BOD，求出或者作OC邊上的高BG，通過求得出的值。

對于（3）問，設(shè)⊙M的半徑為r，EF=a，則OA=2a，因為NE是△OCB的中位線，四邊形AFEN是矩形，則NE=CM=OM=AF=r。我們從原圖中拆出圖4，在圖4中求出OF。在直角三角形這一基本圖形中，OF=2a-r，CF=2r-（2a-r）=3r-2a，根據(jù)EF2=OF·CF可求得則所以tan∠EOC=3。

二、情景舍棄法，問題核心化

有很多數(shù)學(xué)問題往往都被賦予某一數(shù)學(xué)問題情景，使得題目長，閱讀量大，學(xué)生在分析問題的時候，容易受非數(shù)學(xué)問題因素的干擾，從而導(dǎo)致很難順利解決問題。如果我們能從非本質(zhì)的問題情景中擺脫出來，舍棄非本質(zhì)因素，抓住問題的核心，就會輕松地解決問題。

1．舍棄文字式情景

例2 某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本400元，銷售價為510元，本季度銷售量為m件。為了進一步擴大市場，該企業(yè)決定在降低銷售價的同時降低成本，經(jīng)過市場調(diào)研，預(yù)測下季度這種產(chǎn)品每件售價降低4%，銷售量提高10%，為使銷售利潤保持不變，該產(chǎn)品每件成本應(yīng)降低的百分數(shù)是多少？

分析：如果舍棄問題的枝葉，留取主干，問題可簡潔為：“原成本400元，售價510元，銷售量m件，現(xiàn)售價降低4%，銷售量提高10%，求成本下降的百分數(shù)。”這樣思維變得簡潔方便。

2．舍棄圖形式情景

例3 如圖5，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，點M，N分別是邊AB，AC上的動點，△AMN與△A′MN關(guān)于直線MN對稱，點A的對稱點為A′。當(dāng)∠AM A′=30°時，求△BMC的面積。

分析：因為∠AM A′=30°，而∠NM A′是由∠AMN對折而來的，所以∠AMN=15°。在后面的分析中與∠NM A′無關(guān)，因此將圖中的線段A′N和A′M舍棄，圖形簡潔為圖6，使我們能夠抓住核心圖形進行分析，解決問題。（方法提示：過B作CM邊上的高BG，根據(jù)即可求出面積）

三、抽象模型法，問題直觀化

數(shù)學(xué)問題模型化，可使抽象的數(shù)學(xué)問題變得直觀明了，便于歸納概括，幫助學(xué)生準(zhǔn)確清楚地理解數(shù)學(xué)問題，解答問題。因此在教學(xué)中，要提高學(xué)生的建模能力，從而提高學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題的能力。

1．式子型模型

首先根據(jù)數(shù)學(xué)問題列出數(shù)學(xué)模型，然后依照模型列出式子。這種思維活動方法就是將“解答題”變成“填空題”，這樣就能迅速地解決問題。主要包括等式型、方程型、函數(shù)型三種模型。

例4 某商場將每件進價為80元的某種商品按每件100元出售，一天可售出100件。后來經(jīng)過市場結(jié)果分析，發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低1元，其銷量可增加10件。

（1）求商場按100元的價格出售該商品，一天可獲得的利潤是多少元？

（2）若商場經(jīng)營該商品一天要獲得利潤2160元，則每件商品應(yīng)降價多少元？

（3）每件商品降價多少元時，可以使商場每天所獲得的利潤最大？最大利潤為多少？

第（1）問是等式模型：“總利潤=每件商品的利潤×件數(shù)”，將“每件商品的利潤=100-80”和“件數(shù)=100”填入“總利潤= × ”的空格中，列出算式即可解決問題；

第（2）問是方程模型：“每件商品的利潤×件數(shù)=2160”。設(shè)每件商品降價x元，然后將“每件商品的利潤=100-x-80”和“件數(shù)=100+10x”填入“ × = 2160”的空格中，列出方程即可解決問題；

第（3）問是函數(shù)模型：即“y=每件商品的利潤×件數(shù)”。設(shè)每件商品降價x元，總利潤為y元，將“每件商品的利潤=100-x-0”和“件數(shù)=100+10x”填入“y= × ”的空格中，列出函數(shù)解析式即可解決問題。

2．表格模型

將抽象的數(shù)學(xué)問題表格化，使抽象思維變得具體直觀，從中清楚地概括規(guī)律，解決問題。

例5 A、B兩家公司都準(zhǔn)備向社會招聘員工。兩家公司的招聘條件基本相同，只有工資待遇有如下差異：A公司年薪10000元，從第二年開始每年加工齡工資200元。B公司每半年薪5000元，從第二個半年開始每半年加工齡工資50元。從經(jīng)濟收入的角度考慮，員工選擇哪家公司有利？

表格模型如下：

總之，掌握好數(shù)學(xué)基本知識、基本技能和基本方法是解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，而培養(yǎng)學(xué)生各種思維活動的方法，更是不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象概括能力、解決問題能力的重要環(huán)節(jié)。