徐 湛

(清華大學(xué)物理系，北京 100084)

教學(xué)研究

正則動(dòng)量面面觀

徐 湛

(清華大學(xué)物理系，北京 100084)

對(duì)于帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，一個(gè)很重要的概念是粒子的正則動(dòng)量不同于它的機(jī)械動(dòng)量，而這一點(diǎn)經(jīng)常被忽視或者被混淆。本文從正則動(dòng)量的基本定義出發(fā)，從經(jīng)典的和量子的兩方面分析了正則動(dòng)量和機(jī)械動(dòng)量的關(guān)系，指出正則動(dòng)量才是基本的動(dòng)力學(xué)變量。最后以磁鏡裝置為例說(shuō)明了如何應(yīng)用正則動(dòng)量簡(jiǎn)明地給出問(wèn)題的答案。

磁場(chǎng)；矢量勢(shì)；正則動(dòng)量；規(guī)范變換；磁鏡裝置

1 經(jīng)典力學(xué)： 帶電粒子在磁場(chǎng)中的3種動(dòng)量

對(duì)于帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，首先想到的當(dāng)然是它的運(yùn)動(dòng)方程。假設(shè)粒子的質(zhì)量是m，電荷是q，空間中的穩(wěn)恒磁場(chǎng)是B(r)，那么熟知它的運(yùn)動(dòng)方程是

(1)

(2)

其中A(r)是磁場(chǎng)B(r)的矢量勢(shì)[2]，它的旋度給出了磁場(chǎng)

(3)

通常還假設(shè)它滿足規(guī)范條件(橫場(chǎng)條件)

(4)

證明如下?，F(xiàn)在歐拉方程是

其中i,j=1,2,3(=x,y,z)并且對(duì)j求和。在此式中取i=1，那么

對(duì)于i=2,3也類似，這表明歐拉方程是

再注意到式(3)，它正是方程(1)?，F(xiàn)在問(wèn)題來(lái)了：這時(shí)的正則動(dòng)量p是什么？按照分析力學(xué)的正則動(dòng)量的定義[1]，它是

(5)

再過(guò)渡到分析力學(xué)的哈密頓形式(亦稱正則形式)，系統(tǒng)的哈密頓量是拉格朗日量的勒讓德變換，即

(6)

注意： 哈密頓量要以正則坐標(biāo)和正則動(dòng)量為獨(dú)立自變量。用這個(gè)哈密頓量寫出的正則運(yùn)動(dòng)方程

從正則運(yùn)動(dòng)方程很容易看出系統(tǒng)的對(duì)稱性與守恒量之間的關(guān)系：如果哈密頓量和某個(gè)正則坐標(biāo)qi無(wú)關(guān)(這樣的坐標(biāo)被稱為循環(huán)坐標(biāo))，那么與qi共軛的正則動(dòng)量pi就是守恒量，因?yàn)?/p>

這里必須避免兩個(gè)誤解。第一個(gè)是把系統(tǒng)的對(duì)稱性認(rèn)為是磁場(chǎng)的對(duì)稱性(比如磁場(chǎng)在平移、旋轉(zhuǎn)等等操作下不變)，但事實(shí)上哈密頓量里出現(xiàn)的不是磁場(chǎng)而是矢量勢(shì)，所以系統(tǒng)的對(duì)稱性指的是矢量勢(shì)的對(duì)稱性，不是磁場(chǎng)的對(duì)稱性。第二個(gè)是把守恒量當(dāng)成機(jī)械動(dòng)量，但事實(shí)上守恒的是正則動(dòng)量，它在機(jī)械動(dòng)量之外還要再加上電磁動(dòng)量。實(shí)踐表明，這兩個(gè)誤解經(jīng)常出現(xiàn)，有時(shí)候連學(xué)過(guò)高等物理的人也難以避免。

最后一個(gè)問(wèn)題是規(guī)范變換不變性。熟知若矢量勢(shì)A受到規(guī)范變換

(7)

其中α是任意函數(shù)，那么磁場(chǎng)B并不改變：

(8)

所以運(yùn)動(dòng)方程也不改變。從拉格朗日量的角度說(shuō)，在A的規(guī)范變換下它增加了一項(xiàng)對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，與原來(lái)的拉格朗日量雖然不相等但卻是等價(jià)的，而從哈密頓量的角度說(shuō)，它在A的規(guī)范變換下完全不變。這就是理論的規(guī)范變換不變性。但是必須注意，這時(shí)正則動(dòng)量是要變的，因?yàn)樗淖儞Q是

(9)

也就是說(shuō)正則動(dòng)量并不是規(guī)范不變量，所以它不是可觀察量。這使我們處在一個(gè)微妙的境地：當(dāng)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)械動(dòng)量是我們實(shí)際觀察的，而正則動(dòng)量雖然是基本的動(dòng)力學(xué)變量卻不是可觀察的。這是理解正則動(dòng)量概念的困難所在。

2 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的平面運(yùn)動(dòng)

現(xiàn)在考慮一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子。設(shè)沿著+z軸方向有一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)

(10)

而帶電粒子被限制在xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。熟知這時(shí)粒子的運(yùn)動(dòng)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)(同步回旋運(yùn)動(dòng))。假設(shè)圓的半徑是R，粒子運(yùn)動(dòng)的角速度(圓頻率)是ωc，那么運(yùn)動(dòng)方程就是

所以

(11)

也就是說(shuō)，ωc只取決于粒子的荷質(zhì)比|q|/m和磁場(chǎng)強(qiáng)度B，這個(gè)頻率稱為同步回旋頻率。當(dāng)然，粒子運(yùn)動(dòng)軌道的半徑R、圓心位置C和運(yùn)動(dòng)速度v是由初始條件決定的。至于粒子在軌道上的轉(zhuǎn)動(dòng)方向，用矢量叉積的右手螺旋法則不難定出：從xy平面的上方向下看，q>0時(shí)粒子順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，q<0時(shí)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

為了更深入地理解這個(gè)運(yùn)動(dòng)，讓我們看看粒子的3種動(dòng)量。首先要為磁場(chǎng)B選擇一個(gè)矢量勢(shì)。不難證明可選

(12)

這是因?yàn)?/p>

而且

這稱為矢量勢(shì)的對(duì)稱規(guī)范。因而哈密頓量成為

(13)

這個(gè)哈密頓量顯然是繞z軸旋轉(zhuǎn)(也就是在xy平面上繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn))不變的，所以粒子角動(dòng)量的z分量是守恒的。問(wèn)題是哪個(gè)角動(dòng)量？是機(jī)械角動(dòng)量嗎？不是。應(yīng)該是正則角動(dòng)量。注意，粒子運(yùn)動(dòng)軌道的圓心可能在平面上的任何一點(diǎn)，而如果圓心不在原點(diǎn)，它的機(jī)械角動(dòng)量的z分量顯然不是常數(shù)。下面我們來(lái)證明：無(wú)論粒子的運(yùn)動(dòng)軌道的圓心在哪一點(diǎn)，粒子的正則角動(dòng)量的z分量是守恒的。為確定起見，假設(shè)粒子就是電子即q=-e(e>0)，因而是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的，軌道的圓心在rc，半徑是R，那么根據(jù)前面的分析，電子的運(yùn)動(dòng)是

x(t)=xc+Rcosωct,

y(t)=yc+Rsinωct

所以機(jī)械動(dòng)量的分量是

電磁動(dòng)量的分量是

因而正則動(dòng)量的分量是

由此可知正則角動(dòng)量的z分量是

它的確是常數(shù)。此外還有一件有趣的事情：按照通常的理解，當(dāng)粒子做逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它的角動(dòng)量的z分量是大于零的，但是現(xiàn)在我們發(fā)現(xiàn)：如果rc>R，lz是小于零的。其原因在于：粒子的機(jī)械角動(dòng)量的平均值總是大于零的，并且與rc的位置無(wú)關(guān)，但電磁角動(dòng)量的平均值總是小于零的，并且隨著rc離開原點(diǎn)而變得越來(lái)越大，到后來(lái)就會(huì)壓過(guò)機(jī)械角動(dòng)量而成為正則角動(dòng)量的主要成分。這向我們提示了正則動(dòng)量和機(jī)械動(dòng)量有重要區(qū)別，在某些條件下，它們甚至可能有完全相反的特征。

前面還提到：正則動(dòng)量依賴于規(guī)范的選擇。所以，“正則角動(dòng)量的z分量守恒”這個(gè)結(jié)論，其實(shí)只在對(duì)稱規(guī)范下才成立，如果換一個(gè)規(guī)范的話，守恒量就是別的量了。比如我們重新選擇所謂的朗道規(guī)范

(14)

(15)

顯然，這個(gè)哈密頓量不再具有旋轉(zhuǎn)不變性，而是變?yōu)榫哂衳方向的平移不變性(哈密頓量與坐標(biāo)x無(wú)關(guān))，因而正則動(dòng)量(不是機(jī)械動(dòng)量)的x分量是守恒的。驗(yàn)證如下。粒子的運(yùn)動(dòng)仍然如前，所以它的機(jī)械動(dòng)量還是一樣，然而電磁動(dòng)量變?yōu)?/p>

-eAx(t)=eByc+eBRsinωct

因而正則動(dòng)量的x分量是

eByc+eBRsinωct=eByc

它的確是常數(shù)。在粒子的圓周運(yùn)動(dòng)中卻存在著守恒的線動(dòng)量，不能不說(shuō)是非常新奇的事，而這也來(lái)自于正則動(dòng)量不同于機(jī)械動(dòng)量。

通常來(lái)說(shuō)人們習(xí)慣的認(rèn)識(shí)是：確定的運(yùn)動(dòng)有確定的守恒量。然而這個(gè)例子告訴我們：對(duì)于磁場(chǎng)中的帶電粒子，盡管粒子的運(yùn)動(dòng)是完全確定的，守恒量卻會(huì)隨著規(guī)范勢(shì)的不同選擇而改變。這使我們運(yùn)用守恒定律時(shí)必須特別小心。

3 量子力學(xué)： 正則動(dòng)量算符和幾率流

(16)

所以哈密頓量也變成了算符(仍然是對(duì)電子)

(17)

如果矢量勢(shì)A滿足規(guī)范條件(4)，則哈密頓量算符也可以寫成

(18)

問(wèn)題是： 在經(jīng)典力學(xué)里，我們是通過(guò)機(jī)械動(dòng)量和電磁動(dòng)量來(lái)理解正則動(dòng)量，而量子力學(xué)的情況卻倒過(guò)來(lái)了：我們的出發(fā)點(diǎn)就是正則動(dòng)量，那么機(jī)械動(dòng)量體現(xiàn)在哪里？為了回答這個(gè)問(wèn)題，我們先寫下相應(yīng)的薛定諤方程：

(19)

其中Ψ(r,t)是波函數(shù)，所以

取復(fù)共軛得

根據(jù)玻恩對(duì)波函數(shù)的幾率解釋，ρ=|Ψ|2=Ψ*Ψ是坐標(biāo)幾率密度，從以上兩式可得ρ對(duì)時(shí)間的變化率為

若記

j=

(20)

就有方程

(21)

這表達(dá)了幾率守恒，其中j應(yīng)理解為坐標(biāo)幾率流密度。眾所周知，在電荷守恒的情況下，如果空間電荷密度是ρ，電荷平均速度是，那么電流密度就是j=ρ。把這里的情況與之對(duì)照，可以把式(20)重寫為

(22)

(23)

對(duì)于前面所舉的例子即電子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，在對(duì)稱規(guī)范的情形下，哈密頓量算符是

(24)

不難發(fā)現(xiàn)

(25)

(26)

(27)

其中ωc=e B/m就是同步回旋頻率，但是這些能級(jí)是無(wú)窮度簡(jiǎn)并的(對(duì)于無(wú)限大平面)，比如對(duì)于基態(tài)(n=0)，就有無(wú)窮多個(gè)波函數(shù)

(28)

對(duì)稱規(guī)范的矢量勢(shì)在xy平面內(nèi)也可以寫為

所以對(duì)于式(28)的波函數(shù)，(22)式的坐標(biāo)幾率流密度j的正則動(dòng)量部分是

由于M≤0，所以它是逆著eφ方向的，而電磁動(dòng)量部分是

它是順著eφ方向的，二者之和是

盡管M≤0，足夠大的u總可以使u2+M >0，即粒子的幾率流順著eφ的方向。這和粒子的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)圖像是一致的。

如果取朗道規(guī)范，那么哈密頓量算符是

(29)

這時(shí)

(30)

(31)

(32)

這正是在y軸上固有頻率為ωc的線性諧振子的薛定諤方程，只不過(guò)勢(shì)能曲線的對(duì)稱軸是y=y0，所以我們?nèi)匀坏玫绞?27)給出的能譜，但能級(jí)的簡(jiǎn)并變成了不同的px值?，F(xiàn)在基態(tài)(n=0)的波函數(shù)變?yōu)?/p>

(33)

(C′是歸一化因子)，因而幾率流密度j的正則動(dòng)量部分只有x分量，其值為

j的電磁動(dòng)量部分也只有x分量，其值為

二者相加給出

當(dāng)y>y0時(shí)jx<0，粒子的坐標(biāo)幾率流朝左，而y0，坐標(biāo)幾率流朝右，這也和粒子的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)圖像是一致的。

4 量子力學(xué)理論的規(guī)范不變性

在量子力學(xué)里，正則動(dòng)量的算符表示總是-i，與矢量勢(shì)的選擇無(wú)關(guān)，但我們不能因此就說(shuō)量子力學(xué)里的正則動(dòng)量是規(guī)范不變量。事實(shí)上，在量子力學(xué)里，物理量的測(cè)量結(jié)果不僅僅與代表它的算符有關(guān)，而且和波函數(shù)也有關(guān)。所以我們還要問(wèn)：在規(guī)范變換下，波函數(shù)怎么變？可以證明，為了保證理論的規(guī)范不變性，當(dāng)規(guī)范勢(shì)受到變換A→A′=A+α的時(shí)候，波函數(shù)要受到變換

(34)

(35)

對(duì)這個(gè)方程進(jìn)行規(guī)范變換，即是把其中的Ψ和A換成Ψ′和A′，則左方變?yōu)?/p>

右方變?yōu)?/p>

因此仍然有

(36)

即是薛定諤方程在規(guī)范變換下不變，所以量子力學(xué)理論是規(guī)范不變的理論。

5 關(guān)于磁鏡裝置的討論

磁鏡是利用磁場(chǎng)對(duì)等離子體的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行約束的裝置[3]，圖1(取自文獻(xiàn)[3])是一種比較典型的磁鏡。兩個(gè)同樣的通電圓線圈同軸地放置，因而產(chǎn)生了兩頭強(qiáng)中間弱的磁場(chǎng)，這種磁場(chǎng)就可以把在其中運(yùn)動(dòng)的離子在強(qiáng)磁場(chǎng)處反射回去，如同鏡子反射光線一樣，所以被稱為磁鏡。利用正則動(dòng)量的概念，我們對(duì)它的工作原理分析如下。

圖1 磁鏡裝置示意圖

由圖1可知在磁鏡裝置的軸線(z軸)附近，采用柱坐標(biāo)系(ρ,φ,z)，磁場(chǎng)B是

(37)

由此可知

因而磁場(chǎng)的分布是

(38)

其中B(z)(>0)是已知函數(shù)(文獻(xiàn)[3]中有式(37)但并未給出式(38))。那么什么樣的A可以給出這樣的B？利用柱坐標(biāo)系中的旋度公式

不難證明可以取

(39)

由于這個(gè)A與時(shí)間t無(wú)關(guān)，也與角度φ無(wú)關(guān)，所以離子的動(dòng)能和它的正則角動(dòng)量的z軸分量都是守恒的，即有

(40)

和

(41)

其中離子的運(yùn)動(dòng)由ρ(t),φ(t),z(t)描寫，vρ≡dρ/dt,vφ≡ρ(dφ/dt),vz≡dz/dt，離子的電荷q>0。在分析力學(xué)中，這樣的守恒方程被稱為運(yùn)動(dòng)方程的一次積分。其實(shí)，即便不引入正則動(dòng)量的概念，式(41)也可以藉運(yùn)動(dòng)方程m(d/dt)=q×B的柱坐標(biāo)形式

(42)

(43)

(44)

直接導(dǎo)出(文獻(xiàn)[3]沒(méi)有引入矢量勢(shì)A，也沒(méi)有寫出完整的離子運(yùn)動(dòng)方程，因而沒(méi)能給出式(41))。由于離子在磁場(chǎng)中的回旋運(yùn)動(dòng)非常之快，當(dāng)它完成一周的回旋運(yùn)動(dòng)時(shí)在z方向上只移動(dòng)了很小的距離，所以我們可以對(duì)它應(yīng)用絕熱近似，即假設(shè)離子的回旋頻率(參見式(11))完全由當(dāng)?shù)氐拇艌?chǎng)所決定，這樣就有

(45)

把它代入式(42)中，就得到

(46)

由此可知vρ=常數(shù)。但文獻(xiàn)[3]的式(2)未說(shuō)明理由就取了vρ=0，未免過(guò)于武斷。實(shí)際上，從圖1也可以看出vρ是不等于零的。與此同時(shí)，兩個(gè)一次積分也分別變?yōu)?/p>

(47)

(48)

(49)

(50)

的時(shí)候，離子運(yùn)動(dòng)到那一點(diǎn)就有vz=0，因而不再向前運(yùn)動(dòng)了。這就是磁鏡裝置的基本工作原理。式(50)和文獻(xiàn)[3]的最后結(jié)果(即它的式(10))是一致的，但這里的分析更嚴(yán)格，補(bǔ)充了一些它沒(méi)給的式子，還指出了它的某些式子實(shí)際上是錯(cuò)的。

[1] 周衍柏. 理論力學(xué)教程[M]. 3版. 北京,高等教育出版社,2009.

[2] 郭碩鴻. 電動(dòng)力學(xué)[M]. 3版. 北京,高等教育出版社,2008.

[3] 張琳,蔡莉莉. 磁鏡原理及其在磁約束中的應(yīng)用[J]. 物理與工程,2013,23(3): 16-18.ZhangLin,CaiLili.Principleofmagneticmirroranditsapplicationinmagneticconfinement[J].PhysicsandEngineering, 2013, 23(3): 16-18. (inChinese)

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MANY FACES OF CANONICAL MOMENTUM

For movement of a charged particle in a magnetic field, a very important concept is that the canonical momentum of the particle is different from its mechanical momentum, which is often overlooked or confused. Based on the fundamental definition of canonical momentum, this paper analyzes the relationship between canonical momentum and mechanical momentum from classical and quantum aspects, and emphasizes that the basic dynamic variable is the canonical momentum. Finally, as an example, the magnetic mirror device is studied to illustrate how the canonical momentum concisely gives the answer to a problem.

magnetic field; vector potential; canonical momentum; gauge transformation; magnetic mirror device

2017-05-26

徐湛，男，教授，主要從事物理科研和教學(xué)工作，研究方向?yàn)槔碚撐锢?，zx-dmp@tsinghua．edu．cn。

徐湛. 正則動(dòng)量面面觀[J]. 物理與工程，2017，27(5)：3-9.

Xu Zhan

(Department of Physics, Tsinghua University, Beijing 100084)