袁勤，寇義民，季艷波，李春.深圳東方紅海特衛(wèi)星有限公司，深圳58054 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制工程系，哈爾濱5000

微小衛(wèi)星三軸穩(wěn)定磁控算法工程應(yīng)用

袁勤1，＊，寇義民1，2，季艷波1，李春1
1.深圳東方紅海特衛(wèi)星有限公司，深圳518054 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制工程系，哈爾濱150001

為降低微小衛(wèi)星的成本和提高衛(wèi)星可靠性，研究采用磁力矩器作為唯一執(zhí)行機(jī)構(gòu)對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行三軸姿態(tài)穩(wěn)定的問題。利用線性二次型調(diào)節(jié)器（Linear Quadratic Regulator，LQR）最優(yōu)控制理論分別設(shè)計(jì)無限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器和定常增益狀態(tài)調(diào)節(jié)器，實(shí)現(xiàn)純磁控下的微小衛(wèi)星對(duì)地三軸穩(wěn)定控制。同時(shí)結(jié)合衛(wèi)星實(shí)際工程應(yīng)用，以在軌飛行的“開拓一號(hào)”衛(wèi)星為研究對(duì)象，分析衛(wèi)星慣量積、軌道傾角、剩磁干擾、氣動(dòng)干擾等因素對(duì)控制精度的影響。仿真結(jié)果表明LQR控制器具有穩(wěn)定性和實(shí)用性，在小干擾情況下，控制精度較高。

微小衛(wèi)星；三軸姿態(tài)穩(wěn)定；磁控；最優(yōu)控制；控制精度

Key words：micro－satellite；3－axis attitude stability；magnetic control；optimal control；control precision

微小衛(wèi)星具有設(shè)計(jì)集成度高、成本低、研制周期短、發(fā)射靈活等優(yōu)點(diǎn)，在空間活動(dòng)中發(fā)揮越來越重要的作用。微小衛(wèi)星需要限制衛(wèi)星平臺(tái)部組件的體積、質(zhì)量和功耗，而磁力矩器具有質(zhì)量輕、功耗低和結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等特點(diǎn)，因此在微小衛(wèi)星姿控部件選擇上優(yōu)勢(shì)明顯。但由于磁控力矩受地球磁場(chǎng)方向約束，磁控的主要作用是進(jìn)行速率阻尼及對(duì)動(dòng)量輪卸載，很少采用純磁控算法進(jìn)行三軸穩(wěn)定控制。

國內(nèi)外許多學(xué)者都針對(duì)微小衛(wèi)星純磁控算法開展大量研究，設(shè)計(jì)了不同磁控制律如PD控制、滑?？刂?、H∞控制等，但在實(shí)際衛(wèi)星應(yīng)用中，大多數(shù)微小衛(wèi)星采用磁控與其他控制方法相結(jié)合，如丹麥的?rsted衛(wèi)星、挪威的nCube衛(wèi)星及薩瑞衛(wèi)星技術(shù)有限公司早期發(fā)射的微小衛(wèi)星，均采用磁控結(jié)合重力梯度穩(wěn)定的控制方式［1－4］。2010年挪威發(fā)射的Tango衛(wèi)星第一次真正采用了純磁控方案，并取得預(yù)期的控制效果，實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星太陽指向、天頂指向等多種姿控模式［5，6］。

研究成果眾多而實(shí)際應(yīng)用較少，主要是因?yàn)樵谘芯恐卸紝?duì)衛(wèi)星模型進(jìn)行了一定程度的簡(jiǎn)化，對(duì)實(shí)際應(yīng)用中衛(wèi)星所受到的干擾考慮并不全面［7－13］。文獻(xiàn)［7］提出一種基于姿態(tài)角和姿態(tài)角速度的磁矩能量控制律，但在仿真過程中并未考慮真實(shí)的衛(wèi)星軌道干擾模型，所加的干擾有限，且沒有考慮慣量積影響。文獻(xiàn)［8］設(shè)計(jì)了純磁控常系數(shù)LQG控制律，但所考慮的環(huán)境干擾不足。文獻(xiàn)［9］研究了周期時(shí)變LQR控制并分析不同干擾大小對(duì)控制效果的影響，但只考慮干擾力矩為正弦變化的情況，對(duì)真實(shí)軌道干擾預(yù)估不足。

針對(duì)上述問題，本文從工程實(shí)際應(yīng)用出發(fā)，考慮低軌微小衛(wèi)星的實(shí)際軌道環(huán)境，采用LQR控制理論設(shè)計(jì)控制器實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星的三軸姿態(tài)穩(wěn)定，分析其可行性及多種干擾因素對(duì)最終控制精度的影響，為純磁控算法的實(shí)際在軌應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

1 微小衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型

1.1 衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程

設(shè)q是軌道坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到衛(wèi)星本體坐標(biāo)系的四元數(shù)矢量，ωo為軌道角速度，ωbo和ωbi分別表示衛(wèi)星本體坐標(biāo)系相對(duì)于軌道坐標(biāo)系和地心慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角速度。

采用姿態(tài)四元數(shù)的形式描述的衛(wèi)星剛體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

衛(wèi)星的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程是描述衛(wèi)星在各種力矩作用下繞其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。假設(shè)衛(wèi)星是一剛體，則根據(jù)剛體動(dòng)量矩定理可得衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程：

式中：I為衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣；Tm、Tg、Td分別表示磁控力矩、重力梯度力矩和氣動(dòng)力矩。

沿衛(wèi)星本體坐標(biāo)系的三軸正交安裝3個(gè)磁力矩器作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，可使各磁力矩器產(chǎn)生的磁矩的方向與相應(yīng)軸平行，這樣就可以通過改變各磁力矩器的線圈內(nèi)通電電流大小而調(diào)節(jié)輸出磁矩的大小，從而為衛(wèi)星提供需要的控制力矩。作用在衛(wèi)星上的磁控制力矩可以表示為：

采用匹配函數(shù)的方法，定義：

則磁控力矩為：

1.2 系統(tǒng)線性化方程

分別對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程在平衡點(diǎn)（三軸姿態(tài)角［0°，0°，0°］，姿態(tài)角速度［0， 0，－ωo］）泰勒展開，得到系統(tǒng)線性化方程

式中：2

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 無限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)

對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)，定義如下的性能指標(biāo)：

式中：Q為半正定對(duì)稱加權(quán)矩陣，表示系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中的控制誤差；R為正定加權(quán)矩陣，表征系統(tǒng)控制總能量。系統(tǒng)的性能可以通過調(diào)節(jié)Q和R來改善。系統(tǒng)存在以下唯一的無限時(shí)間時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器：

式中：Pt（）＝P t（）T∈R6×6為時(shí)變正定矩陣，并且是下列Riccati微分方程的解：

衛(wèi)星軌道磁場(chǎng)近似周期變化，則衛(wèi)星系統(tǒng)為周期時(shí)變系統(tǒng)，上述Riccati方程為周期微分Riccati方程，控制律有：

將微分Riccati方程分段離散化處理，在每一段時(shí)間內(nèi)將系統(tǒng)近似看作定常線性系統(tǒng)，將其近似轉(zhuǎn)化代數(shù)Riccati方程，然后在衛(wèi)星運(yùn)行軌道周期T內(nèi)對(duì)其進(jìn)行計(jì)算從而得到最終解。則系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)反饋控制律為：

2.2 定常增益狀態(tài)調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)

取一階近似得等價(jià)周期線性時(shí)變系統(tǒng)為：

對(duì)于微小衛(wèi)星的系統(tǒng)模型來說，其等價(jià)線性定常系統(tǒng)模型為：

系統(tǒng)存在如下唯一的最優(yōu)穩(wěn)定狀態(tài)調(diào)節(jié)器：

式中：P為代數(shù)Riccati方程PA＋ATPPBTR－1BTP＋Q＝0的解。

3 仿真校驗(yàn)

在Matlab／Simulink下開展仿真校驗(yàn)，“開拓一號(hào)”衛(wèi)星質(zhì)量120kg，構(gòu)型緊湊，太陽翼展開后無活動(dòng)部件，可忽略衛(wèi)星撓性運(yùn)動(dòng)，故采用衛(wèi)星剛體姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行仿真以驗(yàn)證設(shè)計(jì)的控制律。其中地磁場(chǎng)模型采用IGRF2005模型，衛(wèi)星參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)設(shè)置Table 1 Simulation parameters

3.1 慣量積和重力梯度力矩影響

在理想情況下衛(wèi)星慣量積設(shè)為零，衛(wèi)星所受環(huán)境干擾力矩只有重力梯度力矩，其余干擾力矩設(shè)為零。圖1、圖2分別為理想情況下和考慮慣量積的姿態(tài)角曲線。表2為慣量積影響仿真結(jié)果。

從圖1～圖2可知，衛(wèi)星從最初的翻轉(zhuǎn)狀態(tài)逐漸趨于穩(wěn)態(tài)，姿態(tài)角速度振蕩收斂，衛(wèi)星姿態(tài)在約2個(gè)軌道周期后穩(wěn)定到3個(gè)姿態(tài)角均為零的平衡狀態(tài)。圖1只考慮了重力梯度力矩的影響，發(fā)現(xiàn)其對(duì)控制精度影響不大，這是因?yàn)樵诳刂坡芍锌紤]了重力梯度干擾，衛(wèi)星輸出的控制力矩中有一部分用來克服該干擾。分析發(fā)現(xiàn)理想情況下姿態(tài)角控制精度能達(dá)到0.1°（如表1所示），當(dāng)慣量積逐漸增大時(shí)，姿態(tài)角控制精度越來越差。這是因?yàn)樵诰€性化處理時(shí)沒有考慮慣量積，衛(wèi)星慣量積越大，線性化后的系統(tǒng)模型與實(shí)際偏差也越大。

圖1 理想情況下姿態(tài)角曲線Fig.1 Attitude angle curve under ideal condition

圖2 考慮慣量積的姿態(tài)角曲線Fig.2 Attitude angle curve with actual inertial products

表2 慣量積影響仿真Table 2 Simulation of the influence by inertial product

3

.2 軌道傾角影響

對(duì)處于不同軌道傾角下的衛(wèi)星進(jìn)行仿真，結(jié)果如表3所示。

表3 軌道傾角影響仿真Table 3 Simulation of the influence by orbit inclination

由表3的仿真結(jié)果數(shù)據(jù)可看出，隨著軌道傾角變小，姿態(tài)角控制精度雖然會(huì)逐漸變差，但不明顯。通過比較收斂時(shí)間，可發(fā)現(xiàn)軌道傾角越小，衛(wèi)星達(dá)到穩(wěn)態(tài)越慢。這是因?yàn)檐壍纼A角接近90°時(shí)，磁力矩器磁矩方向近似與地磁場(chǎng)線垂直，易產(chǎn)生各個(gè)方向上的控制力矩，衛(wèi)星姿態(tài)到達(dá)穩(wěn)態(tài)的時(shí)間較快。

3.3 剩磁矩干擾影響

圖3給出了考慮剩磁矩干擾的衛(wèi)星姿態(tài)控制仿真曲線。衛(wèi)星三軸剩磁矩設(shè)為0.05A·m2時(shí)，姿態(tài)指向誤差為±8°；剩磁矩設(shè)為0.1A·m2時(shí)，姿態(tài)指向誤差為±15°；剩磁矩設(shè)為0.3A·m2時(shí)，姿態(tài)指向誤差為±25°。說明剩磁矩干擾是影響控制精度的主要因素，剩磁矩越大，控制器的控制效果越差。因此在實(shí)際工程應(yīng)用中，應(yīng)對(duì)衛(wèi)星剩磁矩進(jìn)行標(biāo)定，并進(jìn)行在軌補(bǔ)償，以減小剩磁矩干擾對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)控制的影響。

圖3 姿態(tài)角曲線（0.05A·m2）Fig.3 Attitude angle curve（0.05A·m2）

3.4 氣動(dòng)干擾影響

圖4為520km軌道的大氣密度，圖5為衛(wèi)星在控制過程中所受到的氣動(dòng)干擾力矩變化。

圖6給出了氣動(dòng)干擾影響下的三軸姿態(tài)角仿真曲線，由圖中可看出衛(wèi)星滾動(dòng)角控制誤差為±3°，偏航角控制誤差為±2°，俯仰軸控制誤差為±5°。說明衛(wèi)星受到較大氣動(dòng)干擾時(shí)采用LQR控制也能實(shí)現(xiàn)三軸穩(wěn)定，對(duì)比第3.3節(jié)剩磁矩干擾影響下的控制效果，控制精度較高，氣動(dòng)干擾對(duì)最終控制精度的影響遠(yuǎn)小于剩磁矩干擾。

3.5 定常增益調(diào)節(jié)器仿真及分析

通過仿真驗(yàn)證定常增益調(diào)節(jié)器的控制性能，并與無限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器作對(duì)比分析。加權(quán)矩陣Q＝diag［5，5，5，10，10，10］，R＝diag［5，5，5］。

圖4 大氣密度曲線Fig.4 Air density curve

圖5 氣動(dòng)干擾力矩曲線Fig.5 Aerodynamic drag disturbance torque curve

圖6 氣動(dòng)力矩影響下的姿態(tài)角曲線Fig.6 Attitude angle curve influenced by aerodynamic drag

圖7 為理想情況下采用定常增益調(diào)節(jié)器的仿真結(jié)果，穩(wěn)定后控制精度可達(dá)0.1°，控制效果與無限時(shí)間調(diào)節(jié)器一樣，而定常增益控制器只需要解一次Riccati方程，控制參數(shù)只有一組，大大減少了計(jì)算機(jī)的計(jì)算量和存儲(chǔ)空間。但是加入干擾后仿真對(duì)比發(fā)現(xiàn)，定常增益調(diào)節(jié)器的控制效果較差，說明定常增益調(diào)節(jié)器的魯棒性不如無限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器。

圖7 姿態(tài)角曲線（定常增益調(diào)節(jié)器）Fig.7 Attitude angle curve（steady gain regulator）

4 結(jié)束語

本文針對(duì)微小衛(wèi)星三軸姿態(tài)穩(wěn)定控制，應(yīng)用LQR最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)了無限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器和定常增益調(diào)節(jié)器，兩種控制器在小干擾情況下均能獲得很好的控制效果，可應(yīng)用在姿態(tài)控制精度要求不高的衛(wèi)星或傳統(tǒng)衛(wèi)星的安全模式，無限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器的穩(wěn)定性較高。特別針對(duì)實(shí)際工程應(yīng)用中涉及的約束進(jìn)行仿真分析，其中重力梯度力矩、軌道傾角對(duì)控制效果造成的影響較小，而慣量積、剩磁矩干擾和氣阻干擾對(duì)控制精度的影響很大，后續(xù)工作中需研究如何消除慣量積、剩磁矩等干擾影響。

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（編輯：車曉玲）

Engineeringapplication of micro－satellite 3－axis stable control with onlymagnetic actuators

YUAN Qin1，＊，KOU Yimin1，2，JI Yanbo1，LI Chun1
1.Shenzhen Aerospace Dongfanghong HIT Satellite Ltd.，Shenzhen 518054，China
2.Dept.Control Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China

To reduce the cost and improve the reliability of micro－satellites，a method which employing magnetic torques as the only actuators was developed to realize three axis stable control.Then by using linear quadratic regulator（LQR）optimal control theory，the infinite time state regulator and steady gain regulator were designed to stabilize micro－satellite to nadir pointing using fully magnetic torques.Meanwhile，taking KaiTuo－1satellite in－orbit flight as the research object，the product of inertia，orbit inclination，residual magnetism and aerodynamic drag disturbance that brings different effects for the control precision were analyzed.Simulation results validate efficiency and practicability of LQR controller.It can achieve high control precision under little disturbance.

V412.4

A

10.16708／j.cnki.1000－758X.2017.0050

2016－10－26；

2017－01－06；錄用日期：2017－06－29；網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2017－08－11 10：18：14

http：∥kns.cnki.net／kcms／detail／11.1859.V.20170811.1018.001.html

＊通訊作者：袁勤（1990－），女，碩士，工程師，yuanqin＿szdfh＠163.com，研究方向?yàn)楹教炱鲃?dòng)力學(xué)與控制

袁勤，寇義民，季艷波，等.微小衛(wèi)星三軸穩(wěn)定磁控算法工程應(yīng)用［J］.中國空間科學(xué)技術(shù)，2017，37（4）：28－33.

YUAN Q，KOU Y M，JI Y B，et al.Engineering application of micro－satellite 3－axis stable control with only magnetic actuators［J］.Chinese Space Science and Technology，2017，37（4）：28－33（in Chinese）.