王首喆，劉華清，張慶展，靳永強(qiáng)，＊，盛英華.上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海009.上海衛(wèi)星工程研究所，上海009

撓性充液航天器超近程逼近段動(dòng)力學(xué)建模與控制

王首喆1，劉華清2，張慶展1，靳永強(qiáng)1，＊，盛英華1
1.上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海201109
2.上海衛(wèi)星工程研究所，上海201109

超近程逼近過程中，服務(wù)航天器為剛?cè)嵋厚詈系膹?fù)雜系統(tǒng)，單擺等液體晃動(dòng)模型不再適用，對(duì)這種工況下的航天器進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模與控制的研究。采用虛功率原理推導(dǎo)了一種新的適用于三軸推力作用下的液體晃動(dòng)等效模型，通過引入相對(duì)位置導(dǎo)引矢量與相對(duì)位置誤差矢量，建立了相對(duì)軌道誤差動(dòng)力學(xué)模型，結(jié)合相對(duì)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型，得到超近程逼近段的剛?cè)嵋厚詈系南鄬?duì)軌道姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型。針對(duì)模型存在的不確定性和未知干擾，設(shè)計(jì)了基于滑模估計(jì)器的相對(duì)姿軌耦合控制律。通過數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證了控制律的有效性，仿真中的晃動(dòng)結(jié)果與Flow－3D結(jié)果能夠吻合，驗(yàn)證了晃動(dòng)模型的合理性。

在軌服務(wù)；超近程逼近；軌跡導(dǎo)引；剛?cè)嵋厚詈?；相?duì)姿軌耦合；滑模估計(jì)器

在軌服務(wù)是指服務(wù)航天器攜帶設(shè)備裝置與目標(biāo)航天器發(fā)生相互作用的過程，進(jìn)而達(dá)到服務(wù)的目的。服務(wù)航天器一般安裝有大型撓性附件（如天線和太陽翼）、攜帶較多的液體推進(jìn)劑，是一個(gè)剛?cè)嵋厚詈戏蔷€性系統(tǒng)。這種航天器用于推進(jìn)劑補(bǔ)加、模塊更換、在軌維修、碎片捕獲清除等任務(wù)。超近程逼近是執(zhí)行以上操作的關(guān)鍵步驟，需控制服務(wù)航天器使其沿目標(biāo)被動(dòng)對(duì)接口方向逼近，且主動(dòng)對(duì)接口沿逼近方向指向被動(dòng)對(duì)接口［1］，使得服務(wù)航天器的相對(duì)位置與姿態(tài)也存在耦合。與軌道轉(zhuǎn)移的情況不同，超近程逼近過程中不存在某一方向的恒定推力，需要在服務(wù)航天器三軸方向頻繁噴氣來實(shí)施相對(duì)姿態(tài)和軌道的控制，貯箱內(nèi)推進(jìn)劑的液體表面張力作用得到凸顯［2］，常規(guī)的液體晃動(dòng)單擺模型不再適用。因此，服務(wù)航天器在超近程逼近段的動(dòng)力學(xué)復(fù)雜，存在較多不確定性，加上未知干擾的作用，建模難度大，對(duì)控制的魯棒性要求高。

針對(duì)以上問題，文獻(xiàn)［3］對(duì)編隊(duì)飛行中的相對(duì)姿軌耦合動(dòng)力學(xué)建模與控制模型進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)［4］建立了剛體的姿軌耦合動(dòng)力學(xué)模型，并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的控制律；文獻(xiàn)［5］根據(jù)期望編隊(duì)點(diǎn)推導(dǎo)出相對(duì)軌道誤差動(dòng)力學(xué)模型；文獻(xiàn)［6］將Twisting算法與線性補(bǔ)償項(xiàng)相結(jié)合，設(shè)計(jì)了相對(duì)位姿耦合控制律。上述文獻(xiàn)建立的均是剛體模型，未考慮撓性與液體晃動(dòng)的影響。文獻(xiàn)［7］針對(duì)航天器撓性結(jié)構(gòu)持續(xù)振動(dòng)問題，提出一種基于模糊控制原理的自抗擾控制方法；文獻(xiàn)［8］針對(duì)剛?cè)狁詈献藨B(tài)動(dòng)力學(xué)模型，提出了基于直接自適應(yīng)的姿態(tài)穩(wěn)定控制律；文獻(xiàn)［9］對(duì)在恒定推力作用下的充液航天器建立了等效單擺模型，并設(shè)計(jì)了一種滑模觀測(cè)器來估計(jì)液體的晃動(dòng)角。上述文獻(xiàn)考慮了撓性或液體晃動(dòng)對(duì)姿態(tài)的影響，未考慮軌道受到的影響。文獻(xiàn)［10］對(duì)自動(dòng)轉(zhuǎn)移飛行器的液體燃料建立晃動(dòng)等效力學(xué)模型，通過數(shù)值仿真得到相關(guān)參數(shù)并進(jìn)行了對(duì)比，未對(duì)與姿軌動(dòng)力學(xué)結(jié)合的情況進(jìn)行分析。

文章針對(duì)上述問題，采用一種新的適用于三軸推力作用下的液體晃動(dòng)等效力學(xué)模型，建立了完整的剛?cè)嵋厚詈献藨B(tài)軌道動(dòng)力學(xué)模型，將復(fù)雜的相對(duì)軌道跟蹤控制問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)問題，最后設(shè)計(jì)了基于滑模估計(jì)器的相對(duì)姿軌耦合控制律對(duì)模型進(jìn)行仿真。

1 建立數(shù)學(xué)模型

1.1 坐標(biāo)系定義

文章涉及的坐標(biāo)系有：1）J2000地心慣性坐標(biāo)系Oi－XiYiZi；2）相對(duì)軌道坐標(biāo)系Ot－XtYtZt；3）質(zhì)心軌道坐標(biāo)系Oo－XoYoZo；4）服務(wù)航天器本體坐標(biāo)系Ob－XbYbZb與目標(biāo)航天器本體坐標(biāo)系Od－XdYdZd，以上坐標(biāo)系與常規(guī)定義相同；5）服務(wù)航天器對(duì)接坐標(biāo)系Oq－XqYqZq與目標(biāo)航天器對(duì)接坐標(biāo)系Op－XpYpZp，根據(jù)對(duì)接裝置的具體安裝情況定義，文章假設(shè)對(duì)接坐標(biāo)系三軸方向與本體坐標(biāo)系三軸方向平行；6）貯箱固連坐標(biāo)系Oz－XzYzZz三軸與體坐標(biāo)系三軸平行，質(zhì)心Oz位于貯箱球心。

1.2 液體晃動(dòng)等效模型

超近程逼近過程中，由于沒有恒定方向的推力作用，航天器貯箱中的液體無法沉底，而是包裹在貯箱壁面上，內(nèi)部產(chǎn)生空腔，在三軸推力作用下作小幅晃動(dòng)。如圖1所示，假設(shè)貯箱為球形，將貯箱內(nèi)的液體分為靜止質(zhì)量和晃動(dòng)質(zhì)量，用固連在球心的具有慣量的質(zhì)量塊表示靜止質(zhì)量，晃動(dòng)質(zhì)量視為質(zhì)點(diǎn)，與4個(gè)在貯箱內(nèi)部均勻分布且與貯箱相連的彈簧阻尼器相連，平衡狀態(tài)下晃動(dòng)質(zhì)量位于球心［2］。

圖1 液體晃動(dòng)等效模型Fig.1 Spring－mass equivalent mechanical model

模型中，4個(gè)彈簧阻尼器的剛度和阻尼系數(shù)完全相同，假設(shè)4個(gè)彈簧阻尼器的總體剛度是K，總體阻尼系數(shù)是ξ，液體靜止質(zhì)量為m0，晃動(dòng)質(zhì)量為mh，靜止質(zhì)量塊的質(zhì)點(diǎn)相對(duì)服務(wù)航天器本體坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置矢量為r0，晃動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)平衡點(diǎn)即球心的位置記為rh，晃動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)服務(wù)航天器本體坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置矢量為r0h＝r0＋rh，由于小幅振動(dòng)，將rh視為小量。服務(wù)航天器質(zhì)心在慣性系下的位置矢量為rs。

利用虛功率原理建立模型的動(dòng)力學(xué)方程：

式中：δPIh，δPKh，δPdh，δPgh，δPg0，δPI0分別為晃動(dòng)質(zhì)量的慣性力虛功率、彈性力虛功率、阻尼力虛功率、地球引力虛功率及靜止質(zhì)量的地球引力虛功率、慣性力虛功率；δPa為晃動(dòng)模型受到的外力虛功率。

通過速度變分的形式表示各個(gè)虛功率，分別得到液體的平動(dòng)方程、轉(zhuǎn)動(dòng)方程和振動(dòng)方程為：

式中：mt為服務(wù)航天器的干質(zhì)量；us和ds分別為控制加速度和外力擾動(dòng)速度；k為太陽翼板個(gè)數(shù)；Jt為服務(wù)航天器干重的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Tc、Td為服務(wù)航天器受到的控制力矩和干擾力矩；Mj為航天器翼板的耦合矩陣；ηj為翼板的模態(tài)坐標(biāo)；ζj為翼板的撓性模態(tài)振動(dòng)阻尼比；Ωj為翼板的撓性模態(tài)振動(dòng)頻率；BTj和BRj分別為撓性附件的平動(dòng)及轉(zhuǎn)動(dòng)耦合系數(shù)矩陣；a為航天器在非慣性外力作用下的加速度。

將式（2）與式（5）結(jié)合，（Jh＋J0）·˙ωb與Jt˙ωb合并為J˙ωb，靜矩相關(guān)項(xiàng)合并后為零，Sh×｛ωb×［ωb×（r0＋rh） ］｝可轉(zhuǎn)換為ωb×（Js·ωb） ，可以與ωb×（J0·ωb）、ωb× Jtωb合并為ωb×（J·ωb），J為服務(wù)航天器總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。記mhi（r0＋rhi）×（¨rhi＋2ωb×˙rhi）為T′hi，服務(wù)航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為：

1.3 相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型

圖2為對(duì)接裝置之間相對(duì)位置關(guān)系，其中，rd為目標(biāo)航天器的質(zhì)心位置矢量，r1，r2分別為目標(biāo)航天器、服務(wù)航天器對(duì)接裝置的安裝矢量；~l為兩航天器對(duì)接裝置之間的位置導(dǎo)引矢量，

l為~l對(duì)應(yīng)的兩航天器質(zhì)心間相對(duì)位置路徑，

rds為兩航天器質(zhì)心間的實(shí)際相對(duì)位置，Δr為l與rds間的偏差。存在：

~l＝l－r1＋r2， rds＝l＋Δr（9）

結(jié)合式（3），服務(wù)航天器與目標(biāo)航天器的相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)方程：

式中：ud、dd分別為目標(biāo)航天器受到的控制力加速度和擾動(dòng)外力加速度。

式：ωti＿t為Ot－XtYtZt相對(duì)Oi－XiYiZi的角速度在Ot－XtYtZt下的表示。

作用在組合體的控制力產(chǎn)生的加速度在Ob－XbYbZb下表示為：

對(duì)位置導(dǎo)引矢量l~進(jìn)行設(shè)計(jì)。如圖3所示，S型速度曲線能對(duì)加速度的變化率進(jìn)行控制，加速度曲線連續(xù)，在速度銜接處可實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)過渡，是一種能限制振動(dòng)的速度控制方法［13］，所以選用S型速度曲線對(duì)l~進(jìn)行設(shè)計(jì)。逼近過程中，根據(jù)航天器推力器配置情況，對(duì)加速度進(jìn)行限幅，使其滿足為推力器能提供的最大推力，m為航天器總質(zhì)量。

圖3 S型速度曲線示意Fig.3 S－shaped velocity curve

1.4 相對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)模型

采用四元數(shù)作為姿態(tài)描述參數(shù)，結(jié)合式

2 相對(duì)姿軌耦合控制律設(shè)計(jì)

由于姿態(tài)四元數(shù)各元素平方和為1，姿態(tài)

控制時(shí)只對(duì)四元數(shù)矢量部分qe進(jìn)行控制，有

由于服務(wù)航天器的撓性附件、液體晃動(dòng)及受到的干擾難以測(cè)量或估計(jì)，故Δ項(xiàng)難以確定。定義e＝x－xd為系統(tǒng)狀態(tài)誤差，xd＝0、為期望狀態(tài)，設(shè)計(jì)的控制律要求使x→x即

針對(duì)未知干擾與系統(tǒng)的不確定性，設(shè)計(jì)基于滑模估計(jì)器的相對(duì)姿軌耦合控制律。在傳統(tǒng)滑模面s＝˙e＋ke的基礎(chǔ)上，增加輔助滑模變量η，設(shè)計(jì)滑模面sd＝s＋η，其中：

針對(duì)滑?？刂浦蟹?hào)函數(shù)高速切換引起的震顫問題，采用飽和函數(shù)代替的方法進(jìn)行處理。

3 仿真

3.1 仿真條件

對(duì)服務(wù)航天器向目標(biāo)的逼近過程進(jìn)行仿真，采用直線逼近策略。初始時(shí)刻，目標(biāo)航天器為圓軌道，軌道半徑rd＝6 778 137m，軌道傾角id＝51.6°，升交點(diǎn)赤經(jīng)Ωd＝0°，近地點(diǎn)幅角ωd＝0°，姿態(tài)為對(duì)地定向，Od－XdYdZd相對(duì)Oo－XoYoZo初始?xì)W拉角均為0°。在Ot－XtYtZt下服務(wù)航天器相對(duì)目標(biāo)的位置矢量為［0.5；150.5；0.5］，各軸相對(duì)速度0.1m／s，Ob－XbYbZb相對(duì)Oo－XoYoZo初始?xì)W拉角［－1° 1.5° 0.5°］，對(duì)地定向。S型速度規(guī)劃導(dǎo)引律設(shè)計(jì)加加速度0.000 01m／s3、最大加速度0.001m／s2、最大速度0.2m／s。兩航天器對(duì)接口距各自質(zhì)心距離均為1.5m，當(dāng)服務(wù)航天器對(duì)接口逼近至距離目標(biāo)航天器對(duì)接口1m（即質(zhì)心相距4m）時(shí)設(shè)置停泊點(diǎn)。

服務(wù)航天器相關(guān)參數(shù)有：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J＝diag（［3 645，4 448，444 8］）kg·m2，整星（含太陽翼板和推進(jìn)劑）質(zhì)量m為3 500kg，推進(jìn)劑質(zhì)量1 797kg，其中氧化劑四氧化二氮1 120kg，燃料MMH 677kg，航天器三軸可施加最大推力50N，最大力矩75N·m。

服務(wù)航天器撓性附件的模態(tài)頻率矩陣Λ＝diag（0.31 0.83 1.33 1.56 4.66）Hz，阻尼比矩陣ζ＝diag（0.05 0.05 0.05 0.05 0.05）。

液體晃動(dòng)模型相關(guān)參數(shù)：1）氧化劑N2O4靜止質(zhì)量711kg，晃動(dòng)質(zhì)量409kg，充液比為86%，彈簧阻尼器剛度系數(shù)353.455N／m，阻尼系數(shù)20.20；2）燃燒劑甲基肼靜止質(zhì)量430kg，晃動(dòng)質(zhì)量247kg，充液比為86%，彈簧阻尼器剛度系數(shù)42.880 0N／m，阻尼系數(shù)67.086 0。控制律相關(guān)參數(shù)：k＝diag（0.5 0.5 0.5 0.3 0.3 0.3），kr＝diag（0.05 0.05 0.05 0.01 0.01 0.01），

kd＝0.15，控制時(shí)將轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J作拉偏25%的

處理，并考慮干擾的影響。

3.2 仿真結(jié)果及分析

圖4為相對(duì)姿態(tài)跟蹤誤差曲線，約50s后服務(wù)航天器與目標(biāo)的姿態(tài)同步，姿態(tài)角跟蹤精度5× 10－5（°），姿態(tài)角速度跟蹤精度2×10－9（°）／s。圖5為相對(duì)軌跡變化曲線，在S型速度曲線導(dǎo)引律下，服務(wù)航天器在1 090s時(shí)到達(dá)指定停泊點(diǎn)，且服務(wù)航天器對(duì)接口距目標(biāo)對(duì)接口保持1m的停泊距離；在360～790s，服務(wù)航天器以最大相對(duì)速度0.2m／s接近目標(biāo)。圖6為相對(duì)軌跡跟蹤誤差曲線，約45s后服務(wù)航天器位置、速度與規(guī)劃的位置、速度同步，位置跟蹤精度1×10－4m，速度跟蹤精度2×10－6m／s。圖7給出了撓性翼板前三階模態(tài)的坐標(biāo)值，穩(wěn)態(tài)時(shí)坐標(biāo)均小于1×10－7。圖8以甲基肼為例，將液體晃動(dòng)等效模型與Flow－3D結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，圖7（a）～（c）為力對(duì)比，圖7（d）～（f）為力矩對(duì)比，除一些明顯毛刺外，等效模型能較好地預(yù)測(cè)晃動(dòng)力與力矩的幅值。圖9為控制力與控制力矩曲線，由于初始姿態(tài)、位置誤差的存在，使得控制力與力矩在開始階段較大，由于服務(wù)航天器沿體坐標(biāo)x軸逼近目標(biāo)，所以x軸方向控制力與S型速度規(guī)劃的加速度變化相匹配。

仿真結(jié)果表明，所建的剛?cè)嵋厚詈蟿?dòng)力學(xué)模型是正確的，設(shè)計(jì)的控制律能夠使航天器沿著預(yù)定軌跡，按照設(shè)計(jì)的S型速度曲線運(yùn)動(dòng)規(guī)律完成對(duì)目標(biāo)的逼近，具有較高的控制精度?；蝿?dòng)等效力學(xué)模型能夠與Flow－3D的結(jié)果較好地吻合，即能夠較好地預(yù)測(cè)超近程逼近過程中液體晃動(dòng)的狀態(tài)。

圖4 相對(duì)姿態(tài)跟蹤誤差曲線Fig.4 Curve of relative attitude tracking errors

圖5 服務(wù)航天器與目標(biāo)間相對(duì)軌跡曲線Fig.5 Curve of relative trajectorybetween servicing spacecraft and object

圖6 相對(duì)軌跡跟蹤誤差曲線Fig.6 Curve of relative trajectory tracking errors

圖7 撓性模態(tài)變量隨時(shí)間收斂曲線Fig.7 Curve of flexible modal

圖8 晃動(dòng)作用對(duì)比（等效模型vs.Flow－3d）Fig.8 Slosh force comparison

圖9 控制力與控制力矩Fig.9 Control force and control torque

4 結(jié)束語

文章對(duì)服務(wù)航天器與目標(biāo)交會(huì)對(duì)接的超近程逼近段動(dòng)力學(xué)建模與控制問題進(jìn)行了研究。動(dòng)力學(xué)建模中，考慮逼近過程中液體晃動(dòng)的特殊性，采用新的液體晃動(dòng)等效力學(xué)模型，給出了剛?cè)嵋厚詈系南鄬?duì)動(dòng)力學(xué)模型?？紤]模型的不確定性與未知干擾，設(shè)計(jì)了基于滑模估計(jì)器的相對(duì)姿軌耦合控制律并進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。仿真結(jié)果表明控制律的控制性能較好，具有一定的魯棒性。通過將仿真中的晃動(dòng)結(jié)果與在相同激勵(lì)下的Flow－3D結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，表明建立的晃動(dòng)模型符合超近程逼近段液體晃動(dòng)的規(guī)律，具有一定的適用性。文章的研究對(duì)在軌服務(wù)技術(shù)的發(fā)展提供了一定的參考。

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（編輯：車曉玲）

Modelingand control for a liquid－filled spacecraft with flexible appendages in close proximity

WANG Shouzhe1，LIU Huaqing2，ZHANG Qingzhan1，JIN Yongqiang1，＊，SHENG Yinghua1
1.Aerospace System Engineering Shanghai，Shanghai 201109，China
2.Shanghai Institute of Satellite Engineering，Shanghai 201109，China

In close proximity，the servicing spacecraft is a complex system with rigidflexible－liquid coupled，and the liquid sloshing model，such as pendulum，isn′t applicable.The dynamics modeling and control of this spacecraft were studied.Firstly，a kind of new liquid sloshing equivalent mechanical model was derived by virtual work principle，and it could be applied to the situation of tri－axial thrust.Secondly，a relative position guidance vector and a relative position error vector were defined，and a relative position error dynamics model was derived.Thirdly，combining the relative position error dynamics with the relative attitudedynamics，a coupled relative attitude－orbit dynamics model was established，which was suitable for the process of close proximity in rendezvous and docking.The model was also rigid－flexibility－liquid coupled.Finally，a control law based on the slide－mode－control was designed to estimate the unknown but bounded disturbances，system uncertainties and measurement noise.The effectiveness of the control law was validated by numerical simulation.The results of the sloshing in the simulation agree well with the Flow－3Dresults，which indicates that the liquid sloshing equivalent mechanical model is reasonable.

on－orbit servicing；close proximity；trajectory guidance；rigid－flexible－liquid coupled；relative attitude－orbit coupled；sliding mode estimator

V412.4

A

10.16708／j.cnki.1000－758X.2017.0041

2016－08－23；

2017－01－06；錄用日期：2017－06－29；網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2017－08－11 10：27：17

http：∥kns.cnki.net／kcms／detail／11.1859.V.20170811.1027.003.html

上海市科學(xué)技術(shù)委員會(huì)資助項(xiàng)目（14XD1423400）

王首喆（1992－），男，碩士研究生，wszlssb＠163.com，研究方向?yàn)轱w行器總體設(shè)計(jì)

＊通訊作者：靳永強(qiáng)（1981－），男，高級(jí)工程師，jyq413＠bit.edu.cn，研究方向?yàn)轱w行器總體設(shè)計(jì)

王首喆，劉華清，張慶展，等.撓性充液航天器超近程逼近段動(dòng)力學(xué)建模與控制［J］.中國空間科學(xué)技術(shù)，2017，37（4）：

1－9.WANG S Z，LIU H Q，ZHANG Q Z，et al.Modeling and control for a liquid－filled spacecraft with flexible appendages in close proximity［J］.Chinese Space Science and Technology，2017，37（4）：1－9（in Chinese）.