廖赫精

【摘 要】隨著世界金融經濟的發(fā)展，金融經濟領域出現(xiàn)了許多不確定的現(xiàn)象，金融危機也時常發(fā)生，這使得人們越來越重視對金融經濟的研究，如何規(guī)避金融風險也成為了一個熱點問題。非線性數(shù)學期望在這方面扮演者重要的角色，它可以幫助我們度量金融風險，從而推動各種措施的實行，以達到規(guī)避風險的目的。本文主要分析了非線性數(shù)學期望的性質以及其在規(guī)避金融風險方面的具體作用。

【關鍵詞】非線性；數(shù)學期望；金融風險

自然科學和社會科學中存在著許多不確定的現(xiàn)象，這些現(xiàn)象不能夠用線性數(shù)學來描述。因此，非線性數(shù)學就被研究者們用來描述這些現(xiàn)象。非線性數(shù)學期望應用于多個領域中，在經濟領域也被廣泛應用，金融經濟中如何度量風險就主要應用的是非線性數(shù)學期望。金融風險度量就是運用一定的方法對各種金融風險進行定量分析和評估。非線性數(shù)學期望，特別是非線性數(shù)學期望中的g期望、F期望對金融風險度量有很大的幫助。非線性數(shù)學期望是以倒向微分方程為基礎的，具有一般意義下的動態(tài)相容性。目前，關于倒向微分方程，研究者們已經研究出了許多重要成果，這些成果豐富了非線性數(shù)學期望的理論，也為金融風險的分析奠定了理論基礎。一般來說，非線性數(shù)學期望是一個保單調性和保常性的算子，它包含有g期望、F期望、Choquet期望、BSDE理論等，本文主要分析g-期望和F-期望的性質及其在金融風險中的應用。

一、g-期望的性質及其在金融風險分析中的應用

g-期望是以倒向微分方程為基礎的，倒向微分方程主要用于解決一些不確定現(xiàn)象的問題，即如何在不確定的環(huán)境里達到預期的目標，以及為達到此目標需求具備什么條件、采取什么措施。獲得諾貝爾經濟學獎Black-Schoies公式就是倒向微分方程的解，這個公式在計算風險金融資產價格方面被廣泛應用。我國數(shù)學家彭實戈所定義的g-期望繼承了許多經典數(shù)學期望的性質，并且還引入了條件g-期望和g-鞅的概念。自從g-期望的概念提出以來，中外許多學者都對此進行了研究，從而為非線性隨機分析奠定了基礎，也為經濟方面的金融風險分析打下了理論根基。

g-期望具有很多性質，g-期望的Jensen不等式是關于一元函數(shù)成立的充分必要條件，g-期望具有共單調可加性以及次可加性時，條件g-期望也具有共單調可加性，g-期望還可以表示成Choquet積分的形式，g-期望還可以用來度量不定風險。

我們可以通過定義g函數(shù)來定義g-期望，彭實戈在關于g-期望的定義方面保留了經典數(shù)學期望的許多性質，g-期望一般來說是非線性的，但也滿足經典非線性期望的部分性質，在此，我們不做具體說明。

二、F-期望的性質及其在金融風險分析中的應用

F-期望，是通過具有無窮小生成元 的全非線性拋物型偏微分方程生成的馬爾科夫過程引入的。在一般的假設條件下，F(xiàn)-期望的一些基本性質是由Choquet等引入F-期望和條件F-期望得到的。F-期望滿足Jensen不等式，并且也滿足超齊次性以及常數(shù)可加性。同g-期望一樣，當F-期望具有共單調可加性以及次可加性時，條件F-期望也具有共單調可加性。

根據(jù)相關理論可知，隨機占優(yōu)單調性、次可加性、正齊次性、連續(xù)性等是風險度量指標所滿足的原則。F-期望在金融風險分析中可以應用于靜態(tài)情形下風險度量和動態(tài)情形下的風險度量。

我們可以通過具體實例來分析。投保人想運用合理的投保方式來降低風險。投保后，自己的大部分風險就轉嫁給了保險公司。那么對保險公司和投保人來說，怎樣的保費額度是合理的？保險公司保證穩(wěn)健發(fā)展所需收取的保費的最低額度是多少？投保人愿意為轉嫁風險而支付的最大成本是多少？

對投保人來說，他有0.01的概率可能損失5000。他選擇購買一份保費為100的保險。如果風險發(fā)生，那么保險公司會足額的賠償投保人所承受的損失。即如果損失的情況發(fā)生了，投保人會獲得保險公司5000元的賠償。那么，投保人在投保后和投保前是不同的：

情況1：損失保費額100的概率是1；

情況2：以0.01的概率損失5000，以0.99的概率獲得；

對于保險公司來說，接受了投保人的保險后是：

情況3：損失4900的概率是0.01，獲得100的概率是0.99；

通過計算，F(xiàn)（g1）=970.4，F(xiàn)（g2）=100，F(xiàn)（g3）==941.7。通過計算可知，投保人在保險前后所面臨的風險得到了顯著的控制。通過F（g1）可知，雖然投保人面臨的可能損失高達5000，但是他所面臨的風險的不足最高損失的1/5。如果我們預期g1的狀況會發(fā)生，我們需要預留的最低資本為970.4元。當損失發(fā)生時預留資本并不能彌補所有的風險暴露，也就是說F不能成為經濟資本的一個衡量值。

通過F（g2），當保險公司全額賠付時，投保人在投保后所面臨的風險等于保費。如果保險公司沒有全額賠付，而是賠付損失的大部分。那么，投保人在投保后所面臨的風險應該略大于保費。

情況4：損失100的概率是0.99，損失600的概率是0.01；g4說明保險公司在損失發(fā)生時只賠付損失額的90%的損失額，即4500元。F（g4）=141，風險增加了，但增加的絕對數(shù)額并不大。對于投保人來說，他愿意承擔的最高的保險額度基本上就是由他的風險承受能力所決定。并且，保費額度略低于他所愿意承擔的最大風險值。

F（g1）和F（g3），兩者的數(shù)額差異不大。通過保險，投保人將風險幾乎完全轉嫁給了保險公司。

三、結束語

隨著金融危機的發(fā)生發(fā)展，人們越來越認識到風險度量和控制的重要性，它已經是也將永遠是金融數(shù)學研究的主題。非線性數(shù)學期望能夠幫助解決不確定的現(xiàn)象和問題，能夠幫助我們有效的規(guī)避風險，保持金融經濟的穩(wěn)定發(fā)展，在金融風險的度量與控制中被廣泛應用。本文分析了g期望和F-期望的性質以及其在金融風險中的動態(tài)風險度量和靜態(tài)風險度量，希望能夠為我國金融風險的度量與控制提供一些指導，更好的促進我國金融經濟的發(fā)展。

【參考文獻】

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