謝寶昌

(上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院， 上海 200240)

靜磁場(chǎng)交界面條件應(yīng)用教學(xué)研究

謝寶昌

(上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院， 上海 200240)

交界面條件是“電磁場(chǎng)”教材的重要內(nèi)容。本文針對(duì)靜磁場(chǎng)交界面條件應(yīng)用教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的具有非光滑邊界同軸問(wèn)題，深入探討交界面上磁介質(zhì)產(chǎn)生的磁化面電流分布，提出交界面條件只適用于交界面光滑的場(chǎng)合。非光滑交界面問(wèn)題需要全面檢驗(yàn)交界面條件，只有滿足麥克斯韋方程組和邊界條件時(shí)才能利用矢量場(chǎng)唯一性定理說(shuō)明解是正確的。

靜磁場(chǎng); 交界面條件; 磁化電流

0 引言

交界面條件是“電磁場(chǎng)”課程的重要內(nèi)容之一，主要是應(yīng)用場(chǎng)矢量的積分方程推導(dǎo)出交界面兩側(cè)場(chǎng)矢量應(yīng)滿足的關(guān)系，即用場(chǎng)矢量閉合回路線積分方程確定其切向分量的連續(xù)性，用場(chǎng)矢量閉合曲面積分方程確定其法向分量的連續(xù)性。

本文針對(duì)靜磁場(chǎng)矢量交界面條件應(yīng)用教學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題，深入探討磁介質(zhì)中的磁化電流，提出交界面條件只適用于光滑邊界(單位法矢量函數(shù)連續(xù))，對(duì)于非光滑邊界則需要仔細(xì)檢驗(yàn)解的正確性。

1 靜磁場(chǎng)交界面條件應(yīng)用一題[1-3]

設(shè)同軸電纜內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體是內(nèi)、外半徑分別為b和c的圓筒。內(nèi)、外導(dǎo)體間填充磁導(dǎo)率分別為μ1和μ2的兩種不同磁介質(zhì)，如圖1所示，計(jì)算同軸電纜電流為I時(shí)的磁場(chǎng)和單位長(zhǎng)度電感。

2 典型解法[2,3]

典型解法假設(shè)磁感應(yīng)線是同軸圓，兩種磁介質(zhì)交界面上磁感應(yīng)強(qiáng)度連續(xù)，根據(jù)安培環(huán)路定律同軸電纜外部磁場(chǎng)為零，內(nèi)部各區(qū)域內(nèi)同軸圓環(huán)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度連續(xù)。

圖1 同軸電纜

在圓柱坐標(biāo)系中表示為

(1)

式中，B為磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量，μ0為真空磁導(dǎo)率，aφ為周向單位矢量。

利用能量法可以進(jìn)一步計(jì)算單位長(zhǎng)度的電感

(2)

3 典型解法存在的問(wèn)題與原因分析

兩種介質(zhì)交界面上傳導(dǎo)電流面密度Js由交界面兩側(cè)的磁場(chǎng)強(qiáng)度H1和H2的切向分量確定：

Js=an×(H1-H2)

(3)

其中，交界面單位法矢量an由介質(zhì)2指向介質(zhì)1。

在r=a的交界面上，由式(1)和式(3)得到傳導(dǎo)電流面密度Js1：

(4a)

類(lèi)似地，在r=b的交界面上，傳導(dǎo)電流面密度Js2：

(4b)

其中，J01=I/2πa，J02=I/2πb，sgn(·)為符號(hào)函數(shù)。

在φ=0和φ=π的交界面上，因假設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度只有法向分量，既沒(méi)有傳導(dǎo)電流面密度也沒(méi)有磁化電流面密度。對(duì)于常規(guī)導(dǎo)體，恒定電流密度均勻分布，同軸電纜導(dǎo)體表面不可能存在傳導(dǎo)面電流。如果式(4a)和式(4b)成立，那么在φ=0和φ=π的交界面上將產(chǎn)生切向磁場(chǎng)。這與假設(shè)磁場(chǎng)只有法向分量是矛盾的。

盡管各交界面上磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量都連續(xù)，但典型解法存在的主要問(wèn)題是在r=a和r=b的圓柱交界面上磁場(chǎng)強(qiáng)度切向分量不連續(xù)。

同軸電纜內(nèi)、外導(dǎo)體電流密度均勻分布，具有軸對(duì)稱(chēng)性，外導(dǎo)體電流在磁介質(zhì)和內(nèi)導(dǎo)體空間不產(chǎn)生磁場(chǎng)，因此使磁介質(zhì)磁化的外部磁場(chǎng)由內(nèi)導(dǎo)體電流產(chǎn)生。磁介質(zhì)被磁化過(guò)程中，磁化電流在空間還會(huì)產(chǎn)生一個(gè)附加磁場(chǎng)，該附加磁場(chǎng)對(duì)磁介質(zhì)進(jìn)一步起磁化作用。內(nèi)導(dǎo)體電流在磁介質(zhì)中產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度為

H=aφJ(rèn)01a/r, a

(5)

圓柱交界面上磁介質(zhì)不均勻，式(5)磁場(chǎng)引起的交界面r=a和r=b上磁化面電流密度Jms分別為

Jms11=az(μr1-1)J01，r=a，0<φ<π；

(6a)

Jms12=az(μr2-1)J01，r=a，0<φ<2π；

(6b)

Jms21=az(1-μr1)J02，r=b，0<φ<π；

(6c)

Jms22=az(1-μr2)J02，r=b，π<φ<2π；

(6d)

利用疊加原理可以計(jì)算磁化面電流引起的附加磁場(chǎng)，同一圓柱面上的磁化面電流因磁介質(zhì)相對(duì)磁導(dǎo)率不同而不同，因此磁化電流不僅在磁介質(zhì)中產(chǎn)生附加磁場(chǎng)，而且引起交界面φ=0和φ=π上產(chǎn)生切向磁場(chǎng)分量并形成磁化面電流，同時(shí)圓柱面上又附加新的磁化電流面密度的分布，這個(gè)耦合磁化過(guò)程很復(fù)雜。

4 磁介質(zhì)中磁化電流分布

由于傳導(dǎo)電流位于非磁性材料區(qū)域，因此相對(duì)磁導(dǎo)率為常數(shù)的磁性材料中磁化電流體密度為零，只有各磁介質(zhì)交界面上存在平行z軸方向的磁化電流面密度。設(shè)半徑為a的圓柱面上磁化電流面密度為Jms1(φ)，其中上、下半圓柱面分別為Jms11(φ)和Jms12(φ)；半徑為b的圓柱面上磁化電流面密度為Jms2(φ)，其中上、下半圓柱面分別為Jms21(φ)和Jms22(φ)；兩種磁介質(zhì)的兩個(gè)交界面φ=0和φ=π上磁化面電流密度分別為Jms3(r)和Jms4(r)?？臻g矢量磁位以軸線r=0處為零，可以用垂直軸線平面內(nèi)的傳導(dǎo)電流面積分和磁化電流線積分表示空間任意點(diǎn)的矢量磁位[4]：

(7)

其中，S為平面內(nèi)傳導(dǎo)電流體密度J所在面域，l為平面內(nèi)磁化電流面密度Jms所在線域，r和s分別為空間場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)矢量。

磁感應(yīng)強(qiáng)度等于矢量磁位的旋度，而矢量磁位只有z軸分量且僅僅與圓柱坐標(biāo)變量r和φ有關(guān)，于是：

(8)

將矢量磁位表達(dá)式(7)代入式(8)后得到

(9)

同軸電纜外導(dǎo)體電流在磁介質(zhì)內(nèi)部不產(chǎn)生磁場(chǎng)，磁化面電流與外導(dǎo)體電流密度無(wú)關(guān)，當(dāng)a

(10)

由于任意兩種介質(zhì)交界面上只有磁化電流面密度而沒(méi)有傳導(dǎo)電流面密度，因此交界面兩側(cè)的磁場(chǎng)強(qiáng)度切向分量和磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量連續(xù)，磁感應(yīng)強(qiáng)度切向分量滿足

an×(B1-B2)=μ0Jms

(11)

另一方面，交界面上磁化電流面密度可由磁化強(qiáng)度矢量M計(jì)算，磁化強(qiáng)度與磁感應(yīng)強(qiáng)度滿足

M=(μr-1)B/μ

(12)

磁性與非磁性介質(zhì)交界面上的磁化電流面密度為

Jms=M×an

(13)

其中，交界面單位法矢量an由磁介質(zhì)指向外部非磁性介質(zhì)。

設(shè)圖1中相對(duì)磁導(dǎo)率為μr1和μr2磁介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B1和B2，在r=a和r=b的交界面上由式(12)和式(13)分別得到

Jms11=ar×(μr1-1)(B1/μ1)|r=a，0<φ<π；

(14a)

Jms12=ar×(μr2-1)(B2/μ2)|r=a，π<φ<2π；

(14b)

Jms21=ar×(1-μr1)(B1/μ1)|r=b，0<φ<π；

(14c)

Jms22=ar×(1-μr2)(B2/μ2)|r=a，π<φ<2π；

(14d)

在φ=0和φ=π的交界面上，由式(11)分別得到

Jms3=aφ×(B1|φ=0-B2|φ=0)/μ0，a

(14e)

Jms4=aφ×(B2|φ=π-B1|φ=π)/μ0，a

(14f)

將式(10)分別代入(14a)～(14f)后得到各交界面磁化電流面密度滿足的強(qiáng)耦合積分方程：

(15a)

(15b)

(15c)

(15d)

(15e)

(15f)(謝寶昌文)

由式(15a)～(15f)可知，只有當(dāng)兩種磁介質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率滿足μr1=μr2時(shí)，交界面上的磁化面電流Jms3和Jms4為零，圓柱面r=a和r=b上的磁化面電流均勻分布且滿足式(6a)～(6d) ，磁感應(yīng)強(qiáng)度由式(1)確定。

由于無(wú)法獲得磁化電流面密度的簡(jiǎn)單解析解，也不能利用分離變量法獲得無(wú)窮級(jí)數(shù)解，為此利用數(shù)值積分方法進(jìn)行離散化求解。計(jì)算參數(shù)如下μr1=2，μr2=10，b/a=2，結(jié)果如圖2所示，縱坐標(biāo)磁化面電流密度經(jīng)過(guò)歸一化處理，其中實(shí)線Jms1/J01，點(diǎn)線Jms2/J02，橫坐標(biāo)1代表2 ；虛線Jms3/J01和Jms4/J01的橫坐標(biāo)0.5代表r=a而1代表r=b。歸一化處理后磁介質(zhì)內(nèi)、外兩個(gè)圓柱面上相同角度 處磁化面電流密度的大小相同，方向相反，但非均勻分布，在磁介質(zhì)分界面φ=0和π處發(fā)生突變。在磁介質(zhì)分界面φ=0和 處的磁化面電流分布不僅大小而且方向也發(fā)生變化。

圖2 歸一化磁化面電流密度分布

進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩種磁介質(zhì)(μr-1)/(μr+1)的值越接近，圓柱面上磁化面電流分布越均勻，μr的值越大則歸一化幅值越大；當(dāng)兩種磁介質(zhì)(μr1-μr2)/(μr1+μr2)的值越接近零，則分界面φ=0和π處的磁化面電流分布越接近零。

5 結(jié)語(yǔ)

本文根據(jù)靜磁場(chǎng)交界面條件應(yīng)用教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，深入探討了磁介質(zhì)中磁化電流的分布，提出了應(yīng)用交界面條件的前提條件是交界面必須是光滑的。存在非光滑交界面時(shí)，需要全面檢驗(yàn)交界面條件，只有場(chǎng)量滿足場(chǎng)方程和邊界條件時(shí)才能利用矢量場(chǎng)唯一性定理說(shuō)明解是正確的。

[1] 周希朗. 電磁場(chǎng)與波基礎(chǔ)教程[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2014年

[2] 馬西奎. 電磁場(chǎng)要點(diǎn)與解題[M]. 西安: 西安交通大學(xué)出版社，2006.

[3] 海欣. 電磁場(chǎng)與電磁波學(xué)習(xí)及考研輔導(dǎo)[M]. 北京: 國(guó)防工業(yè)出版社，2008.

[4] 謝寶昌. 電磁能量[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2016年

Research on Boundary Condition Application Teaching of Magneto-Static Field

XIE Bao-chang

(SchoolofElectronicInformationandElectricalEngineering,ShanghaiJiaoTongUniversity,Shanghai200240,China)

Boundary conditions are significant content of Electromagnetic Field. The problem of coaxial cable is found when boundary conditions are applied to solve magneto-static field with unsmooth boundary. Therefore, further investigation is made to find the magnetized current distribution in magnetic media. Premise of smooth boundary is proposed to properly use boundary conditions. All boundary conditions must be checked in solving problems with unsmooth boundary. Only when the solution satisfies the Maxwell equations and the boundary conditions, could it be validated by the theorem of uniqueness of vector field.

magneto-static field; boundary conditions; magnetized current

2016-06-23;

2016-12-20

謝寶昌(1965-)，男，博士，副教授，主要從事電機(jī)與電器的教學(xué)與研究工作，E-mail：bcxie@sjtu.edu.cn

TM153

A

1008-0686(2017)03-0021-04